挑战中考数学压轴题因动点产生的相切问题_中学教育-中考.pdf

学习必备 欢迎下载 1.7 因动点产生的相切问题 例 1 20XX 年上海市杨浦区中考模拟第 25 题 如图 1，已知 O 的半径长为 3，点 A 是 O 上一定点，点 P 为 O 上不同于点 A 的动点（1）当1tan2A 时，求 AP 的长；（2）如果 Q 过点 P、O，且点 Q 在直线 AP 上（如图 2），设 AP x，QP y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当4tan3A 时（如图 3），存在 M 与 O 相内切，同时与 Q相外切，且 OM OQ，试求 M 的半径的长 图 1 图 2 图 3 动感体验 请打开几何画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点 P 在 O 上运动，可以体验到，等腰三角形 QPO 与等腰三角形 OAP 保持相似，y 与 x 成反比例 M、O 和 Q 三个圆的圆心距围成一个直角三角形 请打开超级画板文件名“13 杨浦 25”，拖动点 P 在 O 上运动，可以体验到，y 与 x成反比例 拖动点 P 使得52QP，拖动点 M 使得 M 的半径约为 0.82，M 与 O 相内切，同时与 Q 相外切拖动点 P 使得52QP，拖动点 M 使得 M 的半径约为 9，M 与 O、Q 都内切 思路点拨 1第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理 2第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似 3第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定理列方程 满分解答 学习必备 欢迎下载（1）如图 4，过点 O 作 OH AP，那么 AP 2AH 在 Rt OAH 中，OA 3，1tan2A，设 OH m，AH 2m，那么 m2(2m)2 32 解得3 55m 所以12 52 45AP AH m（2）如图 5，联结 OQ、OP，那么 QPO、OAP 是等腰三角形 又因为底角 P 公用，所以 QPO OAP 因此QP OPPO PA，即33yx 由此得到9yx定义域是 0 x 6 图 4 图 5（3）如图 6，联结 OP，作 OP 的垂直平分线交 AP 于 Q，垂足为 D，那么 QP、QO 是 Q 的半径 在 Rt QPD 中，1 32 2PD PO，4tan tan3P A，因此52QP 如图 7，设 M 的半径为 r 由 M 与 O 内切，3Or，可得圆心距 OM 3 r 由 M 与 Q 外切，52Qr QP，可得圆心距52QM r 在 Rt QOM 中，52QO，OM 3 r，52QM r，由勾股定理，得 2 2 25 5()(3)()2 2r r 解得911r 图 6 图 7 图 8 考点伸展 如图 8，在第（3）题情景下，如果 M 与 O、Q 都内切，那么 M 的半径是多少？同样的，设 M 的半径为 r 上不同于点的动点当时求的长如果过点且点在直线上如图设求关于的函数关系式并写出函数的定义域在的条件下当时如图存在与相内切同时与相外切且试求的半径的长图图图动感体验请打开几何画板文件名杨浦拖动点在上运动可以 名杨浦拖动点在上运动可以体验到与成反比例拖动点使得拖动点使得的半径约为与相内切同时与相外切拖动点使得拖动点使得的半径约为与都内切思路点拨第题的算用到垂径定理和勾股定理第题中有一个典型的图有公共底角的两个 必备欢迎下载如图过点作那么在中设那么解得所以如图联结那么是等腰三角形又因为底角公用所以即因此由此得到定义域是图图如图联结作的垂直平分线交于垂足为那么是的半径在中因此如图设的半径为由与内切可得圆心距由与外学习必备 欢迎下载 由 M 与 O 内切，3Or，可得圆心距 OM r 3 由 M 与 Q 内切，52Qr QP，可得圆心距52QM r 在 Rt QOM 中，由勾股定理，得2 2 25 5()(3)()2 2r r 解得 r 9 例 2 20XX 年河北省中考第 25 题 如图 1，A(5,0)，B(3,0)，点 C 在 y 轴的正半轴上，CBO 45，CD/AB，CDA 90 点 P 从点 Q(4,0)出发，沿 x 轴向左以每秒 1 个单位长的速度运动，运动时间为 t 秒（1）求点 C 的坐标；（2）当 BCP 15时，求 t 的值；（3）以点 P 为圆心，PC 为半径的 P 随点 P 的运动而变化，当 P 与四边形 ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求 t 的值 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“12 河北 25”，拖动圆心 P 在点 Q 左侧运动，可以体验到，P可以与直线 BC、直线 DC、直线 AD 相切，不能与直线 AB 相切 答案（1）点 C 的坐标为(0,3)（2）如图 2，当 P 在 B 的右侧，BCP 15时，PCO 30，4 3 t；上不同于点的动点当时求的长如果过点且点在直线上如图设求关于的函数关系式并写出函数的定义域在的条件下当时如图存在与相内切同时与相外切且试求的半径的长图图图动感体验请打开几何画板文件名杨浦拖动点在上运动可以 名杨浦拖动点在上运动可以体验到与成反比例拖动点使得拖动点使得的半径约为与相内切同时与相外切拖动点使得拖动点使得的半径约为与都内切思路点拨第题的算用到垂径定理和勾股定理第题中有一个典型的图有公共底角的两个 必备欢迎下载如图过点作那么在中设那么解得所以如图联结那么是等腰三角形又因为底角公用所以即因此由此得到定义域是图图如图联结作的垂直平分线交于垂足为那么是的半径在中因此如图设的半径为由与内切可得圆心距由与外学习必备 欢迎下载 如图 3，当 P 在 B 的左侧，BCP 15时，CPO 30，4 3 3 t 图 2 图 3（3）如图 4，当 P 与直线 BC 相切时，t 1；如图 5，当 P 与直线 DC 相切时，t 4；如图 6，当 P 与直线 AD 相切时，t 5.6 图 4 图 5 图 6 例 3 20XX 年无锡市中考模拟第 28 题 上不同于点的动点当时求的长如果过点且点在直线上如图设求关于的函数关系式并写出函数的定义域在的条件下当时如图存在与相内切同时与相外切且试求的半径的长图图图动感体验请打开几何画板文件名杨浦拖动点在上运动可以 名杨浦拖动点在上运动可以体验到与成反比例拖动点使得拖动点使得的半径约为与相内切同时与相外切拖动点使得拖动点使得的半径约为与都内切思路点拨第题的算用到垂径定理和勾股定理第题中有一个典型的图有公共底角的两个 必备欢迎下载如图过点作那么在中设那么解得所以如图联结那么是等腰三角形又因为底角公用所以即因此由此得到定义域是图图如图联结作的垂直平分线交于垂足为那么是的半径在中因此如图设的半径为由与内切可得圆心距由与外学习必备 欢迎下载 如图 1，菱形 ABCD 的边长为 2 厘米，DAB 60点 P从 A 出发，以每秒 3 厘米的速度沿 AC 向 C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从点 A出发，以每秒 1 厘米的速度沿射线作匀速运动 当点 P 到达点 C 时，P、Q 都停止运动设点 P 运动的时间为 t 秒（1）当 P 异于 A、C 时，请说明 PQ/BC；（2）以 P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，P 与 边 BC 分 别 有 1 个 公 共 点 和 2 个 公 共 点？图一 动感体验 请打开几何画板文件名“12 无锡 28”，拖动点 P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，相交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点 请打开超级画板文件名“12 无锡 28”，拖动点 P 由 A 向 C 运动，可以体验到，P 与线段 BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有 1 个公共点，相交有 2 个公共点，相交只有 1 个公共点，线段在圆的内部没有公共点 答案（1）因为2AQ tAB，322 3AP t tAC，所以AQ APAB AC因此 PQ/BC（2）如图 2，由 PQ PH12PC，得1(2 3 3)2t t 解得 4 3 6 t 如图 3，由 PQ PB，得等边三角形 PBQ 所以 Q 是 AB 的中点，t 1 如图 4，由 PQ PC，得 2 3 3 t t 解得 3 3 t 如图 5，当 P、C重合时，t 2 因此，当 4 3 6 t 或 1 t 3 3 或 t 2 时，P 与边 BC 有 1 个公共点 当 4 3 6 t 1 时，P 与边 BC 有 2 个公共点 图 2 图 3 图 4 图 5 上不同于点的动点当时求的长如果过点且点在直线上如图设求关于的函数关系式并写出函数的定义域在的条件下当时如图存在与相内切同时与相外切且试求的半径的长图图图动感体验请打开几何画板文件名杨浦拖动点在上运动可以 名杨浦拖动点在上运动可以体验到与成反比例拖动点使得拖动点使得的半径约为与相内切同时与相外切拖动点使得拖动点使得的半径约为与都内切思路点拨第题的算用到垂径定理和勾股定理第题中有一个典型的图有公共底角的两个 必备欢迎下载如图过点作那么在中设那么解得所以如图联结那么是等腰三角形又因为底角公用所以即因此由此得到定义域是图图如图联结作的垂直平分线交于垂足为那么是的半径在中因此如图设的半径为由与内切可得圆心距由与外