2010年吉林高考理科数学真题及答案.pdf
20102010 年吉林高考理科数学真题及答案年吉林高考理科数学真题及答案本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，其中第 II 卷第（22）-（24）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。参考公式：样本数据nxxx,21的标准差锥体体积公式222121()()()nsxxxxxxn13VSh其中x为样本平均数其中S为底面面积，h为高柱体体积公式球的表面积，体积公式来源:Z。xx。k.ComVSh24SR343VR其中S为底面面积，h为高其中R为球的半径第第 I I 卷卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合|2,AxxR,|4,BxxxZ,则AB(A)(0,2)(B)0,2(C)0,2(D)0,1,2(2)已知复数23(13)izi，z是 z 的共轭复数，则zz=A.14B.12C.1D.2(3)曲线2xyx在点（-1，-1）处的切线方程为（A）y=2x+1(B)y=2x-1C y=-2x-3D.y=-2x-2(4)如图，质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为 P0（2，-2），角速度为 1，那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为（5）已知命题1p：函数22xxy在 R 为增函数，2p：函数22xxy在 R 为减函数，则在命题1q：12pp，2q：12pp，3q：12pp和4q：12pp 中，真命题是（A）1q，3q（B）2q，3q（C）1q，4q（D）2q，4q（6）某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为（A）100（B）200（C）300（D）400（7）如果执行右面的框图，输入5N，则输出的数等于（A）54（B）45（C）65（D）56（8）设偶函数()f x满足3()8(0)f xxx，则|(2)0 x f x(A)|24x xx 或(B)|04x xx或(C)|06x xx或(D)|22x xx 或（9）若4cos5，是第三象限的角，则1tan21tan2(A)12(B)12(C)2(D)-2（10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A)2a(B)273a(C)2113a(D)25 a（11）已知函数|lg|,010,()16,10.2xxf xxx若,a b c互不相等，且()()(),f af bf c则abc的取值范围是(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)（12）已知双曲线E的中心为原点，(3,0)P是E的焦点，过 F 的直线l与E相交于 A，B两点，且 AB 的中点为(12,15)N,则E的方程式为(A)22136xy(B)22145xy(C)22163xy(D)22154xy第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题第（24）题为选考题，考试根据要求做答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）设()yf x为区间0,1上的连续函数，且恒有0()1f x，可以用随机模拟方法近似计算积分10()f x dx，先产生两组（每组 N 个）区间0,1上的均匀随机数12,Nx xx和12,Ny yy，由 此 得 到 N 个 点11(,)(1,2,)x yiN,，再 数 出 其 中 满 足11()(1,2,)yf xiN,的点数1N，那么由随机模拟方案可得积分10()f x dx的近似值为。（14）正视图为一个三角形的几何体可以是_（写出三种）（15）过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B（2,1），则圆 C 的方程为_(16)在ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD=12DC，ADB=120，AD=2，若ADC 的面积为33，则BAC=_三，解答题：解答应写出文字说明，正明过程和演算步骤（17）（本小题满分 12 分）设数列 na满足21112,3 2nnnaaa（1）求数列 na的通项公式；（2）令nnbna，求数列的前 n 项和nS(18)（本小题满分 12 分）如图，已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足为 H，PH 是四棱锥的高，E为 AD 中点（1）证明：PEBC（2）若APB=ADB=60，求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值(19)(本小题 12 分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下：是否需要志愿性别男女需要4030不需要160270（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；（2）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由附：（20）（本小题满分 12 分）设12,F F分别是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，过1F斜率为 1 的直线i与E相交于,A B两点，且22,AFABBF成等差数列。（1）求E的离心率；（2）设点(0,1)p满足PAPB，求E的方程（21）（本小题满分 12 分）设函数2()1xf xexax。（1）若0a，求()f x的单调区间；（2）若当0 x 时()0f x，求a的取值范围请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，已经圆上的弧，过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明：（）ACE=BCD；（）BC2=BFCD。（23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 C1x1tcossinyt（t 为参数），C2xcossiny（为参数），（）当=3时，求 C1与 C2的交点坐标；（）过坐标原点 O 做 C1的垂线，垂足为，P 为 OA 中点，当变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。（24）（本小题满分 10 分）选修 4-5，不等式选项设函数()241f xxl（）画出函数()yf x的图像（）若不等式()f xax的解集非空，求 a 的取值范围。参考答案参考答案一、选择题（1）D（2）A（3）A（4）C（5）C（6）B（7）D（8）B（9）A（10）B（11）C（12）B二、填空题（13）1NN（14）三棱锥、三棱柱、圆锥（其他正确答案同样给分）（15）22(3)2xy（16）60三、解答题（17）解：（）由已知，当 n1 时，111211()()()nnnnnaaaaaaaa21233(222)2nn2(1)12n。而12,a 所以数列na的通项公式为212nna。（）由212nnnbnan知35211 22 23 22nnSn 从而23572121 22 23 22nnSn -得2352121(1 2)22222nnnSn。即211(31)229nnSn（18）解：以H为原点，,HA HB HP分别为,x y z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则(1,0,0),(0,1,0)AB（）设(,0,0),(0,0,)(0,0)C mPn mn则1(0,0),(,0).2 2mDmE可得1(,),(,1,0).2 2mPEn BCm因为0022mmPE BC所以PEBC（）由已知条件可得33,1,33mnC 故(,0,0)313(0,0),(,0),(0,0,1)326DEP设(,)nx y x为平面PEH的法向量则,n HEon HPo即130260 xyz因此可以取(1,3,0)n，由(1,0,1)PA ，可得2cos,4PAn所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为24（19）解：（1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为7014%500（2）22500(40 27030 160)9.967200 300 70 430K。由于 9.9676.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。(III)由(II)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好（20.）解：（I）由椭圆定义知224AFBFABa，又222 ABAFBF，得43ABal的方程为yxc，其中22cab。设11,A x y，22,B xy，则 A、B 两点坐标满足方程组22221yxcxyab化简的222222220abxa cxacb则2222121222222,acba cxxx xabab因为直线 AB 斜率为 1，所以AB 2211212224xxxxx x得22244,3abaab故222ab所以 E 的离心率2222cabeaa（II）设 AB 的中点为00,N xy，由（I）知212022223xxa cxcab，003cyxc。由PAPB，得1PNk，即0011yx 得3c，从而3 2,3ab故椭圆 E 的方程为221189xy。（2121）解：）解：（1）0a 时，()1xf xex，()1xfxe.当(,0)x 时，()0fx；当(0,)x时，()0fx.故()f x在(,0)单调减少，在(0,)单调增加（II）()1 2xfxeax 由（I）知1xex，当且仅当0 x 时等号成立.故()2(1 2)fxxaxa x，从而当1 20a，即12a 时，()0(0)fxx，而(0)0f，于是当0 x 时，()0f x.由1(0)xex x 可得1(0)xex x.从而当12a 时，()12(1)(1)(2)xxxxxfxea eeeea，故当(0,ln2)xa时，()0fx，而(0)0f，于是当(0,ln2)xa时，()0f x.综合得a的取值范围为1(,2.（2222）解：）解：（I）因为ACBC,所以BCDABC.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.（II）因为,ECBCDBEBCBCD ,所以BDCECB，故BCCDBEBC，即2BCBECD.(23)解：（）当3时，1C的普通方程为3(1)yx，2C的普通方程为221xy。联立方程组223(1)1yxxy，解得1C与2C的交点为（1,0）1322，。（）1C的普通方程为sincossin0 xy。A 点坐标为2sincossin，故当变化时，P 点轨迹的参数方程为：21sin21sincos2xy 为参数P 点轨迹的普通方程为2211416xy。故 P 点轨迹是圆心为104，半径为14的圆。（24）解：（）由于252()23xxf xx，x2则函数()yf x的图像如图所示。（）由函数()yf x与函数yax的图像可知，当且仅当12a 或2a 时，函数()yf x与函数yax的图像有交点。故不等式()f xax的解集非空时，a的取值范围为122，。
