广东2024届衡水金卷新高三开学考（8月百校开学联考）数学试题含答案.pdf

广东2024 届衡水金卷新高三开学考（8月百校开学联考）数学试题2024 届 新 高 三 开 学 联 考数 学 参 考 答 案 及 解 析三、填 空 题1 3.56【解 析】c o s 3 2 s i n 3 2 s i n c o s 121356.故 答 案 为56.1 4.1 78【解 析】令 1 x t(t 0)，则 x 1 t2，y 2 t2 t 2 2t 1421 78(t 0)，所 以 y m a x 1 78.故 答 案 为1 78.1 5.0，22【解 析】设 C 的 半 焦 距 为 c，则 F(c，0)关 于 直 线 y x 的 对 称 点 P 的 坐 标为(0，c)，因 为 P 落 在 C 上 或 C 内，所 以 b c，所 以 a2 c2 b2 c2，所 以 e 0，22.故 答案 为0，22.1 6.2 7 6 56 5【解 析】如 图 所 示，在 长 方 体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，因 为 A B B C 3，B S 1，所 以 B M 1，延 长 S M 与 D A 的 延 长 线 交 于 E，再 连 接 P E，P E 与 A 1 A 的 交 点 为 N，同 理 确定 R.因 为 A E B S，所 以A MB MA EB S，因 为 B S B M 1，A M 2，所 以 A E 2，因 为 A 1 D 1 3，P 为 A 1 D 1 的 中 点，所 以 A 1 P 32，因 为 A 1 P A E，所 以A 1 PA EA 1 NA N，又 A 1 A 2，所 以 A N 87，同 理 C R 87，C 1 R 67，在 C D 上 取 一 点 X，使 得 C X 1，过 X 作 X Y 与 Q R 垂 直，垂 足 为 Y，连 接 M X，可 以 证 明：M Y Q R，且 M X 3.因 为 S X Q R S X C C 1 Q S X C R S Q C 1 R 97，Q R C 1 Q2 C 1 R23 6 51 4，所 以12Q R X Y 97，所 以 X Y 1 26 5，所 以 M Y M X2 X Y22 7 6 56 5.故 答 案 为2 7 6 56 5.【没 有 化 简 也 给 分】四、解 答 题1 7 解：(1)因 为(a c)2 b2(2 2)a c，所 以 a2 c2 b2 2 a c，(2 分)由 余 弦 定 理 得，c o s B a2 c2 b22 a c22，(4 分)因 为 B(0，)，【没 有 范 围 扣 1 分】所 以 B 4.(5 分)(2)s i n C s i n(A B)s i n34 s i n3c o s4 c o s3s i n46 24，(6 分)由 正 弦 定 理 得，as i n Abs i n Bcs i n C，(7 分)所 以ls i n A s i n B s i n Cbs i n B，(8 分)所 以 b l s i n Bs i n A s i n B s i n C(6 2 3 3 2)2232226 24 2 2.(1 0 分)【结 果 没 有 化 简 得 出 2 2 扣 1 分】【其 他 解 法 酌 情 给 分】1 8 解：(1)设 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q，因 为 a 1，58，a 3 成 等 差 数 列，所 以 a 1 a 1 q254，因 为 S 3 74，所 以 a 1 a 1 q a 1 q274，(2 分)相 减 得 a 1 q 12，所 以 q 12 a 1，代 入 a 1 a 1 q254得 4 a 12 5 a 1 1 0，解 得a 1 1，q 12或a 1 14，q 2，(4 分)因 为 a n 1 a n(n N*)，所 以a 1 1，q 12，所 以 a n a 1 qn112n1.(6 分)(2)由 已 知 得，b n n 2n，(7 分)T n 1 2 2 22 3 23(n 1)2n1 n 2n，(8 分)所 以 2 T n 1 22 2 23 3 24(n 1)2n n 2n1，两 个 等 式 相 减 得 T n(2 22 23 24 2n n 2n1)，(1 0 分)所 以 T n 2 22 23 24 2n n 2n12 2n11 2 n 2n1(1 n)2n1 2.(1 2 分)【其 他 解 法 酌 情 给 分】1 9 解：(1)因 为 E，F 分 别 为 P D，P B 的 中 点，所 以 E F B D，(1 分)因 为 E F 平 面 B D G，B D 平 面 B D G，所 以 E F 平 面 B D G.(3 分)(2)因 为 三 角 形 P A D 是 正 三 角 形，Q 为 A D 的 中 点，所 以 P Q A D，又 因 为 C D P Q，A D C D D，所 以 P Q 平 面 A B C D，B Q 平 面 A B C D，所 以 P Q B Q，因 为 四 边 形 B C D Q 是 矩 形，所 以 B Q A D，即 直 线 Q P，A D，Q B 两 两 垂 直，(5 分)以 Q 为 坐 标 系 的 原 点，射 线 Q B，Q D，Q P 分 别 为 x，y，z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，(6 分)因 为 四 边 形 B C D Q 是 面 积 为 2 的 矩 形，B C Q D 1，所 以 B Q 2，由 已 知 得，P(0，0，3)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，(8 分)所 以 P C(2，1，3)，G1，12，32，(1 0 分)设 平 面 B G D 的 一 个 法 向 量 为 n(x，y，z)，B G 1，12，32，B D(2，1，0)，B Gn 0B Dn 0，x 12y 32z 0 2 x y 0，令 x 1，得 y 2，z 0.n(1，2，0)，设 P C 与 平 面 B G D 所 成 的 角 为，则 s i n|c o s P C，n|P Cn|P C|n|48 51 05.所 以 P C 与 平 面 B G D 所 成 角 的 正 弦 值 为1 05.(1 2 分)【其 他 解 法 酌 情 给 分】2 0 解：(1)设 E 的 半 焦 距 为 c，因 为 抛 物 线 y2 8 x 的 焦 点 坐 标 为(2，0)，所 以 c 2，(1 分)因 为 E 的 离 心 率 为 2，所 以 a 1，b2 c2 a2 3，(3 分)所 以 双 曲 线 E 的 标 准 方 程 为 x2y23 1.(4 分)(2)当 直 线 l 的 斜 率 为 0 时，显 然 不 适 合 题 意；【少 情 况 扣 1 分】当 直 线 l 的 斜 率 不 为 0 时，设 直 线 l：x m y 2m 33，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由x m y 23 x2 y2 3，消 去 x，得(3 m2 1)y2 1 2 m y 9 0，(6 分)3 m2 1 0 且(1 2 m)2 3 6(3 m2 1)3 6(m2 1)0，y 1 y 2 1 2 m3 m2 1，y 1 y 2 93 m2 1，(7 分)所 以 x 1 x 2(m y 1 2)(m y 2 2)m2y 1 y 2 2 m(y 1 y 2)4 m293 m2 12 4 m23 m2 1 4 3 m2 43 m2 1，(9 分)令 x 1 x 2 y 1 y 2 3 m2 43 m2 193 m2 1 0，解 得，m 53，此 时 O A O B，(1 1 分)所 以 存 在 直 线 l：3 x 5 y 2 3 0，使 O A O B 成 立(1 2 分)【其 他 解 法 酌 情 给 分】2 1 解：(1)由 已 知 得，X 0，2 0，4 0，P(X 0)C 201 12214，P(X 2 0)C 21121 12 12，P(X 4 0)C 2212214，所 以 X 的 分 布 列 为X 0 2 0 4 0P141214(3 分)由 已 知 得，Y 2 0，4 0，所 以 P(Y 4 0)C 22C 3213，P(Y 2 0)1 1323.所 以 Y 的 分 布 列 为Y 2 0 4 0P2313(6 分)(2)甲 在 第 二 轮 得 分 分 类 如 下：选 2 0 分 和 3 0 分 的 题 所 得 分 数 为 2 0 分 和 5 0 分，选 2 0 分 和 4 0 分 的 题 所 得 分 数 为 2 0 分 和 6 0 分，选 3 0 分 和 4 0 分 的 题 所 得 分 数 为 0 分、3 0 分、4 0 分 和 7 0 分，(7 分)乙 在 第 二 轮 得 分 分 类 如 下：选 2 0 分 和 3 0 分 的 题 所 得 分 数 为 0 分、2 0 分、3 0 分 和 5 0 分，选 2 0 分 和 4 0 分 的 题 所 得 分 数 为 0 分、2 0 分、4 0 分 和 6 0 分，选 3 0 分 和 4 0 分 的 题 所 得 分 数 为 0 分、3 0 分、4 0 分 和 7 0 分，(8 分)由 已 知 及(1)得，甲 两 轮 的 总 积 分 不 低 于 9 0 分 的 概 率 为P甲1213231314 131 23 1 132313 53 6；(9 分)乙 两 轮 的 总 积 分 不 低 于 9 0 分 的 概 率 为，P乙2313121413 13341234141214 54 8，(1 1 分)因 为 P甲 P乙，所 以 甲 更 容 易 晋 级 复 赛(1 2 分)【其 他 解 法 酌 情 给 分】2 2 解：(1)f(x)1x 1，设 切 点 的 坐 标 为(x 0，f(x 0)，则 切 线 方 程 为 y l n(x 0 1)1x 0 1(x x 0)，因 为 切 线 过 点(1，1)，所 以 1 l n(x 0 1)1x 0 1(1 x 0)，解 得 x 0 0，所 以 切 线 方 程 为 y x.(3 分)(2)令 h(x)ex1 x x22 ex 1 x x22，h(x)ex x 1，令 h(x)m(x)，则 m(x)ex 1，当 x 0 时，m(x)ex 1 0，所 以 m(x)ex x 1 在(0，)上 单 调 递 增，所 以 h(x)h(0)0，所 以 h(x)在(0，)上 单 调 递 增，所 以 h(x)h(0)0，即 当 x 0 时，ex 1 x x22；(6 分)g(x)l n(x 1)a ex，g(x)a ex1x 1，若 a 0，g(x)0，则 g(x)在(1，)上 单 调 递 增，最 多 只 有 一 个 零 点，不 符 合 题 意；(7分)若 a 0，ex 0，且n(x)(x 2)ex，当 x 1 时，n(x)0，所 以 n(x)(x 1)ex在(1，)上 单 调 递 增，又 因 为 当 x 1 时，(x 1)ex 0；当 x 时，(x 1)ex，又 因 为 1a 0，所 以 1a(x 1)ex恰 有 一 解 x x 0，当 x(1，x 0)时，g(x)0，g(x)单 调 递 增；当 x(x 0，)时，g(x)0，即 a ex 0 l n(x 0 1)0，(9 分)不 妨 设 x 2 x 1，当 x(1，0，g(x)x 1 0，由(1)得，直 线 y x 与 函 数 y l n(x 1)切 于 原 点 得：当 x 0 时，l n(x 1)x，因 为 a 0 时，g(x)a ex l n(x 1)0 时，g(x)q(x)，(1 0 分)所 以a x22(a 1)x a 0 一 定 存 在 两 个 不 同 的 根，设 为 x 3，x 4(x 3 0，所 以 q(x 2)g(x 2)0 q(x 4)，又 因 为 x 2，x 4 位 于 单 调 递 减 区 间，所 以 x 2 x 3，所 以 x 3 x 1 x 2 x 2 0，因 为 x 3 x 4 2 0，所 以 x 3 0，又 因 为 x 3 x 4 2(a 1)a，所 以 x 4 x 3(x 3 x 4)2 4 x 3 x 4 4(a 1)2a2 8 21a22a 1，所 以|x 2 x 1|21a22a 1.(1 2 分)【其 他 解 法 酌 情 给 分】书 书 书!#!#$%&(!#$%&()!#$!%!%&#!&$!#$&()!%&()*+,!#$&)!#$#&)$*)&$)+-.%!,!%&#/$#!0!$#$!#$&$%!$%$%&!-.,!-!.!%&#12#3!4506789:;(?9AB(CDE$-!2!2$!*$/!#*$2$/!2!&3/$!01!-.!#!4!%&#FGH&!I 5&-*5-#&-*-&!-!-&-&!($6&$*#$6 2$6!&!32$6!&$6 3!3&5*-&-!I($6-&$62-&/$!-.4!/!.!%&#/7 89-&-7 89-:$!JKLM07 89-7 89-&7 89-:$!#$7 89-#!&#!#$7 89-&!N!#$&3N$3!-.!5!4!%&#!)#&$!%!&#!#$!&!5N!&/!5!O!&!5P!4$QRSP)#&)!#*!#5T$5!#$5UVWXY!Z(O!&/!5P!4$QRSP)#&)!#*/!#5T$5!#$5UVWX!#$!&/!5!-.4!6!%!%&#*$#&*&#!_0!+槡$!槡-!#!,槡$*!槡-*!#!#$+,(a槡!)#+#,&!/bc0!de#*$#&fghie(jk!l-*&$#me!#$./&+,!&$!#$&/+,(;n$!./)#+#,&槡!-.%!:!4!%&#o)#&#*;)#!0#&7#*$!#1#&=#$!2#&#1#)#&=#$#;)#!3#&#1#0#&=#$7#*$!2#4#&=#$0 8;#!3#4#&=#$#*$!o#5#&2#4#!#5 4#&=#*;)#!O#%!&#$!P!#5 4#!#$2#4#T!&#$!PVWXY!#$O#%!&#$!P!2#4#2 4#$!&槡=$0 8;$!#槡=$0 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