2023年数学建模c题输油管的布置解析.docx

2023 高教社杯全国大学生数学建模竞赛输油管的布置摘要能源的运输线路关系到国家的经济进展，本文依据问题的条件和要求，针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不怜悯形建立最优化模型。通过分析，将炼油厂、车站、铁路线之间的距离作为未知常量，列出费用优化模型，完整地解决了问题。针对第一问：首先画出两炼油厂及车站的位置关系图，通过对问题的分析，在位置关系图的根底上承受分步设计的思路，设计出了输油管道及车站的通用方案图。利用通用方案图，设定能够表示非共用管道交汇点位置及火车站建设点位置的变量 x、y ，依据几何学问建立费用最小方案模型:(a - y)2 + x2W =P (1+(b - y)2 + (c - x)2 ) + P y ，2利用 lingo 软件编写程序，从而求解出任意状况下的费用最小方案。针对问题二：首先分析三家公司对附加费用的不同推测及自身的资质，我们承受加权平均的方法计算出合理的附加费用法，再由第一问的模型建立最优化模型：(x2 + (a - y)2d 2 + (l - c)2W = P (+(b - d - y)2 + (c - x)2 ) + P y + P1123通过 ling 软件编程从而求解出设计方案，该方案计算的费用为 283.20 万。方案如下图：针对问题三：首先比较第三问与其次问，得出第三问与其次问的区分在于输油管道费用不再是固定的值。改进其次问中的模型，建立第三问的最优化模型：minW = P L + P L + P y + P L11 1122233d 2 + (l - c)2=P(x2 + (a - y)2 +P(b - d - y)2 + (c - x)2 +P y+P111223代入数据从而得出了最优方案。方案计算的费用为 252.47 万关键词： lingo最优化模型加权平均值一问题重述1. 问题的重述某油田打算在铁路线一侧建筑两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。由于这种模式具有肯定的普遍性，油田设计院期望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法。2. 提出问题：1（1） 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不怜悯形，提出设计方案。在方案设计时，假设有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线费用一样或不同的情形。（2） 设计院目前需对一更为简单的情形进展具体的设计。两炼油厂的具体位置由附图所示，其中A 厂位于郊区图中的I 区域，B 厂位于城区图中的II 区域，两个区域的分界限用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离单位：千米分别为 a = 5， b = 8，c = 15，l = 20。假设全部管线的铺设费用均为每千米 7.2 万元。铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进展估量，聘请三家工程询问公司其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质进展了估算。估算结果如下表所示：工程询问公司附加费用万元/千米公司一21公司二24公司三20请为设计院给出管线布置方案及相应的费用。（3） 在该实际问题中，为进一步节约费用，可以依据炼油厂的生产力量，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元，拆迁等附加费用同上。然后给出管线最正确布置方案及相应的费用。二问题分析（1） 针对问题一，由题意可知，此问未供给任何与解题有关的的数据，仅给出有两个炼油厂需要铺设通往火车站的管道，火车站也是未知待定的。要想设计出合理的方案，就需要画出草图，以此形象的显示设计方案所涉及的不怜悯形，未知数据先用2字母表示出来。设计方案的总体思路是承受分步设计，首先架设非公用管道，其次架设共用管道，最终确定火车站的位置，。依据设计过程中总结的规律，建立最优化模型， 解决问题一提出的问题。（2） 针对问题二，通过比较问题一和问题二的题设条件可知，问题二给出了影响总费用的因素，每千米的铺设费用7.2 万元和附加费用。因三家工程询问公司评估的附加费用不同其中公司一 21 万元/千米，公司二 24 万元/千米,公司三 20 万元/千米，并且资质也不同其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质。所以我们承受加权平均的方法对评估出来的三种不同费用进展处理，求出更为合理的附加费用值。在设计费用最优化模型时，考虑到城市的拆迁费用，我们将输油管穿过城区的局部用 L3 表示。然后分共线和不共线两种状况进展比较分析：当 A 厂,B 厂输油管有共用管线时，从B 厂动身架设到共用管线时的非共用管线分两局部考虑 L2，L3，共用管线用 Y 表示。未知变量均用字母表示出来，建立最优化模型，在 lingo 中输入目标函数与约束条件，导出结果目标函数值；当 A 厂,B 厂到车站的输油管没用共用管线时，由模型可知， 此时 Y=0。同理，运用 lingo 软件，在共线模型的根底上给约束条件中的 Y 赋值为 0， 计算出此时的目标函数值。通过比较 A 厂，B 厂到车站是否使用共用管线的两种状况所需费用，得出最优方案。（3） 针对问题三：问题三在问题二的根底上考虑到实际问题，依据炼油厂的生产力量不同，选用相适应的输油管。这时的管线铺设费用将分别降为：输送A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米 7.2 万元. 依据问题二共线和不共线两种状况下建立的模型，修改在 lingo 程序里的每千米的管道费用值，即可导出结果，通过比较 A 厂，B 厂到车站是否共用管线时的费用，确定最正确方案。三问题假设1、铺设的管道所经区域均为平坦无阻隔的平地，不存在影响管道铺设的地形，如河流，山谷等。2、铺设管道的路线由假设干条直线段构成，不存在曲线。3、铁路线不存在拐弯或曲线的状况，可看做是一条直线四、 名词解释及符号说明1. 名词解释：1.2.2. 符号说明WP1方案总费用非共用管线单位长度的费用P2共用管线单位长度的费用P11由炼油厂 A 导出的非共用管线的费用P12由炼油厂 B 导出的非共用管线的费用3公司i 评估的附加费用P 3i三家公司评估的加权平均值P i3公司i 的权重ia 炼油厂 A 到铁路线的垂直距离b 炼油厂 B 到铁路线的垂直距离c 炼油厂 A、B 在以铁路线为水平线的竖直距离由炼油厂 A 导出的非共用管线的长L1由炼油厂 B 导出的非共用管线的长L2L”建模前共用管线的长的表示y建模后共用管线的长的表示L在区域内的非共用管线的长3T非共用管线的交汇点D车站的建设位置x车站距离炼油厂 A 在铁路线上的垂点之间的距离五、 模型的建立及求解针对问题一：由题知本文是依据两个炼油厂的之间的位置及与铁路线的距离设定方案，方案中要确定输油管道的铺设路线及火车站的位置。方案要使铺设管道的费用最省。问题一中未供给任何数据，说明解决第一问要解决两炼油厂在任意位置下的费用最优化问题。由题意知铺设管线分为有共用管线和无共用管线两种状况，下面就对这两种状况单独争论：（1） 有共用管线状况下的最优方案：分析问题知，要想费用最省的方案，就要知晓这几个数据：两炼油厂距离铁路线各自的垂直距离；两炼油厂以铁路线为水平线的水平距离，单位长度共用管线的费用P 及1非共用管线的费用 P2。如图一：4A、B 为两个炼油厂，a、b 分别为 A、B 两个炼油厂距离铁路线的垂直距离，c 为以铁路线为水平线的水平距离。由于第一问中未供给任何数据，所以先把这些变量看作是常量。知道这几个数据的值我们才能进一步设计方案。对于有共用管线的状况下确定的方案，肯定包含有图二中的信息：图二图中设非公用管线和公共管线单位长度的费用分别为 P 、P ，L 、L分别表示从 A、1212B 炼油厂导出的非共用管线的长度，T 点表示两非共用管线的交汇处，从T 点导出公用管线连接到车站 D， L” 表示共用管线的长度。在设计方案的时候我们先确定了 T 点，如图三：图三再从 T 点导出公用管线连接到车站 D，从而确定L” ，由于铁路线上任一点均可作为火车站，所以有很多条线可作为 L” ，如图四：图四5由于点到直线的垂线段是该点到直线上任意一点的线段的最短直线，所以当 D 点为点 T 在铁路线上的垂点时 L” 最小，共用管线的铺设费用最低。所以我们在设计输油管道布置方案时，规定火车站的建筑点 D 为非共用输油管道交汇点 T 在铁路线上的垂点， 此时我们重定义 y 表示 L” 。图五图五所示的为输油管道的一种设计方案图例：图中的a、b、c 为未确定的常量，观看图觉察求解最正确方案就是找出最正确的 T、D 点，使得输油管道建设费用最低。图中 x 表示火车站与炼油厂 A 的水平距离，T、D 两点的位置用坐标的形式可表示为：T(X,Y) D(x,0)，求 D、T 点就转化为求 x、y 值。运用几何学问，我们可以表示出图中 L 、L ：12L =(a - y)2 + x2112L =(b - y)2 + (c - x)22假设非共用管线单位长度和共用管线单位长度的费用分别为P、P ，则铺设管线的总费用：126W = P (L + L ) + P y(a - y)2 + x2112=P (12+(b - y)2 + (c - x)2 ) + P y23在面对具体问题时，上式中 a、b、c、P1、P2 将是的常数，公式3就只剩两个变量 x、y，公式3变为二元函数： W = f (x,y) ,求解最小费用的问题就转化为了求二元函数的最值问题。我们可以利用lingo软件 1编写最优化模型解出 a、b、c、P1、P2 被赋值后二元函数 W=f(x,y)的最小值及对应的 x、y 值：minW=P1+(b - y)2 + (c - x)2 + P y4(a - y)2 + x22当共用管线与非共用的单位长度的费用一样时，可以在程序中增加限制条件：P = P12；而费用不同时则增加限制条件： P1¹ P 。2在存在共用管线的状况下，运用该编程可以针对任意状况求解出优化方案及方案中对应的 x、y 值及最小费用；非共线输油管线的交汇点 T(x,y)及车站 Dx,0的位置得以确立，这也意味着费用最低的方案中输油管线布置路线得以确立。（2） 无共用管线状况下的优化方案假设单纯铺设非共用管道，不存在共用管道，参照有共用管线下最优化模型的建立过程；可以理解为共用管道的长度为零，在图五对应的 y 值为 0，争论这种状况时只需在加上 lingo 程序中附加限制条件 y=0 即可优化出单纯铺设非共用管道状况下的最正确方案。那么对应的 lingo 优化模型为(a - y)2 + x2+(b - y)2 + (c - x)2 minW=P1同样在无共用管线状况下，该模型能对任意状况下求解出优化方案。5为了对该共用管线和非共用管线两种状况下的模型进展检验，我们给未知常量 a、b、c、P1、P2 任意赋值，假设 a=15,b=20,c=12,P1=4,P2=6;将这些常量分别代入两种模型进展优化，计算结果为：无共用管线状况下：min W=148.00;图六所示：x=5.14.;y=0；铺设线路及火车站建设点如有共用管线状况下：min W=136.75;图七所示x=3.80;y=10.70；铺设线路及火车站建设点如7图六图七针对问题二依据问题要求我们设计管线布置方案和计算相应的费用，首先在设计管线布置方案时，我们首先分共线和不共线两种状况进展争论，然后建立费用最优化模型，最终比较分析，选择最优方案。1 当 A 厂,B 厂运往车站的输油管有共用管线时：由题意知，三家工程询问公司评估的附加费用不同其中公司一，公司二 ,公司三分别用 P1 , P2 , P3 ，并且资质2 也不同其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具333有乙级资质。由此我们首先对三家公司赐予权重w1= 0.4,w2= 0.3,w3= 0.3 ；又知三家工程询问公司评估的费用： P1 = 21, P2 = 24, P3 = 20 ,进而承受加权平均3 的方法对三家公333。司评估出来的三种不同费用进展处理，求出更为合理的附加费用值 P3P = w P1 +w P2 +w P3= 21.6(万元/千米)31 32 33 3参照题中图表画出了输油管道布置图，如图八：图八首先从 B 厂铺设输油管道，管道经过城区的输油管道的长度为 L3，设交点与点 B 在以铁路线为水平线的水平距离为 d ；然后再分别由交点和炼油厂 A 铺设非共用管道L 、L ，并于T 点交汇；接着由T 点铺设通向车站 D 的共用管道，由第一问中的结论的128点 D 为点T 在铁路线的垂点，设这段共用管道的长为 y ，车站 D 与炼油厂 A 在以铁路线为水平线的竖直距离为 x 。在该图中有 d 、 x 、 y 未知量，由几何学问，可以分别表示出 L 、L 、L ：123(x2 + (a - y)2L =；1(b - d - y)2 + (c - x)2L =；2d 2 + (l - c)2L =；3设非共用管线和共用管线的费用分别为 P 、 P ，则建立总费用的模型：12W = P (L + L ) + P y + L P11223 3= P (+(b - d - y)2 + (c - x)2 ) + P y + P6(x2 + (a - y)2d 2 + (l - c)2123运用类比在问题一中编写的 lingo 程序，我们再次使用lingo 编写适用于问题二的模型：(x2 + (a - y)2d 2 + (l - c)2minW = P (+(b - d - y)2 + (c - x)2 ) + P y + P7123(x2 + (a - y)2L =；1(b - d - y)2 + (c - x)2L =；2d 2 + (l - c)2L =；3由题问题二中给出的条件知： P1= 7.2,P2= 7.2,P3= P = 21.6,a=5,b= 8,c=15,l = 20;运用3lingo 软件编写程序，得到目标函数的值运算结果见附录，即在共线的状况下，方案中的总费用与对应值。W = 283.20，x = 5.45(千米)，y = 1.85(千米),D=0.63(千米)，L1= 6.29千米, L2= 11.03千米,L = 5.043千米, 方案见图九：图九92、当 A 厂,B 厂运往车站的输油管没有共用管线时：同理，由共线时的模型可知，分析在不共线的状况，此时 Y=0。运用 lingo 软件，在共线模型的根底上给定约束条件中的Y 赋值为 0，计算出此时的目标函数值为 285.04万。方案如图十所示：图十通过比较 A 厂，B 厂到车站是否使用共用管线的两种状况所需费用，假设单纯考虑费用最低的方案，则有共用管道的方案是最优方案。针对问题三：问题三在问题二的根底上考虑到实际问题，依据炼油厂的生产力量不同，选用相适应的输油管。这时的管线铺设费用将分别降为：输送A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万元，共用管线费用为每千米7.2 万元。依据问题要求我们设计管线布置方案和计算相应的费用，在设计管线布置方案时，我们首先分共线和不共线两种状况进展争论，然后建立费用最优化模型，最终比较分析，选择最优方案。.1 当 A 厂,B 厂运往车站的输油管有共用管线时依据问题二共线状况下建立的模型，由题意可知，问题三可以看作是问题二共线状况下的延长，它与问题二的区分在于 A 厂 、B 厂单位长度的管线费用由原来的均为 7.2 万每平方千米变为输送 A 厂成品油的每千米 5.6 万元，输送 B 厂成品油的每千米 6.0 万元，因此可以对问题二在 lingo 编写的程序中的约束条件每千米的管道费用值稍作修改，即可做出符合此问题意的最优化模型，即可导出结果。10minW = P L + P L + P y + P L11 1122233=P(x2 + (a - y)2 +P(b - d - y)2 + (c - x)2 +P y+Pd 2 + (l - c)28111223( P、 P1112分别表示油厂 A、B 铺设的非共用管线单位长度的费用其他字母表示的意义同上)代入数据求得方案结果：W = 252.4737万元，x = 6.7321(千米)，y = 0.1401(千米),D=0.7178(千米)，L1= 8.3030千米,L = 10.9255千米, L23= 5.0512千米,2 当 A 厂,B 厂运往车站的输油管没有共用管线时同理，由共线时的模型可知，分析在不共线的状况，此时 Y=0。运用 lingo 软件，在共线模型的根底上给约束条件中的 Y 赋值为 0，得出了无共用管线的方案。此时费用为W = 252.4808万元，x = 6.7515(千米)，y = 0(千米),D=0.7264(千米)，L1= 8.4013千米,L = 10.9974千米, L23= 5.0525千米,下面我们观看两种方案的示意图：比较两种状况所需费用，无共用管线的方案比有共用管线的方案多出 0.0071 万元，11两方案费用几乎相等。有共用管线时的方案所铺设的共用管线仅有 0.1401 千米，在实际状况下发挥的作用很小，而且共用管线一旦损坏，将影响到两家炼油厂输油，会造成巨大的经济损失，所以综合考虑我们承受无共用管线的方案作为问题二的最终方案。六模型的评价与推广模型评价： 优点：1. 该模型是对任意状况下的无限种方案进展筛选，选择出费用最省的方案，精准度高，2. 对问题进展了合理的假设，舍去次要因素，使模型具有反映突出主因和操作简便的特点3. 屡次使用 lingo 软件，充分利用软件运行速度快，求解结果精度高的特点， 缺点：1.模型没能考虑到实际状况的简单因素，例如：河流、山谷等简单地形对管线铺设的影响；铁路线并非直线甚至消灭弯道的状况。模型求解的最优方案会与实际状况有偏差。模型推广：论文中的三问究其根源是选址问题，因此本模型可以应用到机场、工业区选址等现实生活中遇到的问题。七参考文献1 袁生 邵大宏 郁时炼.LINGO 和 EXCEL 在数学建模中的应用 第一版.2023 科学出版社.2023.12 :/wenku.baidu /view/2981bc3d376baf1ffc4fad56.html3 韩中庚 陆宜清 周素静.数学建模有用教程 第一版.2023 高等教育出版社.2023.3九、附录min=w; w=p1*(l1+l2)+p2*y; l1=(a-y)2+x2)0.5;l2=(b-y)2+(c-x)2)0.5; a=15;b=20;c=12;p1=4;p2=6; y=0;12Local optimal solution found.Objective value:148.0000Extended solver steps:5Totalsolveriterations:VariableValue116Reduced CostW148.00000.000000P14.0000000.000000L115.857140.000000L221.142860.000000P26.0000000.000000Y0.0000000.000000A15.000000.000000X5.1428570.000000B20.000000.000000C12.000000.000000RowSlack or SurplusDual Price1148.0000-1.00000020.000000-1.00000030.000000-4.00000040.000000-4.00000050.000000-3.78378760.000000-3.78378670.000000-1.29731880.000000-37.0000090.0000000.000000100.0000001.567562min=w; w=p1*(l1+l2)+p2*y; l1=(a-y)2+x2)0.5;l2=(b-y)2+(c-x)2)0.5; a=15;b=20;c=12;p1=4;p2=6;Localoptimalsolutionfound.Objective value:136.7490Extended solver steps:5Total solver iterations:140VariableValueReduced Cost13W136.74900.000000P14.0000000.000000L15.7378140.000000L212.404480.000000P26.0000000.000000Y10.696640.000000A15.000000.000000X3.795207-0.1413036E-07B20.000000.000000C12.000000.000000RowSlack or SurplusDual Price1136.7490-1.00000020.000000-1.00000030.000000-4.00000040.000000-4.00000050.000000-3.00003760.000000-3.00001770.000000-2.64577380.000000-18.1422990.000000-10.69664min=w; w=p1*(l1+l2+l3)+p2*y+l3*p3; l1=(a-y)2+x2)0.5; l2=(b-d-y)2+(c-x)2)0.5; l3=(d2+(l-c)2)0.5;a=5; b=8; c=15; l=20; p1=7.2; p2=7.2; p3=21.6;Global optimal solution found.Objective value:283.2023Objective bound:283.2023Infeasibilities:0.1598721E-13Extended solver steps:724Total solver iterations:68114VariableValueReduced Cost14W283.20230.000000P17.2023000.000000L16.2901950.000000L211.030310.000000L35.0395260.000000P27.2023000.000000Y1.8549030.000000P321.600000.000000A5.0000000.000000X5.447469-0.1994906E-08B8.0000000.000000D0.62994080.5841228E-08C15.000000.000000L20.000000.000000RowSlack or SurplusDual Price1283.2023-1.00000020.000000-1.00000030.000000-7.20230040.000000-7.20230050.000000-28.8000060.000000-3.60010570.000000-3.60006080.00000022.3387090.000000-28.57413100.000000-22.36003110.000000-1.854903120.000000-5.039526： min=W; W=P11*L1+p12*(L2+L3)+P2*y+P3*L3; L1=(x2+(a-y)2)0.5;L2=(b-d-y)2+(c-x)2)0.5;Global optimal solutionfound.Objective value:252.4737Objective bound:252.4734Infeasibilities:0.1221245E-13L3=(d2+(l-c)2)0.5; P11=5.6;P12=6.0;p2=7.2;P3=21.6;a=5;b=8;c=15;l=20;Extended solver steps:475Total solver iterations:49892VariableValueReduced Cost15W252.47370.000000P115.6000000.000000L18.3029950.000000P126.0000000.000000L210.925520.000000L35.0512660.000000P27.2023000.000000Y0.14011190.000000P321.600000.000000X6.7321030.000000A5.0000000.000000B8.0000000.000000D0.71783280.000000C15.000000.000000L20.000000.000000RowSlack or SurplusDual Price1252.4737-1.00000020.000000-1.00000030.000000-5.60000040.000000-6.00000050.000000-27.6000060.000000-8.30299570.000000-15.9767980.000000-0.140111990.000000-5.051266100.000000-3.277832110.000000-3.922261120.00000022.77934130.000000-27.31990min=w;W=P11*L1+p12*(L2+L3)+P2*y+P3*L3; L1=(x2+(a-y)2)0.5;L2=(b-d-y)2+(c-x)2)0.5;L3=(d2+(l-c)2)0.5;P11=5.6;P12=6.0;p2=7.2;P3=21.6;a=5;b=8;c=15;l=20; y=0;Local optimal solution found.Objective value:252.4808Total solver iterations:16216VariableValueReduced CostW252.48080.000000P115.6000000.000000L18.4013210.000000P126.0000000.000000L210.997410.000000L35.0524970.000000P27.2023000.000000Y0.0000000.000000P321.600000.000000X6.7514580.2191743E-08A5.0000000.000000B8.0000000.000000D0.7264478-0.6909230E-08C15.000000.000000L20.000000.000000RowSlack or SurplusDual Price1252.4808-1.00000020.000000-1.00000030.000000-5.60000040.000000-6.00000050.000000-27.6000060.000000-8.40132170.000000-16.0499180.0000000.00000090.000000-5.052497100.000000-3.332862110.000000-3.968364120.00000022.81292130.000000-27.31324140.0000000.1010462syms a b c x y p1 p2W=p1*(a-y)2+x2)(1/2)+(b-y)2+(c-x)2)(1/2)+p2*y; jacobian(W,x,y)ans =p1*(1/(a-y)2+x2)(1/2)*x+1/2/(b-y)2+(c-x)2)(1/2)*(-2*c+2*x),p1*(1/2/(a-y)2+x2)(1/2)*(-2*a+2*y)+1/2/(b-y)2+(c-x)2)(1/2)*(-2*b+2*y)+p217解方联立方程程组syms a b c x y p1 p2f1=(”p1*(1/(a-y)2+x2)(1/2)*x+1/2/(b-y)2+(c-x)2)(1/2)*(-2*c+2*x)=0”);f2=(”p1*(1/2/(a-y)2+x2)(1/2)*(-2*a+2*y)+1/2/(b-y)2+(c-x)2)(1/2)*(-2*b+2*y)+p2=0”); x,y=solve(f1,f2,x,y)x =1/4/(4*p12-p22)*(2*p22*b-8*p12*b-2*p22*a+8*p12*a+2*(-p24*c2+4*c2*p22*p12)(1/2)* c/(1/2/(4*p12-p22)*(2*p22*b-8*p12*b-2*p22*a+8*p12*a+2*(-p24*c2+4*c2*p22*p12)(1/2)-a+b)1/4/(4*p12-p22)*(2*p22*b-8*p12*b-2*p22*a+8*p12*a-2*(-p24*c2+4*c2*p22*p12)(1/2)*c/(1/2/(4*p12-p22)*(2*p22*b-8*p12*b-2*p2