上海市向东中学高三数学立体几何测试卷及答案_中学教育-高考.pdf
优秀学习资料 欢迎下载 C B C1B 1A A 高三立体几何测试 一、填空 1、正方体 ABCD A1B1C1D1中，E 是 AB 中点，则异面直线 DE 与 BD1所成角的大小为.分析：取 CD 中点 F，则 BF/DE.那么D1BF 是异面直线 DE 与 BD1所成的角（或补角）.设正方体的棱长为 2，可求得：5,5,3211FDBFBD.在BFD1中，求得 515cos1BFD，所以异面直线 DE 与 BD1所成角的大小为515arccos 2、设 A、B、C、D 分别表示下列角的取值范围：（1）A 是直线倾斜角的取值范围；（2）B 是锐角；（3）C 是直线与平面所成角的取值范围；（4）D 是两异面直线所成角的取值范围.用“”把集合 A、B、C、D 连接起来得到.分析：直线倾斜角的范围是),0，锐角的范围是)2,0(.由此：ACDB.3、如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中：（1）AF 与 CN 所在的直线平行；（2）CN 与 DE 所在的直线异面；（3）CN 与 BM 成 60角；（4）DE 与 BM 所在的直线垂直.以上四个命题中正确的命题序号是；分析：将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2）、（3）、（4）是正确命题.4、已知平面,，直线ba,.有下列命题：（1）/aa；（2）/aa（3）/baba；（4）/baba.其中正确的命题序号是.分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平面平行.（2）要注意的是直线a可能在平面内.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面内两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）.5、已知线段 AB 长为 3，A、B 两点到平面的距离分别为 1 与 2，则 AB 所在直线与平面所成角的大小为；分析：要注意到点 A、B 是平面同侧还是在平面的两侧的情况.当 A、B 在平面的同侧时，AB 所在直线与平面所成角大小为31arcsin；当 A、B 在平面的两侧时，AB 所在直线与平面所成角为2.6、侧棱长为 2cm，底面边长为 3cm 的正三棱锥的体积为_433_3cm.7、如图，在体积为 1 的直三棱柱 111CBAABC 中，1,90BCACACB B M F A D E C N A B C D E F M N 优秀学习资料 欢迎下载 A B C D E O 求直线BA1与平面CCBB11所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）.命题立意 本题考查直线与平面所成角的大小.思路分析 本题可通过几何法找到直线在平面上的射影，利用直角三角形求出直线与平面所成角的大小.也可以利用空间向量，借助向量与向量所成的角进行求解.试题解析 解法一由题意可得体积12121111CCBCACCCSCCVABC,211 CCAA 连接1BC 1111111ACBCACCC，11CA平面CCBB11，11BCA是直线BA1与平面CCBB11所成的角 52211BCCCBC，51t a n11111BCCABCA，则 11BCA55arctan 8、若一正三棱锥的底面边长是a，体积为1233a，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为；侧面与底面所成二面角的大小为；此三棱锥的侧面积为.分析：如图，设正三棱锥 ABCD 的高为h.由题知：321234331aha，则ah.设 BC 中点为 E，顶点 A 在底面上的射影为 O.注意三角形 ADO 中含有侧棱与底面所 成角即ADO与侧面底面所成二面角的平面角即AEO.由底面是正三角形且边长为a知aDOaEO33,63，则32,3AEOtgADOtg.所以侧棱与底面所成角大小为3，侧面与底面所成二面角大小为32arctg.由aAE639知，可求得侧面积为2439a.求侧面积也可以利用面积射影定理，由侧面与底面所成二面角正切值为32，则此二面角的余弦值为131，正三棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等，则131侧底SS，所以2439aS侧.9、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚.外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）；内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.举例三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：三侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面是正三角形，则外心就是中心，知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立，选 C.10、ABCD A1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点 A 出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是111DAAA，黑蚂蚁爬行的路线是1BBAB，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第2n段与第n段所在直线必须是异面直线（其中Nn）.设黑、白两只蚂蚁都爬是异面直线与所成的角或补角设正方体的棱长为可求得在中求得所以异面直线与所成角的大小为设分别表示下列角的取值范围是直线倾斜角的取值范围是锐角是直线与平面所成角的取值范围是两异面直线所成角的取值范围用把集合直线平行与所在的直线异面与成角与所在的直线垂直以上四个命题中正确的命题序号是分析将此展开图还原成正方体如图可以看出是正确命题已知平面直线有下列命题其中正确的命题序号是分析立体几何中的符号言所描述的问题是两平面平行的一个性质若两平面平行则一个平面内的任一直线与另一平面平行要注意的是直线可能在平面内注意到直线与平面之间的关系若两平行直线中的一条与一个平面垂直则另一条也与这个平面垂直且垂直于同一直线的两个平优秀学习资料 欢迎下载 完 2007 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是（）A、1；B、2；C、3；D、0.分析：注意到它们的运动规律，都是呈周期运动，运动周期为 6.经过 2007 次运动，由333462007知，它们运动后所停位置就是第 3 次运动后所停位置.则它们都到达 C1点，所以这两蚂蚁之间的距离为 0，选 D.二、解答题：11、已知平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，A1A平面 ABCD，AB=4，AD=2.若 B1DBC，直线 B1D 与平面 ABCD所成的角等于 30，求平行六面体 ABCD A1B1C1D1的体积.解：连结 BD，因为 B1B平面 ABCD，B1DBC，所以 BCBD.在BCD 中，BC=2，CD=4，所以 BD=32.又因为直线 B1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30，所以B1DB=30，于是 BB1=31BD=2.12、如图，在棱长为 2 的正方体DCBAABCD中，FE、分别是BA和AB 的中点，求异面直线FA与CE所成角的大小(结果用反三角函数值表示）.解：连接EB，BFEA/，且BFEA，FBEA是平行四边形，则EBFA/，异面直线FA与CE所成的角就是CE与EB所成的角.由CB平面ABAB，得BECB.在RtCEB中，5,2BECB，则552tan CEB，552arctan CEB.异面直线FA与CE所成角的大小为552arctan 13、正三棱柱 ABCA1B1C1的底面边长是 2，BC1与平面 ACC1A1所成角为 30.试求：（1）三棱柱 ABCA1B1C1的体积；（2）点 C 到平面 BAC1的距离.分析：（1）求三棱柱的体积，只要求出其高即可.由 BC1与平面 ACC1A1所成角为 30，则要作出 BC1在平面 ACC1A1上的射影.取 AC 中点 E，则 BEAC，所以BE平面 ACC1A1，则 EC1是 BC1在平面 ACC1A1上的射影.有EBC1=30.由3BE，知31EC，所以221CC.则三棱柱的体积 V=1ABCCCS=62.（2）若直接求点 C 到平面 BAC1的距离，则需要作垂线、定垂足，比较麻烦.利用体积转化则比较简单.注意到三棱锥 CABC1即为三棱锥 C1ABC，其体积为362，设 C 到平面 BAC1的距离为h，则12 6133ABCh S.容易求得111ABCS，所以点 C 到平面 BAC1的距离为11662.14、在四棱锥 PABCD 中，底面是边长为 2 的菱形，DAB60，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，PO平面 ABCD，PB 与平面 ABCD 所成的角为 60（1）求四棱锥 PABCD 的体积；（2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）6 A C D 1A1BB 1C 1D1 5 4 32 6 A C D 1A1BB 1C 1D1 5 4 32 P A B C D O E 是异面直线与所成的角或补角设正方体的棱长为可求得在中求得所以异面直线与所成角的大小为设分别表示下列角的取值范围是直线倾斜角的取值范围是锐角是直线与平面所成角的取值范围是两异面直线所成角的取值范围用把集合直线平行与所在的直线异面与成角与所在的直线垂直以上四个命题中正确的命题序号是分析将此展开图还原成正方体如图可以看出是正确命题已知平面直线有下列命题其中正确的命题序号是分析立体几何中的符号言所描述的问题是两平面平行的一个性质若两平面平行则一个平面内的任一直线与另一平面平行要注意的是直线可能在平面内注意到直线与平面之间的关系若两平行直线中的一条与一个平面垂直则另一条也与这个平面垂直且垂直于同一直线的两个平优秀学习资料 欢迎下载 命题立意 本题考查四棱锥及其体积，直线与平面所成角，异面直线所成的角，或能正确建立空间直角坐标系，空间向量以及两个向量所成的角.思路分析 本题可利用四棱锥的体积公式求出体积，再利用几何法找平行关系，把求异面直线所成的角转化为求平面角的问题，利用余弦定理加以求解；也可以利用空间向量，借助向量与向量所成的角进行求解.试题解析 解答：（1）在四棱锥P-ABCD 中,由PO平面ABCD,得PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角,PBO=60.在 RtAOB 中 BO=ABsin30=1,由 POBO,于是,PO=BOtan60=3,而底面菱形的面积为 23.四棱锥 P-ABCD 的体积 V=31 233=2.（2）解法一以 O 为坐标原点,射线 OB、OC、OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系.在 RtAOB 中 OA=3,于是,点 A、B、D、P 的坐标分别是 A(0,3,0),B(1,0,0),D(1,0,0),P(0,0,3).E 是 PB 的中点,则 E(21,0,23)于是DE=(23,0,23),AP=(0,3,3).设AP与DE的夹角为,有 cos=4233434923,=arccos42,异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos42.解法二取 AB 的中点 F,连接 EF、DF.由 E 是 PB 的中点,得 EFPA，FED 是异面直线 DE 与 PA 所成 角(或它的补角)，在 RtAOB 中 AO=ABcos30=3=OP，于是,在等腰 RtPOA 中，PA=6，则 EF=26.在正ABD 和正PBD 中,DE=DF=3，cosFED=34621DEEF=42,异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是 arccos42.是异面直线与所成的角或补角设正方体的棱长为可求得在中求得所以异面直线与所成角的大小为设分别表示下列角的取值范围是直线倾斜角的取值范围是锐角是直线与平面所成角的取值范围是两异面直线所成角的取值范围用把集合直线平行与所在的直线异面与成角与所在的直线垂直以上四个命题中正确的命题序号是分析将此展开图还原成正方体如图可以看出是正确命题已知平面直线有下列命题其中正确的命题序号是分析立体几何中的符号言所描述的问题是两平面平行的一个性质若两平面平行则一个平面内的任一直线与另一平面平行要注意的是直线可能在平面内注意到直线与平面之间的关系若两平行直线中的一条与一个平面垂直则另一条也与这个平面垂直且垂直于同一直线的两个平
