辽宁省沈阳市五校协作体2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题含答案.pdf

2022 2023 学 年 度（下）沈阳市 五校协作体期末 考试 高一年级数学试 卷考试时间：120 分钟 分数：150 分 试 卷说 明：试 卷共 二部分：第 一部分：选 择题型（1 12 题 60 分）第 二部 分：非 选择 题型（1322 题 90 分）第 卷（选择 题共 60 分）一、单 选题（本大 题共 8 小题，共 40 分）1已知 复数1z 和2z，则“12zz”是“120 zz”的（）A 充分 不必 要条 B 必 要不 充分 条件 C 充要 条件 D 既 不充 分也 不必 要条件 2已知 函数()()3tan 03fx x=+的图象 的两 个 相邻对 称中 心之 间的 距离 为4，则=（）A 2 B 4 C 8 D 16 3正四 棱柱111 1ABCD A B C D 中，13 AA AB=，则异 面 直线1AB 与1AD 所成 角的 余弦 值为（）A 13B 510C 910D 454 已知 向量()2,1,10,5 a b ab=，则 a与b的 夹角为（）A 4 B 3 C 23 D 345 两个 圆锥 有等 长的 母线，它们 的侧 面展 开图 恰好拼 成 一个 圆，若 它们 的侧面 积 之比为 1：2，则它 们 的体积比是（）A 1 10:B 15:C 2 10:D 25:6 两不 共线 的向 量 a，b，满足 3 ab=，且 t R，at b ab，则 cos,ab=（）A 12B 32C 13D 337 ABC 三内 角 A，B，C 所 对边 分别是 a，b，c 若22 23,3 b a c ac b=+=，则 23 ac+的 最大 值为（）A 27 B 32 C 2 57 D 3 578 已知 四面体 ABCD 满足 3 AB CD=，5 AD BC=，2 AC BD=，且该 四面 体 ABCD 的外接 球的球半 径为1R，四 面体 的内 切球的 球半 径为2R，则12RR的 值是（）A 11 B 2113C 6 D 263二、多 选题（本大 题共 4 小题，共 20 分）9已知 复数 满足2i2izz=+，则（）A z 的虚 部为 1 B 2 z=C z 在复 平面 内对 应的 点在 第四象 限 D 若 复数 z 满足11 zz=，则12 1,2 1 z+10 若函 数()()sin 22fx x=+的图 象经 过点10,2P，则（）A 函数()fx 的 最小 正周 期为 B 点,03 为函数()y fx=图 象的 对称 中心C 直线6x=为 函数()y fx=图象的 对称 轴D 函数()fx 的 单调 增区 间为()2,236kkk+Z11 如 图，在三 棱锥 P ABC 中，PA PB 2，CA CB 4，E 为 AB 中点，下列 结 论正 确的 是（）A 面 PEC 面 ABC B 二 面角 P AB C 的平面 角是 PEC C 三 棱推 P ABC 的体积13P ABC PECV AB S=（其中PECS为 PEC 的面积）D 若 三棱 锥存 在外 接球，则 球心 可能 为点 E 12在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 分别 为 a，b，c，且3tan tancoscABaB+=，则下 列结 论正 确的 是（）A 6A=B 若 a2，则 该三 角形周 长 的最 大值为 6 C 若角 A 的平 分线 AD 交 BC 于 D，且 AD 2，则83343bc+D 若 ABC 的面 积为 2，a，b，c 边上 的高 分别 为123,hhh，且123hhh t=，则2t 的 最大 值为 24 3第 II 卷（非选择 题共 90 分）三、填 空题（本大 题共 4 小题，共 20 分）13若()()1,1,2,1 ab=，则b在 a上投影 向量 的坐标 为_ 14 已知()()23 cos sin cos 0 fx x x x=+，如果存在实数0 x，使得对任意的实数 x，都有()()()002023 fx fx fx+成立，则 的最小 值为_ 15在棱 长为 1 的正 方体111 1ABCD A B C D 中，E 在棱1DD 上且满 足1D E ED=，点 F 是侧 面11ABB A 上的动点，且1/DF 面 AEC，则 动点 F 在侧 面11ABB A 上 的轨 迹长 度为_ 16 古希 腊数 学家 托勒 密于 公元 150 年在 他的 名著 数学 汇编 里给 出了 托 勒密定 理，即圆 的内 接凸 四边形 的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 已知 AC，BD 为圆的内接四边形 ABCD 的两条对角线，且sin:sin:sin 2:3:4 ABD ADB BCD=若2AC BC CD=，则实 数 的最小 值为_ 四、解 答题（本大 题共 6 小题，共 70 分）17在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边 分别 为 a，b，c，若 cos cos 2cos a Bb A C+=（1）求 角 C 的大 小；（2）若 2 12 ab+=，ab 且 ABC 的面积 为 43，求 边长 c 18已知7sin cos13=（1）化 简()()22sin sin 21 tan 3+求值；（2）若3,0,22，且()4cos5+=，求 cos 19已知()212 3 sin cos cos sin cos4 42fx x x x x x=+（1）,12 2x 时，求()fx 的值域；（2）把()fx 曲线上 所有点 的横 坐标缩 短为 原来 的12，纵坐 标不变 再把 得到 的图 像向 左 平移 个单位 长 度02，得到 函数()y gx=的 图像，若()y gx=是 R 上的 偶函 数，求 的值 20 如图 在平 面直 角坐标 系 xOy 中，已知 O（0，0），D（0，2），()3,0 B，()3,1 E，动点 P 在线 段 OD上（1）求 3 PD PE+的最小 值；（2）以四 边形 OBED 为底 面做 四棱 锥 A OBED 如图，使OD 平面 ABO，且OB BA=，求 证：平 面ADE 平面 AOD21 在如 图所 示 的七 面体 ABCDEFG 中，底面 ABCD 为正 方形，/EF AB，/FG BC，AE 面 ABCD 已知1 EF FG=，2 AB=（1）设 平面 ABFE 平面GCD l=，证明：/l 平面 ABCD；（2）若 二面 角 F BC D 的 正切 值为 2，求四 棱锥 D BCGF 的 体积 22 记 ABC 的 内角 A，B，C 的对 边 分别为 a，b，c，已知1 sin 1 cos 2cos sin 2ABAB=（1）求CB 的值；（2）若 ABC 的外接 圆的 半径 为 r，求2222sinabrC+的最小 值答案选择1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A C D A C C A ABD AC ABC BCD 填空1311,22 141404615521632解 答题 17（1）解：由 正弦 定理 得：sin cos sin cos 2sin cos AB BA CC+=，()()sin sin sin 2sin cos AB C C C C+=，()0,C，sin 0 C，1cos2C=，则3C=（2）ABC 的面积 为 43，则1sin 4 3,162ab C ab=根 据题 意得162 12abab=+=，则44ab=或28ab=，ab，44ab=（舍）则2 222 cos 52 c a b ab C=+=，即 2 13 c=18（1）原式=()()22sin sin cos 2sin cos sin cos2sin sin 22sin cos1 tan 1 tan cos sin+=+491 2sin cos169=，1202sin cos169=22sin sin 2 1201 tan 169=+（2）由1202sin cos169=和7sin cos13=解得5sin1312cos13=又30,22，2+，()4cos5+=，()243sin 155+=()()()cos cos cos cos sin sin=+=+4 12 3 5 635 13 5 13 65=+=19（1）()212 3 sin cos cos sin cos4 42fx x x x x x=+1 cos 2 13 sin 2 sin cos2 4 42xx xx+=+113 sin 2 cos 2 sin 2 12 22xx x=+3 sin 2 cos 2 1 xx=+2sin 2 16x=+470266x+，即706t，则()fx 值域为(0,3（2）由 题可 知()2sin 4 16gx x=+，（3）()gx 是偶函数，462k+=+，k Z，12 4k=+，k Z，由 0,212=或320（1）设()0,0 1 Py y，()0,2 PD y=，()3,1 PE y=，()3 3 3,5 4 PD PE y+=21()()223 33 5 4 33 PD PE y+=+45y=时，3 PD PE+取最 小值33（2）取 AO，AD 的 中点 F，M，连 接 BF，FM，EMFM 是三 角形 AOD 的中位线，/FM OD，12FM OD=，有/BE OD，12BE OD=，/BE FM，BE FM=，四 边形 BEMF 为平 行四边 形，/BF EMOD 面 ABO，OD BF，又 BO BA=，且 F 为中 点，BF OA，BF 面 OAD，/BF EM，EM 面 OAD，EM 面 ADE 平面 ADE 平面 AOD 21（1）证明：因 为底面 ABCD 为正 方形，所 以/AB CD，因为 AB 平面 ABFE，CD 平面 ABEF，所以/CD 平面 ABFE 因为CD 平面 GCD，平面 ABFE 平面GCD l=，所以/CD l 因为l 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以/l 平面 ABCD（2）/FG BC 且:1:2 FG BC=，:2:1BCF FCGSS=:2:3BCF BCGFSS=，333 12222 3D BCGF D BCF F BCD BCDV V V AE S=22（1）因为21 sin 1 cos 2 2sin sincos sin 2 2sin cos cosA B BBA B BB B=，即()cos cos sin sin cos sin sin B A B A B AB C=+=+=sin sin2CB=，22C Bk=+，或 2,2C B kk+=+Z整理得 22CB k+=+，或 2,2CB kk=+Z 当 2,2CB kk+=+Z()0,CB+=2CB+=即2A=，此时 cos 0 A=，与题 意不 符，舍 当 2,2CB kk=+Z(),CB=，2CB=学科网（北京）股份有 限公司（2）由（1）知：sin cos 0 BC=，所以2C，02B，而2CB=+，即有 2 AB=，所以()22 222 2 222 22 24 sin sincos 2 1 cos4sin sin cosr ABab B BrC rC B+=()()2222222cos 1 1 cos24 4 4cos 5 4 2 8 5 16 2 20cos cosBBBBB+=+=当且仅 当22cos2B=时取等 号，所以2222sinabrC+的最小 的为16 2 20