北京大学2023年中学生数学科学夏令营第二天测试题.pdf

2023 年 年 年北 北 北京 京 京大 大 大学 学 学夏 夏 夏令 令 令营 营 营第 第 第二 二 二天 天 天5.给 定 正 整 数 n m.求 所 有 的 数 组(i1;i2;im)(1 i1 i2 im n)，使 得 对 任 意 满 足n i=1xi=0 的 实 数 组(x1;x2;xn)(x1x2 0.6.是 否存在质 数p 和 非零 整系数多项式f，使 得对任意正整数，1;2;p 中 至 少有 p 2023个正 整数 n 使得 p|f(n)？7.魔 术师和小 美在 2N 2N 的方格表中 放入 1 2 或 2 1 的 骨 牌.魔术师先放入 一 些 两 两 无 公 共 格 的 骨 牌，满 足 对 任 意 1 M 2N，方 格 表 中 每 个 M M 的正 方 形 至 多 与 M2 个 已 放 入 的 骨 牌 有 公 共 格.求 证：小 美 可 以 再 放 入 骨 牌 恰 覆 盖 方格 表 中余下的方 格.8.设 简 单 有 向 图 G 的 顶 点 是 10 1000（10 行 1000 列）的 格 点.G 的 边 满足：除 最 后 一 列 外，每 个 顶 点 恰 有 三 条 有 向 边 指 向 下 一 列 的 三 个 不 同 顶 点；除 第 一列 外，每 个 顶 点 恰 有 三 条 有 向 边 被 前 一 列 的 三 个 不 同 顶 点 指 向；G 中 无 其 他 边.对最 后 一 列 的 每 个 顶 点 v 赋 予 一 个 实 数 qv 0;1.对 其 余 每 个 顶 点 u，若 从 u 出发 的 三 条 边 指 向 的 三 个 不 同 顶 点 为 a;b;c，则 递 归 地 定 义 qu=qa+qb+qc3.求证：!uv2E|qu qv|150.