全等三角形证明方法归纳经典-1文档资料.docx
全等三角形证明方法归纳经典全等三角形的证明，主要应用在证明边或者是角相等的时候，作为重要的证明手段，很多方法是可以归纳总结出来的，要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键。全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，同时能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。以下通过典型例题的方式详解五种常见辅助线的做法。首先我们学习一下找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。思路分析：1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用；2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，从而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。点拨：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。2、若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。例2：如图，已知ABC中，AD是BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ABC是等腰三角形。思路分析：1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识。2）解题思路：在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。解答过程：证明：延长AD到E，使DE=AD，连接BE。又因为AD是BC边上的中线，BD=DC又BDE=CDA，所以BEDCAD，故EB=AC，E=2，AD是BAC的平分线1=2，1=E，AB=EB，从而AB=AC，即ABC是等腰三角形。点拨：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。例3：已知，如图，AC平分BAD，CD=CB，AB>AD。求证：B+ADC=180°。思路分析：1）题意分析：本题考查角平分线定理的应用。2）解题思路：因为AC是BAD的平分线，所以可过点C作BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。解答过程：证明：作CEAB于E，CFAD于F。AC平分BAD，CE=CF。在RtCBE和RtCDF中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=CDF，CDF+ADC=180°，B+ADC=180°。点拨：关于角平行线的问题，常用两种辅助线；见中点即联想到中位线。4、过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”例4：如图，ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。求证：DE=DF。思路分析：1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。2）解题思路：因为DE、DF所在的两个三角形DEB与DFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：过E作EG/CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。解答过程：证明：过E作EG/AC交BC于G，则EGB=ACB，又AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF，DGEDCF，DE=DF。点拨：此题的辅助线还可以有以下几种作法：5、截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。例5：如图甲，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析：1）题意分析： 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙在FCE与BCE中，CF=CB,FCE=BCE，CE=CEFCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180°，DCE+CDE=90°，2+3=90°，1+4=90°，3=4。在FDE与ADE中，FDE=ADE,DE=DE,3=4,FDEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF，CD=AD+BC。全等三角形经典模型总结角平分线模型(一）角平分线的性质模型辅助线：（双垂直）过点 G 作 GE射线 AC1、如图，已知，12，34，求证：AP 平分BAC.2、如图，在四边形 ABCD 中，BCAB，ADCD，BD 平分ABC，求证：AC180°.（二）角平分线垂线，等腰三角形必呈现辅助线 ：1.延长 ED 交射线 OB 于 F 辅助线2.过点 E 作 EF射线 OB例1.如图，在ABC 中，BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D，且 ABAD，作 CM AD 交 AD 的延长线于 M. 求证：AM =1/2(AB + AC ) .2（三）角分线，分两边，对称全等要记全（截长）飞镖形辅助线：都是在射线 ON 上取点 B，使 OBOA，从而使OACOBC .1、如图，在ABC 中，BAC=60°，C=40°，AP 平分BAC 交 BC 于 P，BQ 平分ABC 交 AC 于 Q，求证：ABBPBQAQ .2、在ABC 中，ABAC，AD 是BAC 的平分线，P 是线段 AD 上任意一点（不与A 重合）.求证：ABACPBPC .3、如图，ABC 中，ABAC，A100°，B 的平分线交 AC 于 D， 求证：ADBDBC（四）一线三等角模型（弦图模型）（不一定垂直，满足三个角相等即可）1、已知：如图所示，在ABC 中，ABAC，BAC90°，D 为 AC 中点，AFBD 于点 E，交 BC 于 F，连接 DF .求证：ADBCDF .变式 1,已知：如图所示，在ABC 中，ABAC，AMCN，AFBM 于 E，交 BC 于 F，连接 NF .求证：（1）AMBCNF；（2）BMAFFN .变式 2.在变式 1 的基础上，其他条件不变，只是将 BM 和 FN 分别延长交于点 P，求证：（1）PMPN；（2）PBPFAF .三，手拉手模型1、ABE 和ACF 均为等边三角形结论：（1）ABFAEC .（2）BOEBAE60° .（3）OA 平分EOF .（四点共圆证）拓展：1.ABC 和CDE 均为等边三角形1.ADBE；2.ACBAOB；3.PCQ 为等边三角形；4.PQAE；5.APBQ；6.CO 平分AOE；（四点共圆证）7.OAOBOC；8.OEOCOD .(7.8.需构造等边三角形证明）2.ABD 和ACE 均为等腰直角三角形结论：（1）BECD；（2）BECD .3.四边形 ABEF 和四边形 ACHD 均为正方形结论：（1）BDCF；（2）BDCF .例3.如图，点 M 为锐角三角形 ABC 内任意一点，连接 AM、BM、CM以 AB 为一边向外作等边三角形ABE，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN，连接 EN1.求证：AMBENB；2.若 AM+BM+CM 的值最小，则称点 M 为ABC 的费尔马点若点 M 为ABC 的费尔马点，试求此时AMB、BMC、CMA 的度数；3.小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图， 分别以ABC 的 AB、AC 为一边向外作等边ABE 和等边ACF，连接 CE、BF，设交点为 M，4.则点 M 即为ABC 的费尔马点试说明这种作法的依据四、半角模型思路：1.补短（旋转）辅助线：延长CD到E,使ED=BM,连AE或延长CB到 F,使FB=DN,连AF将ADN 绕点A顺时针旋转 90°得ABF，注意：旋转需证 F,B,M 三点共线结论：（1）MNBMDN；（2） 三角形CMN 的周长=2AB ；（3）AM、AN 分别平分BMN、MND .2、翻折（对称）辅助线：作 APMN 交 MN 于点 P将ADN，ABM 分别沿 AN，AM 翻折，但一定要证明 M，P，N 三点共线 .例 1、在正方形 ABCD 中，若 M、N 分别在边 BC、CD 上移动，且满足 MNBMDN， 求证：（1）MAN45°；（2） 三角形CMN的周长 =2AB ；（3）AM、AN 分别平分BMN 和DNM .变式：在正方形 ABCD 中，已知MAN45°，若 M、N 分别在边 CB、DC 的延长线上移动，AHMN，垂足为 H，1.试探究线段 MN、BM、DN 之间的数量关系；2.求证：ABAH例 2.在四边形 ABCD 中，BD180°，ABAD，若 E、F 分别为边 BC、CD上的点，且满足 EFBEDF，求证：ÐEAF = 1/2ÐBAD .变式：在四边形 ABCD 中，B90°，D90°，ABAD，若 E、F 分别为边BC、CD 上的点，且EAF =1/2 BAD ，求证：EFBEDF .
