浙江省宁波市慈溪市2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题含答案.pdf

（高 一数 学期 末）试题 卷 第1 页 共 4 页 慈溪市 2022 学年 第二学 期高一 期 末测试卷 数学学科 试卷 第 I 卷（选 择题，共 60 分）一 选择题：本 题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1.若复数 z 满足：i z=2+i，则 z=A 1+2i B 1-2i C 2+i D 2-i 2.已知向 量=（1，3），=（2，1），点 A（-1，2），则点 C 的坐标 为 A（3，4）B（4，2）C（2，6）D（-4,-2）3.据慈溪 市气象局 统计，2022 年 我市每月 平均最高 气温（单位：摄氏度）分别为 12，11，10，20，23，28，36，36，31，24，23，19，这组数据的 第 60 百分位 数是 A.19 B.20 C.23 D.24 4.据长期 观察，某 学校周边 早上 6 时 到晚上 18 时 之 间的车流量 y（单 位：量）与时间 t（单位：h）满 足如下函 数关系 式：y=Asin(t-)+3 0 0（A 为常数，6 t1 8）.已知早 上 8：30（即 t=8.5h）时 的车流量 为 500 量，则下午 15：30（即 t=15.5h）时 的车流量 约为（参考数据：1.4 1,1.7 3）A.441 量 B.159 量 C.473 量 D.127 量 5.如图，设 Ox，Oy 是 平面内相 交成 角（0）的两条数轴，e1，e2 分别是 与 x 轴、y轴正方向同 向的单位 向量.若 向量，则称有序 实数对（x，y）为向 量 0Q 在坐标系 Oxy 中 的坐标，已知在该 坐标系下，向量=(1,2)，=(2,1)，若，则 co s=A B C D 6.已知某 圆锥的底 面积为 16，且 它的外接 球的体积 为，则该圆锥 的侧面积 为 A.B.或 C.或 D.或 7.从 2023 年 6 月开 始，浙江 省高考数 学使用新 高考全 国数学 I 卷，与之前 浙江高考 数学卷相比最大的 变化是出 现了多选 题.多 选题规定：在每题 给出的四个 选项中，有多项符 合题目要求，全部 选对得 5 分，有选错 的得 0 分，部分选 对 且没有选错 的得 2 分.若某题 多选题正确答案是 BCD，某同学 不会做 该题的情 况下打算 随机 选 1 个到 3 个选 项作为答 案，每 种答案都等可能（例如，选 A,AB,ABC 是 等可能的），则该 题得 2 分的概 率是 A B C D（高 一数 学期 末）试题 卷 第2 页 共 4 页 8.在四面体 ABCD 中，已知二 面角 A-BD-C 为直 二面 角，BAD=9 0，C B D=4 5，AB=AD=，设 AC=t(t0).若满 足条件的 四面体 ABCD 有两个，则 t 的取值 范围是A（0，）B（0，）C（，3）D（,）二、选择题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.在每小题给 出的选项 中，有多 项符合题目要求 全 部选对得 5 分，有选 错的得 0 分，部分 选 对的得 2 分。9.如图，在 等边正三 棱柱 中（注：侧棱 长和底 面边长 相等的正三 棱柱叫做 等边正三棱 柱)，AB=3，已知点 E，F 分别 在线段 AA1 和 CC1 上，且满足 AE=CF=1，若过 B1，E,F 三点 的 平面把等 边正三棱 柱分成上 下两部 分，则 A.上半部 分是四棱 锥 B.下半 部分是 三棱柱 C.上半部分 的体积是。D.下半部分 的体积是 10.已知复数 z=2+i（x0)，设 y=z，当 x 取大于 0 的一组实数 x1，x2，x3，x4，x5 时、所 得的 y 值依次 为另一组 实数 y1,y2，y3,y4,y5，则 A.两组数 据的中位 数相同 C.两组数据 的方差相 同 B.两组 数据的 极差相同 D.两组数据 的均值相 同 11.如图，在 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 Q 在 线段 AD1 上运动（包括端点），则 A.直线 CQ 与直 线 B1D 互相垂直 B.直线 CQ 与直线 B1D 是异面 直线 C.存在点 Q 使 得直线 CQ 与直 线 A1C1 所成 的角为 45 D.当 Q 是线段 AD1 的中点 时，二 面角 Q-B1C1-A1 的平 面角的余弦 值为 12.如图，在 四边形 ABCD，点 E、F、M、N 分别是 线 段 AD、BC、AB、CD 的中 点，则 A.+=B.+-=2 C.当点 G 满足(0 1)时，点 G 必在线段 BD 上 D.当点 P 在直 线 BD 上 运动，且当 最小时，必有（高 一数 学期 末）试题 卷 第3 页 共 4 页 第卷（非 选择题，共 90 分）三、填空题：本题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。13.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束 后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高 考 选考科目.某同学 已经选 择了物理、化学两 门学科，还需 要从生物、技术这两 门理科学科和政 治、历 史、地 理这三门 文科学科 共五门学 科中再选择 一门，设事件 E=“选择生物学科”，F=“选择一门理科学科”，G=“选择政治学科”，H=“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：其中，正确 结论的序 号是.（请把 你认为正 确结论的 序号都写上）14.已知向量 b=(x,y)在 向量 a=(2,0)上的投 影向量为 c=(1,0)，则 向量 b=写出满足条 件的一个 b 即可）15.若虚数 1+2i 是 关于 x 的实 系数方程 x+mx+n=0(m，n R)的一个根，则 的值等于 16.在三棱锥 O-ABC 中，已知 AOB=AOC=B O C=9 0，OA=OB=OC，若点 D 是线 段 BC 延长 线上的一 动点，则 直线 AD 与 平面 AOB 所 成的角的正 弦值的最 大值为 _ _ 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解 答应写出 文 字说明、证 明过程或 验算步骤.17.（10 分）已 知向量 a，b 满足：|a|=1，|b|=2，|4a-b|=(1)求(2a+b)b;(2)若向量 a+与 2a-b 共线，求实数 的值 18.（12 分）第 十九届 亚运会将 于 2023 年 9 月 23 日至 10 月 8 在中国杭州 举办，为了了解我市居 民对 杭州亚运 会相关信 息和知识 的掌握情 况，某学校组织 学生开展 社会实践 活动，采用问卷的形 式随机对 我市 100 名居民进 行了调 查.为 了方便统计 分析，调 查问卷满分 20 分，得分情况制 成如下频 率分布直 方图.（1）求 x 的值;（2）根据频率 分布直 方图，估 计这 100 名居 民调查 问卷中得分 的（i）平均 值（各组 区间的数 据以该组 区间的中 间值作 代表);（ii）中位 数（结果 用分数 表示）.（高 一数 学期 末）试题 卷 第4 页 共 4 页 19.（12 分）如图，在 堑堵 ABC-ABC 中（注：堑堵是 一长方体沿 不在同一 面上的相 对两棱斜解所得的几 何体，即两 底面为直 角三角 形的直三棱 柱，最早的文字 记载见于 九章算 术 商功章）,已知 AA1 平面 ABC，B AC=9 0，AB=AC=AA1=2，点 M、N 分别 是线段 B1A、A1C的中点.(1）证明：MN/平面 ABC;(2)求直线 A1C 与平面 BCC1B1 所成角的 余弦值.20.（12 分）为了 纪念中国 古代数学 家祖冲之 在圆周 率上的贡献，联合 国教科文 组织第四 十届大会 上把 每年的 3 月 14 日定为“国际数 学日”.2 0 2 3 年 3 月 14 日，某学校举行数学文化 节活动，其中 一项活动 是数独比 赛（注：数独是源 自 18 世纪瑞士的 一种数学 游戏，又 称九宫格）.甲、乙两位同学 进入了最后决赛，进行数独王的 争夺.决赛规则如下：进行两轮数独 比赛，每人每 轮比赛在 规定时间 内做对得 1 分，没 做对 得 0 分，两轮结束总得 分高的 为数独王，得分相同 则进行加 赛.根 据以往成 绩分析，已知甲 每轮做对的 概率为 0.8，乙 每轮做对 的概率为 0.75，且每轮 比赛中甲、乙是 否做对互 不影响，各轮比赛 甲、乙是 否做对也 互不影响.（1）求两轮比 赛结束 乙得分为 1 分的概率;（2）求不进行 加赛甲 就获得数 独王的概 率.21.（12 分）在 2 a-b=2c cosB，这两个条件 中任选一 个，补 充 在下面问 题中，并 求解（1）、（2）的答 案.问题：在ABC 中，三个内 角 A,B,C 所 对的边分 别是 a,b,c，已知(1)求角 C;(2)若点 D 是 满足 2AD=DB，且 CD=1，求A B C 的 面积的最大 值.（注：如果 选择两个 条件分别 解答，则 按第一个 解答 计分.)22.（12 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=1，BC=，M 是线段 AD 上 的一动点，将 ABM 沿着 BM 折起，使 点 A 到达 点 A 的位置，满足点 A 平面 BCDM 且点 A 在平 面 BCDM 内 的射影 E 落在 线段 BC 上.(1)当点 M 与 端点 D 重 合时，证 明：AB 平面 ACD;(2）求三棱 锥 E-ABM 的体 积的最大 值;(3）设直 线 CD 与平面 ABM 所成的角 为，二面 角 A-BM-C 的平 面角为、求 的最 大 值.慈溪市2022学年第二学期高一期末测试卷 数学学科试卷参考答案及评分标准 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A A C B D 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分；全部选对的得 5 分，有选错的得 0分，部分选对且没有选错的得2分。题号 9 10 11 12 答案 AD BC ACD ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 13.；14.(1,1)；（答案不唯一，只要向量b的横坐标为1的答案都是正确答案）15.25；16.63.四、解答题：本大题共6小题，共70分。17.（1）设向量a，b的夹角为，由|4|2 3 ab 可得 2216 8 12 abab，.2 分 所以1cos2，3，2(2)2 6 abbabb；.5 分（2）由（1）可知，向量a，b的夹角为3，所以向量a，b不共线，ab 与 2 ab 共线，所以存在实数t，使得(2)t abab 即 2tt abab，.7 分 所以12 tt，所以12t，12.10 分 18.（1）(0.02 0.05 0.08 0.03)4 1 x，.2 分 所以 0.07 x；.4 分（2）()2 0.02 4 6 0.05 4 10 0.08 4 14 0.07 4 18 0.03 4 10.64；.8 分(ii)因为 0.02 4 0.05 4 0.28 0.5，0.02 4 0.05 4 0.08 4 0.6 0.5，所以中位数在 8 和12 之间，.10 分 设中位数是t，所以 0.02 4 0.05 4(8)0.08 0.5 t，可得434t.12分 19.（1）连接1AB，由题意11ABBA 是正方形，所以点M 也是线段1AB的中点，.2 分 又点N 是线段1AC的中点，所以/MNB C，MN ABC 平面，BC ABC 平面，所以/MN ABC 平面.5 分（2）取11BC 中点H，由题意可知11 112 AB AC，所以11 1AH BC，#QQABbQCEggggAhBAARhCUQGACgEQkBACCAgGhEAEMAAACANABAA=#因为1AA ABC 平面，所以11 1 1AA ABC 平面，11 1 1AH ABC 平面，所以11AH AA，又11/AA CC，所以11AH CC，11 1 1BCC CC，11 11BCB C C B 平面，11 1CC BCCB 平面，所以11 1AH BCCB 平面.8 分 连接CH，1ACH 是直线1AC与11BCCB 平面 所成角.10 分 由题意122 AC，12 AH，190 AHC，1111sin2AHACHAC，10,2ACH，所以130 ACH，即直线1AC与11BCCB 平面 所成角的余弦值为32.12 分 20.（1）设iA“甲第i轮做对”（1,2 i），设iB“乙第i轮做对”（1,2 i），设iC“两轮比赛甲得i 分”（0,1,2 i），设iD“两轮比赛乙得i 分”（0,1,2 i）.11 21 21 21 21 21 2()()()()()()PD PBB BB PBB PBB PBB PBB.2分 3113344448.4 分（2）设E“不进行加赛甲就获得数独王”.01 212111()()()()441 6PD PBB PBPB，.6 分 11 21 21 21 21 21 2()()()()()()PC PAA AA PAA PAA PAA PAA 4114855552 5，.8 分 21 212441 6()()()()552 5PC PAA PAPA，.10 分 21 20 10 21 20 10()()()()()PE PCD CD CD PCD PCD PCD 212010()()()()()()PCPD PCPD PCPD 1 631 6181 32 582 51 62 51 61 0.12 分 21.（1）若选：由正弦定理得 2sin sin 2sin cos ABCB，.2 分 在ABC中，sin sin()A BC，所以2sin()sin 2sin cos BCBCB，即 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos BCBCBCB，所以 2sin cos sin BCB，又sin 0 B，所以1cos2C，(0,)C，所以3C.5 分#QQABbQCEggggAhBAARhCUQGACgEQkBACCAgGhEAEMAAACANABAA=#若选：由正弦定理得 3 sin cos sin sin 3 sin CAAC B，.2分 在ABC中，sin sin()B AC，所以 3 sin cos sin sin 3 sin()CAAC AC，即 3 sin cos sin sin 3 sin cos 3 cos sin CAAC AC AC，所以sin sin 3 sin cos AC AC，又sin 0 A，所以 tan 3 C，(0,)C，所以3C.5 分（2）方法一：由 2ADD B，可得1233CD CB CA，.7 分 两边平方可得222144999CD CB CA CB CA，即221441c o s999aba bC，.10 分 所以229426 a b ab ab，当且仅当 2 ab 时取“=”，所以32ab，所以13 3sin28ABCSa b C.12 分 方法二：由角C余弦定理可得222caba b，.7 分 由 cos cos 0 CDA CDB 结合余弦定理可得 2 222 2221()1()3302433ccbacc，整理得22292 3 6 cab，.10 分 由可得229426 a b ab ab，当且仅当 2 ab 时取“=”，所以32ab，所以13 3sin28ABCSa bC 即max33()8ABCS.12分 22.（1）当点M 与端点D重合时，由 90 BAD 可知ABA D.1 分 由题意知AEB C D 平面，CD BCD 平面，所 以AE CD，又 BC CD，AE BC E，AEA B C 平面，BCA B C 平面，所以CD ABC 平面，又ABA B C 平面，可知AB CD.2分 AD CD D，CD ACD 平面，ADA C D 平面，所以ABA C D 平面.3 分（2）矩形中作AO BM，垂足为点O，折起后得AO BM，由AEB C D 平面，可得AEB M，所以BMA O E 平面，可得BM OE，所以,AOE 三点共线，因此ABE与ABM 相似，满足ABA MBEA B，设AM t，所以1BEt，21 BM t，211OEtt，21tAO AOt，#QQABbQCEggggAhBAARhCUQGACgEQkBACCAgGhEAEMAAACANABAA=#2221 tAE AO OEt，要使点A 射影E 落在线段BC上，则AO OE，所以(1,3 t，.5 分 所以2111 136E ABM A BEM BEMtVVA E Stt 241116tt，当 2 t 时，max1()12EAB MV.7 分（3）过点E 做/EQC D 交BM 于Q，所以直线EQ与平面ABM 所成的角即为直线CD与平面ABM 所成的角.由（2）可知BMA O E 平面，BMA B M 平面，所以 ABM AOE 平面 平面，作EH AO，垂足为H，ABM AOE AO 平面 平面，EHA O E 平面，可得EHA B M 平面，连接HQ，EQH 是直线EQ与平面ABM 所成的角，即 EQH，由题意可得231 tEHt，21EQt，2221sin()1EHEQ t.10 分 因为,AOB MO EB M，所以 AOE 是二面角AB MC 平面角，即 AOE，21cosOEAOt，222111sin cos(1)4 tt，当且仅当 2 t 时“=”成立，故2sin cos 的最大值为14.12 分 注：对19、22 题，若用空间向量解答，则相应小题作零分处理！（避免加快进度，承甬做法.）考试范围：必修第二册（第六章平面向量及其应用，第七章复数，第八章立体几何初步，第九章统计，第十章概率）及必修第一册的第 5章最后一节5.7三角函数的应用。(2023、6、21考试)#QQABbQCEggggAhBAARhCUQGACgEQkBACCAgGhEAEMAAACANABAA=#第 8,12,16题解答供参考（仅提供一种解法）：8.由二面角AB DC 是直二面角，90 BAD，45 CBD，由三余弦定理可得60 ABC（也可以由边角关系得出这个结论）.设(0)BC a a，由余弦定理可知2233 ta a，即2233 0 aat，满足条件的四面体ABCD有两个，所以a有两个正根，所以2294 030tt，所以3(,3)2t.12.对于A选项，,EFE AA BB FE FE DD CC F，所以 2EF AB DC，同理 2MNA DB C，以上两式相加得EF MN AC，所以正确；对于B 选项，由题意可知MFNE 是平行四边形，设EFM N 与 交于点O，所以2 AEA FA O，2 BM BN BO，所以 222 AEA FB MB NA OB OA B，所以正确；对于C选项，1(1)(1)22AGA B A EA M A E，设12AHA G，所以(1)AHA M A E，且(0,1)，所以点H 在线段ME 上，12MEB D，可知点G在线段BD上，所以正确；对于D选项，EF 的中点为O，2214PE PF PO EF，因 为2EF 不变，所以2PO 最小时取得最小值，当PO BD 时2PO 最小，此时 0 PO BD 即()0 PE PF BD，所以不正确.16.设 是直线AD与平面AOB所成的角，设 是平面ABC与平面AOB所成夹角.取AB 中点M，由题意可得OC AOB 平面，OM AB，CM AB，所以 COM，6sin3.又因为ADA B C 平面，所以由最大角定理可知，02，于是6sin sin3，当/AD CM 时取得“=”，满足条件.#QQABbQCEggggAhBAARhCUQGACgEQkBACCAgGhEAEMAAACANABAA=#