2024高考数学专项练习拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展）含答案.pdf

拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为 1 2分【备考策略】1能用导数解决函数基本问题2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义3能运用拉格朗日中值定理解题【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习知识讲解1.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数 f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间 a，b上连续；(2)f(x)在开区间(a，b)内可导则在(a，b)内至少存在一点，使得 f=f b-f a b-a2.拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线 y=f x 上至少存在一点 P(，f()，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线3.需要注意的地方(逆命题不成立)拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如 f x=x3在 x=0处的切线斜率为 0,但 f x 不存在割线使割线斜率等于 01 2024高考数学专项练习拉格朗日中值定理在导数中的应用（高阶拓展）含答案4.拉格朗日公式还有下面几种等价形式f b-f a=f b-a a b，f b-f a=fa+b-a b-a 0 1，f a+h-f a=fa+h h 0 1 注：拉格朗日公式无论对于 a b都成立，而 则是介于 a与 b之间的某一常数显然，当 0 1时，a a+b-a b考点一：拉格朗日中值定理的认知及简单应用1(2023 全国高三专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f x 在闭区间 a,b 上的图象连续不间断，在开区间 a,b 内的导数为 fx，那么在区间 a,b 内至少存在一点 c，使得 f b-f a=fc b-a 成立，其中 c叫做 f x 在 a,b 上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数 f x=x3-2 x在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3 B.2 C.1 D.02(2023 全国高三专题练习)以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少存在一个点 x0(a,b)，使得 f(b)-f(a)=fx0(b-a),x=x0称为函数 y=f(x)在闭区间 a,b 上的中值点，若关于函数 f(x)=sin x在区间 0,上的“中值点”的个数为 m，函数 g(x)=ex在区间 0,1 上的“中值点”的个数为 n，则有 m+n=()(参考数据：3.1 4,e 2.72.)A.1 B.2 C.0 D.n=33(2023 全国高三专题练习)法国数学家拉格朗日于 1 797年在其著作 解析函数论 中给出了一个定理，具体如下如果函数 y=f(x)满足如下条件：(1)在闭区间 a,b 上是连续的；(2)在开区间 a,b 上可导.则在开区间 a,b 上至少存在一点，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中 被称为“拉格朗日中值”则 g(x)=ex在区间 0,1 上的“拉格朗日中值”=4(2023 全国高三专题练习)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数 f x 在闭区间 a,b 上的图象不间断，在开区间 a,b 内可导，则在区间 a,b 内至少存在一个点 a,b，使得 f b-f a=f b-a，称为函数 y=f x 在闭区间a,b 上的中值点.则函数 f x=t a n x在区间-4,4 上的中值点的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5(2023 全国高三专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间 a,b 上的图象连续不间断，在开区间 a,b 内的导数为 fx，那么在区间 a,b 内至少存在2一点 c，使得 f b-f a=fc b-a 成立，其中 c叫做 f(x)在 a,b 上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数 f x=x3-3 x在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3 B.2 C.1 D.06(2023秋江西抚州高三临川一中校考期中)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 f x 在闭区间 a,b 上的图象连续不间断，在开区间 a,b 内的导数为 fx，那么在区间 a,b 内至少存在一点 c，使得 f b-f a=fc b-a 成立，其中 c叫做 f x 在 a,b 上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数 f x=x3-2 x在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为.考点二：拉格朗日中值定理在导数中的综合应用1 设 f(x)=12x2-a x+(a-1)l n x,求证:当 1 a-12 设 f(x)=(a+1)l n x+a x2+1,当 a-1 时,若对任意的 x1,x2(0,+),f x1-f x2 4 x1-x2 成立,求 a的取值范围3 设 f(x)=sin x2+co s x,若对任意 x 0,都有 f(x)a x,求 a的范围34 已知函数 f(x)=ex+x-1，若对任意 x(0,+)都有 f(x)k x恒成立，求 k的取值范围5 设 f(x)=x2+2x+a l n x,f(x)的导函数是 f(x),对任意两个不相等的正数 x1,x2,当 a 4时,证明:fx1-fx2 x1-x2 6(2022秋云南保山高二校考阶段练习)设函数 f x=ex-e-x(1)求证：f(x)的导数 fx 2；(2)若对任意 x 0都有 f(x)a x,求 a的取值范围7(2022 四川内江 四川省内江市第六中学校考模拟预测)已知函数 f x=l n 1+x-x,g x=x l n x.(1)求函数 f x 的最大值；(2)设 0 a b,证明 0 g a+g b-2 ga+b2 b-a l n 2.4【能力提升】一、单选题8(2023春湖南长沙高二长沙一中校考阶段练习)以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：如果函数 f(x)在区间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间 a,b 内存在导函数，则在区间 a,b 内至少存在一个点 x0(a,b)，使得 fx0=f b-f a b-a,x=x0称为函数 y=f x 在区间 a,b 上的中值点.若关于函数 f x=ex在区间 0,1 上“中值点”个数为 m，函数 g x=sin x+3 co s x在区间 0,上“中值点”的个数为 n，则()A.m=0,n=1 B.m=1,n=1 C.m=1,n=2 D.m=2,n=1二、解答题9(2023 全国高三专题练习)设 f(x)在 0,1 可导，且 0 f(x)1，又对于(0,1)内所有的点有 fx-1证明方程 f(x)+x-1=0在(0,1)内有唯一的实根10(2023 全国高三专题练习)试证明对函数 y=p x2+q x+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间511(2023 北京东城统考模拟预测)已知函数 f(x)=(x+1)l n x-a(x-1).(I)当 a=4时，求曲线 y=f(x)在 1,f(1)处的切线方程；()若当 x 1,+时，f(x)0，求 a的取值范围.12(2023 全国高三专题练习)设 f(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且 f(1)=0求证：存在 0,1，使 f()=-f()13(2023 全国高三专题练习)验证拉格朗日中值定理对函数 y=4 x3-5 x2+x-2在区间 0,1 上的正确性614(2023 全国高三专题练习)已知函数 f(x)=x4在区间 1,2 上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的 15(2023 全国高三专题练习)设 f x=x-l n x，证明：对任意的实数 m,n，当 0 m n时，关于 x的方程f n-f m n-m=fx 在区间 m,n 上恒有实数解716(高考真题)设 a 0，f(x)=x-1-l n2x+2 a l n x(x 0).()令 F(x)=x f(x)，讨论 F(x)在(0.+)内的单调性并求极值；()求证：当 x 1时，恒有 x l n2x-2 a l n x+1.17(2022 广东统考一模)已知 f x=l n x+a x+1 a R，fx 为 f x 的导函数.(1)若对任意 x 0都有 f x 0，求 a的取值范围；(2)若 0 x1 x2，证明：对任意常数 a，存在唯一的 x0 x1,x2，使得 fx0=f x1-f x2 x1-x2成立.8拉格朗日中值定理在导数中的应用(高阶拓展)命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的载体内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能用导数解决函数基本问题2能理解拉格朗日中值定理及其几何意义3能运用拉格朗日中值定理解题【命题预测】近几年，以高等数学为背景的高考命题成为热点.许多省市模拟卷及高考试卷有关导数的题目往往可以用拉格朗日中值定理解答。本文为高阶拓展内容，利用拉格朗日中值定理解题，能体现高观点解题的好处，需学生灵活学习知识讲解1.拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数 f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间 a，b 上连续；(2)f(x)在开区间(a，b)内可导则在(a，b)内至少存在一点，使得 f=f b-f a b-a2.拉格朗日中值定理的几何意义如图所示，在满足定理条件的曲线 y=f x 上至少存在一点 P(，f()，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端的连线3.需要注意的地方(逆命题不成立)拉格朗日中值定理没有逆定理,即对曲线的任一切线,并不一定存在割线,使割线斜率等于切线斜率,如 f x=x3在 x=0处的切线斜率为0,但 f x 不存在割线使割线斜率等于014.拉格朗日公式还有下面几种等价形式f b-f a=f b-a a b，f b-f a=fa+b-a b-a 0 1，f a+h-f a=fa+h h 0 1 注：拉格朗日公式无论对于 a b都成立，而 则是介于 a与 b之间的某一常数显然，当0 1时，a a+b-a b考点一：拉格朗日中值定理的认知及简单应用1(2023 全国高三专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f x 在闭区间 a,b 上的图象连续不间断，在开区间 a,b 内的导数为 fx，那么在区间 a,b 内至少存在一点 c，使得 f b-f a=fc b-a 成立，其中 c叫做 f x 在 a,b 上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数 f x=x3-2 x在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【分析】根据给定条件，求出导数，列方程求解作答.【详解】函数 f x=x3-2 x，求导得：fx=3 x2-2，令 x0为 f x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”，则有3 x20-2=f(2)-f(-2)2-(-2)，即3 x20-2=2，解得 x0=2 33，所以函数 f x=x3-2 x在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为2.故选：B2(2023 全国高三专题练习)以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理陈述如下：如果函数 f(x)在闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少存在一个点 x0(a,b)，使得 f(b)-f(a)=fx0(b-a),x=x0称为函数 y=f(x)在闭区间 a,b 上的中值点，若关于函数 f(x)=sin x在区间 0,上的“中值点”的个数为 m，函数 g(x)=ex在区间 0,1 上的“中值点”的个数为 n，则有 m+n=()(参考数据：3.14,e 2.72.)A.1 B.2 C.0 D.n=3【答案】B【分析】利用中值点的定义分别求解两函数的中值点即可【详解】设函数 f(x)=sin x在区间 0,上的“中值点”为 x0，由 f(x)=sin x，得 f(x)=cos x，则由拉格朗日中值定理得，f()-f(0)=f(x0)(-0)，即cos x0=0，因为 x0 0,，所以 x0=2，所以函数 f(x)=sin x在区间 0,上的“中值点”的个数为1，即 m=1，设函数 g(x)=ex在区间 0,1 上的“中值点”为 x1，由 g(x)=ex，得 g(x)=ex，则由拉格朗日中值定理得，g(1)-g(0)=g(x1)(1-0)，即e-1=ex1，作出函数 y=ex和 y=e-1的图像如图所示，1 e-1 e，当x 0,1 时，1 exe，由图可知，函数 y=ex和 y=e-1的图像在区间 0,1 上有一个交点，即方程e-1=ex1区间 0,1 上有1个解，所以函数 g(x)=ex在区间 0,1 上的“中值点”的个数为1，即 n=1，2所以 m+n=2，故选：B3(2023 全国高三专题练习)法国数学家拉格朗日于1797年在其著作 解析函数论 中给出了一个定理，具体如下如果函数 y=f(x)满足如下条件：(1)在闭区间 a,b 上是连续的；(2)在开区间 a,b 上可导.则在开区间 a,b 上至少存在一点，使得 f(b)-f(a)=f()(b-a)成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中 被称为“拉格朗日中值”则 g(x)=ex在区间 0,1 上的“拉格朗日中值”=【答案】ln e-1【分析】先求 gx，结合拉格朗日中值的定义，可得 g 1-g 0=g 1-0 求得 的值即可.【详解】由 g x=ex可得 gx=ex，所以 g=e，由拉格朗日中值的定义可知 g=g 1-g 0 1-0=e-1，即e=e-1，所以=ln e-1 故答案为：ln e-1.4(2023 全国高三专题练习)以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容.其定理如下：如果函数 f x 在闭区间 a,b 上的图象不间断，在开区间 a,b 内可导，则在区间 a,b 内至少存在一个点 a,b，使得 f b-f a=f b-a，称为函数 y=f x 在闭区间a,b 上的中值点.则函数 f x=tan x在区间-4,4 上的中值点的个数为()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【分析】根据题设中给出的“拉格朗日中值点”的定义，结合函数 f x=tan x进行分析，将问题转化为求cos=2在 x-4,4 上的解的个数问题，再结合余弦函数的性质求解即可.【详解】由题意，函数 f x=tan x，x-4,4所以 f-4=-1,f4=1,fx=sin xcos x=1cos2x，3所以 f4-f-4=2,f=1cos2，所以由拉格朗日中值定理得：2=1cos22，即cos2=4，所以cos=2，由于 x-4,4 时，cos x 22,1 所以cos=-2在 x-4,4 无解，cos=2在 x-4,4 上有2解.所以函数 f x=tan x在区间-4,4 上的中值点的个数为2个.故选：B.5(2023 全国高三专题练习)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间 a,b 上的图象连续不间断，在开区间 a,b 内的导数为 fx，那么在区间 a,b 内至少存在一点 c，使得 f b-f a=fc b-a 成立，其中 c叫做 f(x)在 a,b 上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，可得函数 f x=x3-3 x在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为()A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可【详解】函数 f(x)=x3-3 x，则 f 2=2,f-2=-2,fx=3 x2-3，由 f 2-f-2=fc 2+2，得 fc=1，即3 c2-3=1，解得 c=2 33-2,2，所以 f(x)在-2，2 上的“拉格朗日中值点”的个数为2故选：B.6(2023秋江西抚州高三临川一中校考期中)拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 f x 在闭区间 a,b 上的图象连续不间断，在开区间 a,b 内的导数为 fx，那么在区间 a,b 内至少存在一点 c，使得 f b-f a=fc b-a 成立，其中 c叫做 f x 在 a,b 上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数 f x=x3-2 x在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为.【答案】2【分析】根据拉格朗日中值定理的定义可构造方程 fx=3 x2-2=2，解方程即可求得“拉格朗日中值点”的个数.【详解】f 2-f-2 2-2=4+44=2，fx=3 x2-2，令3 x2-2=2，解得：x=-2 33-2,2 或 x=2 33-2,2，f x 在-2,2 上的“拉格朗日中值点”的个数为2.故答案为：2.考点二：拉格朗日中值定理在导数中的综合应用41 设 f(x)=12x2-a x+(a-1)ln x,求证:当 1 a-1证明:由拉格朗日中值定理可知只需证 f(x)-1 对 x(0,+)恒成立由 f(x)+1=x+a-1x-(a-1)=x2-(a-1)x+(a-1)x,因为 1 a 0则 f(x)+1 0 f(x)-12 设 f(x)=(a+1)ln x+a x2+1,当 a-1 时,若对任意的 x1,x2(0,+),f x1-f x2 4 x1-x2 成立,求 a的取值范围解:由拉格朗日中值定理,可知必存在 x0(0,+),使得 fx0=f x1-f x2 x1-x2fx0=a+1x0+2 a x0,当 a 0 时,fx0=a+1x0+2 a x00 时,f(x)a x 等价于f(x)x a,由拉格朗日中值定理,存在 x00 使得f(x)-f(0)x-0=fx0,故只需 a fx0 恒成立即可又 fx0=2cos x0+12+cos x0 2=-31cos x0+2-13 2+13-1,13,所以 a 134 已知函数 f(x)=ex+x-1，若对任意 x(0,+)都有 f(x)k x恒成立，求 k的取值范围解：因为 x 0，所以 f(x)k x k f(x)x，注意到 f(0)=0，5则 k f(x)-f(0)x-0恒成立。由拉格朗日中值定理知:存在 t(0,x)使得k f(x)-f(0)x-0,所以 k x1-x2 解：令 g(x)=f(x)=2 x-2x2+ax,由拉格朗日中值定理,存在 0使得对任意两个不相等的正数 x1,x2,g x1-g x2=g().x1-x2,只需证明当 a 4时,都有 g()1即证明2+43-a21 a 2+4恒成立,而 2+4=2+2+2334故当 a 4时,a 4 0时，g(x)=ex+e-x-a 2-a 0，故 g(x)在(0，+)上为增函数，所以，x 0时，g(x)g(0)，即 f(x)a x()若 a 2，方程 g(x)=0的正根为 x1=lna+a2-42，此时，若 x(0，x1)，则 g(x)0，故 g(x)在该区间为减函数所以，x(0，x1)时，g(x)g(0)=0，即 f(x)a x，与题设 f(x)a x相矛盾综上，满足条件的 a的取值范围是(-，2【点睛】考查学生利用导数运算的能力，利用导数求闭区间上函数的最值的能力7(2022 四川内江 四川省内江市第六中学校考模拟预测)已知函数 f x=ln 1+x-x,g x=6xln x.(1)求函数 f x 的最大值；(2)设0 a b,证明0 g a+g b-2 ga+b2 b-a ln2.【答案】(1)0；(2)详见解析.【分析】(1)先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出 x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值(2)先将 a，b代入函数 g(x)得到 g(a)+g(b)-2 ga+b2 的表达式后进行整理，根据(1)可得到ln x-b-a2 a、ln2 ba+b-a-b2 b代入即可得到左边不等式成立，再用2 aa+ba+ba b根据 y=ln x的单调性进行放缩 aln2 aa+b+bln2 ba+b-1,f(x)=11+x-1，令 f(x)=0得 x=0.当-1 x 0当 x 0时，f(x)0 所以 f(x)的最大值为 f(0)=0(2)证明：只需证 aln a+b b ln-2a+b2lna+b2(b-a)ln2整理得 a ln a-lna+b2+ln2+b ln b-lna+b2-ln2 0即证 aln4 aa+b+blnba+b0上式两边除以 a，整理得ln41+ab+balnba1+ba1令 F(x)=ln41+x+xlnx1+xF(x)=lnx1+x当 x 1时 F(x)0 F(x)在区间(1，+)上单调减，又 F(1)=0 F(x)0Fba=ln41+ab+balnba1+ba0 g(a)+g(b)-2 ga+b2(b-a)ln2.【点睛】考点：1.利用导数求闭区间上函数的最值；2.平均值不等式在函数极值中的应用【能力提升】一、单选题8(2023春湖南长沙高二长沙一中校考阶段练习)以罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：如果函数 f(x)在区间 a,b 上的图象是一条连续不断的曲线，且在开区间 a,b 内存在导函数，则在区间 a,b 内至少存在一个点 x0(a,b)，使得 fx0=7f b-f a b-a,x=x0称为函数 y=f x 在区间 a,b 上的中值点.若关于函数 f x=ex在区间 0,1 上“中值点”个数为 m，函数 g x=sin x+3cos x在区间 0,上“中值点”的个数为 n，则()A.m=0,n=1 B.m=1,n=1 C.m=1,n=2 D.m=2,n=1【答案】C【分析】先求出 g x 的导函数 gx，由拉格朗日中值定理可得cos x0+3=-3，故该方程根的个数为即为函数 g x 在区间 0,上“中值点”的个数，由函数的零点与方程的根的关系即可求解.【详解】设 g x=sin x+3cos x在闭区间 0,上的中值点为 x0，由 gx=cos x-3sin x，由拉格朗日中值定理可得：g-g 0=gx0-0，因为 g-g 0=sin+3cos-sin0+3cos0=-3-3=-2 3，所以 gx0=-2 3，可得 gx0=-2 3,gx0=cos x0-3sin x0=2cos x0+3=-2 3，即cos x0+3=-3-1,-12，作出函数 y=cos x+3 和 y=-3的图象如图：由图可知，函数 y=cos x+3 和 y=-3的图象在 0,上有两个交点，所以方程cos x+3=-3在 0,上有两个解，即函数 g x=sin x+3cos x在区间 0,上有2个中值点，所以 n=2，只有 C符合，故选：C.二、解答题9(2023 全国高三专题练习)设 f(x)在 0,1 可导，且0 f(x)1，又对于(0,1)内所有的点有 fx-1证明方程 f(x)+x-1=0在(0,1)内有唯一的实根【答案】证明见解析【分析】根据函数零点存在原理，结合拉格朗日中值定理进行证明即可.【详解】令 g(x)=f(x)+x-1，又 0 f(x)1，则 g(0)=f(0)-1 0函数 g(x)在(0，1)内至少有一个实根假设方程 f(x)+x-1=0在(0，1)内有两个实根,不妨设为0 1，则有 f()=1-,f()=1-，对函数 f(x)在,上运用拉格朗日中值定理有f()-f()=f()(-)因此 f()=f()-f()-=1-1-=-1这和已知条件 f(x)-1矛盾 方程 f(x)+x-1=0在(0，1)内有唯一的实根10(2023 全国高三专题练习)试证明对函数 y=p x2+q x+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间【答案】证明见解析8【分析】不妨设所讨论的区间为 a,b，则由拉格朗日中值定理可得 f()=f(b)-f(a)b-a，代入化简即可证明.【详解】证明：不妨设所讨论的区间为 a,b，则函数 y=p x2+q x+r在 a,b 上连续，在(a,b)内可导，从而有 f()=f(b)-f(a)b-a，即2+q=p b2+q b+r-p a2+q a+r b-a，解得=b+a2，结论成立11(2023 北京东城统考模拟预测)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(I)当 a=4时，求曲线 y=f(x)在 1,f(1)处的切线方程；()若当 x 1,+时，f(x)0，求 a的取值范围.【答案】(1)2 x+y-2=0.(2)-,2.【详解】试题分析：()先求 f(x)的定义域，再求 f(x)，f(1)，f(1)，由直线方程的点斜式可求曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2 x+y-2=0.()构造新函数 g(x)=ln x-a(x-1)x+1，对实数 a分类讨论，用导数法求解.试题解析：(I)f(x)的定义域为(0,+).当 a=4时，f(x)=(x+1)ln x-4(x-1),f(x)=ln x+1x-3，f(1)=-2,f(1)=0.曲线 y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2 x+y-2=0.(II)当 x(1,+)时，f(x)0等价于ln x-a(x-1)x+10.设 g(x)=ln x-a(x-1)x+1，则g(x)=1x-2 a(x+1)2=x2+2(1-a)x+1x(x+1)2,g(1)=0，(i)当 a 2，x(1,+)时，x2+2(1-a)x+1 x2-2 x+1 0，故 g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递增，因此 g(x)0；(i i)当 a 2时，令 g(x)=0得x1=a-1-(a-1)2-1,x2=a-1+(a-1)2-1.由 x21和 x1x2=1得 x11，故当 x(1,x2)时，g(x)0，g(x)在(1,x2)单调递减，因此 g(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式 f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间12(2023 全国高三专题练习)设 f(x)在 0,1 上连续，在(0,1)内可导，且 f(1)=0求证：存在 0,1，使 f()=-f()【答案】证明见解析9【分析】从 f()=-f()结论出发，变形为 f+f=0，构造辅助函数使其导函数 fx x+f x，然后再利用罗尔中值定理，便得结论【详解】证明：构造辅助函数 F x=x f x，Fx=f x+x fx 根据题意 F x=x f x 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 F 1=1 f 1=0，F 0=0 f 0=0，从而由罗尔中值定理得：存在 0,1，使 F()=f()+f()=0，即 f()=-f()13(2023 全国高三专题练习)验证拉格朗日中值定理对函数 y=4 x3-5 x2+x-2在区间 0,1 上的正确性【答案】证明见解析【分析】根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程 f()=f(1)-f(0)1-0，若得到的根 0,1 则可验证定理的正确性【详解】y=f(x)=4 x3-5 x2+x-2在 0,1 连续，在(0,1)内可导，y=f(x)=4 x3-5 x2+x-2在区间 0,1 上满足拉格朗日中值定理的条件又 f 1=-2,f 0=-2，f(x)=12 x2-10 x+1，要使 f()=f(1)-f(0)1-0=0，只要：=5 1312(0,1)，=5 1312(0,1)，使 f()=f(1)-f(0)1-0，验证完毕14(2023 全国高三专题练习)已知函数 f(x)=x4在区间 1,2 上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的【答案】(1,2)【分析】由拉格朗日中值定理可知，f()=f(2)-f(1)2-1，解方程即可得出答案.【详解】要使 f()=f(2)-f(1)2-1，只要4 3=15=3154，从而=3154(1,2)即为满足定理的 15(2023 全国高三专题练习)设 f x=x-ln x，证明：对任意的实数 m,n，当0 m n时，关于 x的方程f n-f m n-m=fx 在区间 m,n 上恒有实数解【答案】证明见解析【分析】结合函数解析式，将原问题转化为证明 lnmn-m-nm lnmn-m-nn 0，由此分别构造函数，利用导数判断函数单调性，证明该不等式成立即可.【详解】由题意，当0 m n时，方程f n-f m n-m=fx 即为lnmn-m-nx=0,于是要证关于 x的方程f n-f m n-m=fx 在区间 m,n 上恒有实数解，只需证明 lnmn-m-nm lnmn-m-nn 0，10于是 g x 在 m,n 上单调递增，g m g n=0,即lnmn-m-nn0，于是 h x 在 m,n 上单调递增，h n h m=0，即lnmn-m-nm0，故 lnmn-m-nm lnmn-m-nn 0成立，从而对任意的实数 m,n，当0 m 0).()令 F(x)=x f(x)，讨论 F(x)在(0.+)内的单调性并求极值；()求证：当 x 1时，恒有 x ln2x-2 a ln x+1.【答案】()F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，+)内是增函数，所以，在 x=2处取得极小值 F(2)=2-2ln2+2 a()当 x 1时，恒有 x ln2x-2 a ln x+1.【详解】解：根据求导法则有 f(x)=1-2ln xx+2 ax，x 0，故 F(x)=x f(x)=x-2ln x+2 a，x 0，于是 F(x)=1-2x=x-2x，x 0，列表如下：x(0，2)2(2，+)F(x)-0+F(x)极小值 F(2)故知 F(x)在(0，2)内是减函数，在(2，+)内是增函数，所以，在 x=2处取得极小值 F(2)=2-2ln2+2 a()证明：由 a 0知，F(x)的极小值 F(2)=2-2ln2+2 a 0于是由上表知，对一切 x(0，+)，恒有 F(x)=x f(x)0从而当 x 0时，恒有 f(x)0，故 f(x)在(0，+)内单调增加所以当 x 1时，f(x)f(1)=0，即 x-1-ln2x+2 aln x 0故当 x 1时，恒有 x ln2x-2 aln x+117(2022 广东统考一模)已知 f x=ln x+a x+1 a R，fx 为 f x 的导函数.(1)若对任意 x 0都有 f x 0，求 a的取值范围；(2)若0 x1 x2，证明：对任意常数 a，存在唯一的 x0 x1,x2，使得 fx0=f x1-f x2 x1-x2成立.【答案】(1)-,-1(2)证明见解析【分析】(1)通过分离变量的方式得到 a g x=-ln x+1x，利用导数可求得 g x min，由此可得 a的范围；(2)将问题转化为 h x=fx-f x1-f x2 x1-x2在区间 x1,x2 上有唯一的零点，由解析式可确定 h x 在11x1,x2 上单调递减；结合(1)的结论知ln x-x+1 0，进而得到 h x1 0，h x2 0，由零点存在定理可证得结论.【详解】(1)由 f x 0得：a x-ln x-1，即 a-ln x+1x；令 g x=-ln x+1x，则 gx=ln xx2，当 x 0,1 时，gx 0；g x 在 0,1 上单调递减，在 1,+上单调递增，g x min=g 1=-1，a-1，即 a的取值范围为-,-1.(2)设 h x=fx-f x1-f x2 x1-x2，将问题转化为 h x 在区间 x1,x2 上有唯一的零点，由 h x=fx-f x1-f x2 x1-x2=1x+a-ln x1+a x1-ln x2-a x2x1-x2，知 h x 在区间 x1,x2 上单调递减，故函数 h x 在区间 x1,x2 上至多有1个零点，h x1=1x1+a-ln x1+a x1-ln x2-a x2x1-x2=1x1-ln x1-ln x2x1-x2=1x1-x21-x2x1+lnx2x1，h x2=1x2+a-ln x1+a x1-ln x2-a x2x1-x2=1x2-ln x1-ln x2x1-x2=1x1-x2x1x2-1+lnx2x1，由(1)知：当 a=-1时，ln x-x+1 0(当且仅当 x=1时取等号)，0 x11，lnx2x1-x2x1+1 0，又 x1-x20，即1x1-x20，0 x1 x2，0 x1x21，lnx1x2-x1x2+1 0，又 x1-x20，即1x1-x20，h x2 0，由函数零点存在定理知：h x 在区间 x1,x2 上有唯一的零点，即存在唯一的 x0 x1,x2，使得 fx0=f x1-f x2 x1-x2成立.【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，本题第二问证明的关键是能够将问题转化为h x=fx-f x1-f x2 x1-x2在区间 x1,x2 上有唯一的零点的证明问题，从而能够结合零点存在定理进行证明.12