指数函数知识点总结_金融证券-期货.pdf

学习必备 欢迎下载 指数函数（一）指数与指数幂的运算 1根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作00 n。当n是奇数时，aann，当n是偶数时，)0()0(|aaaaaann 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定：)1,0(*nNnmaaanmnm)1,0(11*nNnmaaaanmnmnm 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa ),0(Rsra；（2）rssraa)(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0 0 定义域 R 定义域 R 值域 y0 值域 y0 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非 奇 非 偶函数 函数图象都过定点（0，1）函 数 图 象都 过 定 点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在a，b 上，)1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f （2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；指数函数例题解析 学习必备 欢迎下载 【例 1】求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12 x213321xx 解 (1)定义域为 xR且 x2值域 y0 且 y1(2)由 2x+210，得定义域x|x 2，值域为 y0(3)由 33x-10，得定义域是x|x 2，033x13，值域是 0y3 练习：（1）412xy；（2）|2()3xy；（3）1241xxy；【例 2】指数函数 yax，ybx，ycx，ydx的图像如图 262 所示，则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dc C b a1dc Dcd1ab 解 选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)，则得 ba1dc 练习：指数函数 满足不等式,则它们的图象是().方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载【例 3】比较大小：(1)2(2)0.6、的大小关系是：248163235894512()(3)4.54.1_3.73.6 解(1)y221()x，函数，该函数在，上是增函数，又，222242821621338254912284162123135258389493859 解 (2)0.6110.6，451245123232()()解 (3)借助数 4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.14.53.6，作函数 y14.5x，y23.7x的图像如图 263，取 x3.6，得 4.53.63.73.6 4.54.13.73.6 说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.54.1同底与 3.73.6同指数的特点，即为 4.53.6(或3.74.1)，如例 2 中的(3)练习：（1）1.72.5 与 1.73 (2)0.10.8与0.20.8 方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载(3)1.70.3 与 0.93.1 （）5.31.2和7.20.2【例4】解比较大小与 且 ，当 ，aaaaan nnnnnnnnnn n11111111(a0a1n1)0a1n10()()，当 时，aaan naaan nnnnnn nnnnn1111111111()()()1a1n101【例 5】作出下列函数的图像：(1)y(2)y22x，()121x(3)y 2|x-1|(4)y|1 3x|解 (1)y(264)(0)(11)y1的图像 如图 ，过点，及 ，是把函数 的图像向左平移 个单位得到的()()1212121xx 解 (2)y 2x2 的图像(如图 265)是把函数 y2x的图像向下平移 2 个单位得到的 解 (3)利用翻折变换，先作 y2|x|的图像，再把 y2|x|的图像向右平移 1个单位，就得 y2|x-1|的图像(如图 266)解 (4)作函数 y3x的图像关于 x 轴的对称图像得 y3x的图像，再把 y方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载 3x的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到(如图 267)【例8】已知f(x)(a1)aaxx11(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间(，)上是增函数 解 (1)定义域是 R f(x)f(x)，aaaaxxxx1111 函数 f(x)为奇函数(2)yy1a1y1x函数，有 ，aayyyyxx1111110 即 f(x)的值域为(1，1)(3)设任意取两个值 x1、x2(，)且 x1x2f(x1)f(x2)，故在 上为增函数aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx112121221212211()()()a1xx(1)(1)0f(x)f(x)f(x)R1212 单元测试题 一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1、化简1111132168421212121212，结果是（）A、11321122 B、113212 C、13212 D、1321122 2、44366399aa等于（）A、16a B、8a C、4a D、2a 方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载 3、若1,0ab,且2 2bbaa,则bbaa的值等于（）A、6 B、2 C、2 D、2 4、函数 2()1xf xa在 R上是减函数，则a的取值范围是（）A、1a B、2a C、2a D、12a 5、下列函数式中，满足1(1)()2f xf x 的是()A、1(1)2x B、14x C、2x D、2x 6、下列2()(1)xxf xaa 是（）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数 7、已知,0ab ab，下列不等式（1）22ab；(2)22ab；(3)ba11；(4)1133ab；(5)1133ab 中恒成立的有（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 8、函数2121xxy是（）A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数 9、函数121xy 的值域是（）A、,1 B、,00,C、1,D、(,1)0,10、已知01,1ab ,则函数xyab的图像必定不经过（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 11、2()1()(0)21xF xf x x 是偶函数，且()f x不恒等于零，则()f x()A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数 12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b，则n年后这批设备的价值为（）A、(1%)nab B、(1%)anb C、1(%)nab D、(1%)nab 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案填写在答题纸上）13、若103,104xy，则10 x y 。方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载 14、函数22811(31)3xxyx 的值域是 。15、函数22 33xy的单调递减区间是 。16、若21(5)2xfx，则(125)f 。三、解答题：（本题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、设01a，解关于x的不等式22232223xxxxaa 。18、已知 3,2x，求11()142xxf x 的最小值与最大值。19、设aR，22()()21xxaaf xxR ，试确定a的值，使()f x为奇函数。20、已知函数22513xxy ，求其单调区间及值域。方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载 21、若函数43 23xxy 的值域为1,7，试确定x的取值范围。22、已知函数1()(1)1xxaf xaa(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()f x是R上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案 一、题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C D D B C A D A A D 二、13、43 14、991,33 ，令222812(2)9Uxxx ，31,99xU,又13Uy 为减函数，99133y 。15、0,，令23,23UyUx，3Uy 为增函数，22 33xy的单调递减区间为0,。方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载 16、0，32 2 1(125)(5)(5)220fff 三、17、01a,xya在,上为减函数，22232223xxxxaa ,222322231xxxxx 18、221113()142122124224xxxxxxxf x ,3,2x,1284x.则当122x,即1x 时,()f x有最小值43；当28x,即3x 时，()f x有最大值 57。19、要使()f x为奇函数，xR,需()()0f xfx,1222(),()212121xxxxf xafxaa ,由12202121xxxaa,得2(21)2021xxa,1a。20、令13Uy ,225Uxx，则y是关于U的减函数，而U是,1 上的减函数，1,上的增函数，22513xxy 在,1 上是增函数，而在1,上是减函数，又2225(1)44Uxxx ,22513xxy 的值域为410,3 。21、243 2323 23xxxxy ，依题意有 22(2)3 237(2)3 231xxxx 即1242221xxx 或，224021,xx或 由函数2xy 的单调性可得(,01,2x。22、（1）定义域为xR,且11()(),()11xxxxaafxf xf xaa 是奇函数；（2）1222()1,11,02,111xxxxxaf xaaaa 即()f x的值域为 1,1；（3）设12,x xR,且12xx，方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图学习必备 欢迎下载 12121212121122()()011(1)(1)xxxxxxxxaaaaf xf xaaaa(分母大于零，且12xxaa)()f x是R上的增函数。方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数数其中是自变量函数的上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点定义域值域在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上值域是且或若则且取遍所有正数当且仅当对于指数函数总有指数函数例解析学习必函数的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是学习必备欢迎下载例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图