数列求和方法大全例题变式解析答案强烈推荐_中学教育-高考.pdf
学习必备 欢迎下载 1.7 数列前 n 项和求法 知识点一 倒序相加法 特征描述：此种方法主要针对类似等差数列中 112nnaaaa,具有这样特点的数列 思考：你能区分这类特征吗？知识点二 错位相减法 特征描述：此种方法主要用于数列nnba的求和，其中na为等差数列，nb是公比为 q的等比数列，只需用nnSqS便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论 q=1 和 q1 两种情况 思考：错位时是怎样的对应关系？知识点三 分组划归法 特征描述：此方法主要用于无法整体求和的数列，例如 1，112，11124，11124+112n，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和 思考：求出通项公式后如何分组？知识点四 奇偶求合法 特征描述：此种方法是针对于奇、偶数项，要讨论的数列 例如11 357(1)(21)nnSn ，要求 Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合 思考：如何讨论？学习必备 欢迎下载 知识点五 裂项相消法 特征描述：此方法主要针对12231111nna aa aaa 这样的求和，其中an是等差数列 思考：裂项公式你知道几个？知识点六 分类讨论法 特征描述：此方法是针对数列na的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.思考：如何表示分段求和？考点一 倒序相加法 例题 1：等差数列求和12nnSaaa 变式 1：求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210 变式 2：数列求和2222sin 1sin 2sin 3sin 89 考点二 错位相减法 例题 2：试化简下列和式：21123(0)nnSxxnxx 变式 1：已知数列)0()12(,5,3,112aanaan，求前 n 项和。的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 变式 2：求数列23,2,3,naaana；的前n 项和 变式3：求和：nnanaaaS32321 考点三：分组划归法 例三：求数列 1，112，11124，11124+112n的和.变式 1：5，55，555，5555，5(101)9n，；变式 2：1 3,24,35,(2),n n；变式 3：数列 1,(1+2),(1+2+22),(1+2+2 2+2 n1),前 n 项的和是（）A2 n B2 n2 C2 n+1n2 Dn2n 考点四：奇偶求合法 例四：11 357(1)(21)nnSn 的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 变式 1：求和：n 1nSn-3 （-1）（4）nN 变式2：已知数列an中 a1=2，an+an+1=1，Sn为an前 n 项和，求 Sn 变式 3：已知数列an中 a1=1，a2=4，an=an-2+2（n3），Sn为an前 n 项和，求 Sn 考点五：裂项相消法 例五：an为首项为 a1,公差为 d 的等差数列，求12233411111nnnSa aa aa aaa 变式 1：1111,1 3 2 4 3 5(2)n n；变式 2：数列通项公式为11nann；求该数列前 n 项和 变式 3：求和)12)(12()2(534312222nnnSn 的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 考点六：分类讨论法 例六：在公差为 d 的等差数列an中，已知 a110，且 a1，2a22，5a3成等比数列(1)求 d，an；(2)若 d0，求|a1|a2|a3|an|.变式 1：在等差数列na中，,369181716aaaa其前n项和为nS.（1）求nS的最小值，并求出nS的最小值时n的值；（2）求nnaaaT21.变式 2：设数列na满足132,511naaann，已知存在常数qp,使数列qpnan 为等比数列.求naaa21.变式 3：已知等比数列na中，1a=64，q=21，设nb=log2na，求数列|nb|的前 n 项和nS.的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 答案及解析 考点一 例一：等差数列求和 12nnSaaa 111()(1)aadand 把项的次序反过来，则：()(1)nnnnSaadand +得：1112()()nnnnnSaaaaaa 个 1()nn aa 1()2nnn aaS 变式 1：思路分析：由mnnmnCC可用倒序相加法求和。证：令)1()12(53210nnnnnnCnCCCS 则)2(35)12()12(0121nnnnnnnnCCCCnCnS mnnmnCC nnnnnnCnCnCnCnS)22()22()22()22(2:)2()1(210有 nnnnnnnnCCCCnS2)1()1(210 等式成立 变式 2：设2222sin 1sin 2sin 3sin 89S，又2222sin 89sin 88sin 87sin 1S，289S，892S 考点二 例二：21123(0)nnSxxnxx 的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 解：若 x=1，则 Sn=1+2+3+n=(1)2n n 若 x1,则21123nnSxxnx 2323nnxSxxxnx 两式相减得：2(1)1nx Sxx +nnnxx 1 11nnxnxx 21(1)1nnnxnxSxx 变式 1：思路分析：已知数列各项是等差数列 1，3，5，2n-1与等比数列120,naaaa对应项积，可用错位相减法求和。解：1)12(53112nnanaaS 2)12(5332nnanaaaaS nnnanaaaaSa)12(22221)1(:21132 当nnnnaaaSaa)12()1()1(21)1(,121时 21)1()12()12(1aananaSnnn 当2,1nSan时 变式 2：2323nnSaaana，当1a 时，123nS (1)2n nn，当1a 时，2323nSaaa nna，23423naSaaa1nna，两式相减得 23(1)na Saaa 11(1)1nnnnaaananaa，的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 212(1)(1)nnnnanaaSa 变式 3：nnanaaaS32321 解：2)1(3211nnnSan时，01aa时，因为 nnanaaaS32321 1321211nnnananaaSa 由得：)1)1()1()1()1(2)1()1()1()1(11)11(1111)11(22112aaaanaaannSaaanaaSanaaaanaaaSannnnnnnnnnn综上所述，所以 考点三 例三：求数列 1，112，11124，11124+112n的和.解：11111242nna 111()1221212nn 1111(1)(1)224nS 的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 1111(1)242n 211(21)(2)(2)22 11(2)2n 11112(1)242nn 11222nn 变式 1：555555555nnS 个5(999999999)9n 个 235(101)(101)(101)(101)9n 23550510101010(101)9819nnnn 变式 2：2(2)2n nnn，原式222(123 2)2(123n )n(1)(27)6n nn 变式 3：C 考点四 例四：解：当 n=2k(kN+)时,2(13)(57)nkSS (43)(41)kk 2kn 当21()nkkN时，21222(41)nkkkSSSakk 的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 21kn 综合得：1(1)nnSn 变式 1：解：当n为偶数时：S1 59 1342n nnnn 当n为奇数时：1 59 134n 32nS （4-3）（4-）n-1nnnn 变式2：解：当n 为偶数时：12341nnnSaaaaaa 12341()()()122nnnnaaaaaa 当 n 为奇数时：123451()()()nnnSaaaaaaa 13222nn 变式 3：解：an-an-2=2（n3）a1,a3,a5,a2n-1为等差数列；a2,a4,a6,a2n为等差数列 当 n 为奇数时：11(1)22nnan 当 n 为偶数时：4(1)222nnan 即 nN+时，1(1)nnan n 为奇数时：1(1)(123)2122nnn nSnn n 为偶数时：(1)(1 2 3)222nnn nSnn 考点五 例五：解：1111()()kkkkkkkkadaa aaadd aad 的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 1111111()()kkkkd aadd aa 1223111111()()nSd aad aa 1111()nnd aa 122311111111()()()nndaaaaaa 1111()nd aa 111(1)na and 变式 1：11 11()(2)22n nnn，11111111(1)()()()2324352nSnn 1111(1)2212nn 变式 2：解：1111(1)(1)nnnannnnnnnn 11121321nSnn (21)(32)(1)nn 1 1n 变式3：思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:)121121(211)12)(12(11)12)(12(11)2()12)(12()2(22kkkkkkkkkkak 12)1(2)1211(21)121121()5131()311(2121nnnnnnnnaaaSnn的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 练习:求nnanaaaS32321 答案:)1()1()1()1()1(2)1(2aaaanaaannSnnn 考点六 例六：解：(1)由题意得 a15a3(2a22)2，即 d23d40.所以 d1 或 d4.所以 ann11，nN*或 an4n6，nN*.(2)设数列an的前 n 项和为 Sn.因为 d0，由(1)得 d1，ann11，则 当 n11 时，|a1|a2|a3|an|12n2212n.当 n12 时，|a1|a2|a3|an|Sn2S1112n2212n110.综上所述，|a1|a2|a3|an|12n2212n，n11，12n2212n110，n12.变式 1：解：（1）当20n或 21 时，nS的最小值为-630.（2）21,126021232321,21232322nnnnnnTn 变式 2：3,26011323,224113211221nnnnnnaaannn 变式 3：解：na=1a1nq=n72 的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必学习必备 欢迎下载 nb=log2na=n7（1）当n7 时，nb0 此时，nS=212n+213n（2）当n7 时，nb0 此时，nS=212n213n+42（n8）212n+213n（n7）nS=212n213n+42（n8）的数列思考你能区分这类特征吗知识点二错位相减法特征描述此种方法主要用于数列的求和其中为等差数列是公比为的等比数列只需用便可转化为等比数列的求和但要注意讨论和两种情况思考错位时是怎样的对应关系知识点三分组和再综合求出所有项的和思考求出通项公式后如何分组知识点四奇偶求合法特征描述此种方法是针对于奇偶数项要讨论的数列例如要求就必须分奇偶来讨论最后进行综合思考如何讨论学习必备欢迎下载知识点五裂项相消法特征描述数列的其中几项符号与另外的项不同而求各项绝对值的和的问题主要是要分段求思考如何表示分段求和考点一倒序相加法例题等差数列求和变式求证变式数列求和考点二错位相减法例题试化简下列和式变式已知数列求前项和学习必
