数学试题练习题考试题教案高一数学教案：苏教版高一数学正弦定理余弦定理_中学教育-试题.pdf

精心整理 欢迎下载 第四课时 正弦定理、余弦定理（二）教学目标：熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化 教学重点：正、余弦定理的综合运用 教学难点：1.正、余弦定理与三角形性质的结合；2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系 教学过程：.复习回顾 上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容.讲授新课 例 1在ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的 2 倍，求此三角形的三边长.分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中 sin2 利用正弦二倍角展开后出现了 cos，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.解：设三角形的三边长分别为 x，x1，x2，其中 xN*，又设最小角为 ，则 xsin x2sin2 x22sin cos，cos x22x 又由余弦定理可得 x2（x1）2（x2）22（x1）（x2）cos 将代入整理得 x23x40 解之得 x14，x21（舍）所以此三角形三边长为 4，5，6.评述：（1）此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的 方程；（2）在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视.例 2如图，在ABC 中，AB4 cm，AC3 cm，角平分线 AD2 cm，求此三角形面积.分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式 SABC12 AB AC sinA，需求出sinA，而ABC 面积可以转化为 SADCSADB，而 SADC12 AC ADsinA2，SADB12 精心整理 欢迎下载 AB AD sinA2，因此通过 SABCSADCSADB建立关于含有 sinA，sinA2 的方程，而 sinA2sinA2 cosA2，sin2A2 cos2A2 1，故 sinA可求，从而三角形面积可求.解：在ABC 中，SABCSADBSADC，12 AB ACsinA12 AC AD sinA2 12 AB ADsinA2 12 4 3sinA12 3 2sinA2，6sinA7sinA2 12sinA2 cosA2 7sinA2 sinA2 0，cosA2 712，又 0A，0A2 2 sinA2 1cos2A2 9512，sinA2sinA2 cosA2 7 9572，SABC12 4 3sinA7 9512（cm2）.评述：面积等式的建立是求 sinA 的突破口，而 sinA 的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同角的平方关系 sin2 cos2 1 时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍.例 3已知三角形的一个角为 60，面积为 10 3 cm2，周长为 20 cm，求此三角形的各边长.分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知 60 角的余弦，其二可用面积公式 SABC12 absinC 表示面积，其三是周长条件应用.解：设三角形的三边长分别为 a、b、c，B60，则依题意得 cos600a2c2b22ac 12 ac sin60010 3 abc20 b2a2c2ac ac40 abc20 由式得 b220（ac）2400a2c22ac40（ac）将代入得 4003ac40（ac）0 再将代入得 ac13 由ac40ac13，解得a15c18 或a28c25 是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 b17，b27 所以，此三角形三边长分别为 5 cm，7 cm，8 cm.评述：（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用；（2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力.例 4在ABC 中，AB5，AC3，D 为 BC 中点，且 AD4，求 BC 边长.分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设 BC 为 x 后，建立关于 x 的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为 D 为BC 中点，所以 BD、DC 可表示为x2，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程.解：设 BC 边为 x，则由 D 为 BC 中点，可得 BDDCx2，在ADB 中，cosADBAD2BD2AB22AD BD 42（x2）2522 4x2 在ADC 中，cosADCAD2DC2AC22AD DC 42（x2）2322 4x2 又ADBADC180 cosADBcos（180 ADC）cosADC.42（x2）2522 4x2 42（x2）2322 4x2 解得，x2 所以，BC 边长为 2.评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型.另外，对于本节的例 2，也可考虑上述性质的应用来求解 sinA，思路如下：由三角形内角平分线性质可得ABAC BDDC 53，设 BD5k，DC3k，则由互补角ADC、ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出 BC 后，再结合余弦定理求出 cosA，再由同角平方关系求出 sinA.为巩固本节所学的解题方法，下面我们进行课堂练习.课堂练习 1.半径为 1 的圆内接三角形的面积为 0.25，求此三角形三边长的乘积.解：设ABC 三边为 a，b，c.是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 则 SABC12 acsinB SABCabc acsinB2abc sinB2b 又bsinB 2R，其中 R为三角形外接圆半径 SABCabc 14R abc4RSABC4 1 0.251 所以三角形三边长的乘积为 1.评述：由于题设条件有三角形外接圆半径，故联想正弦定理：asinA bsinB csinC 2R，其中 R 为三角形外接圆半径，与含有正弦的三角形面积公式 SABC12 acsinB 发生联系，对abc 进行整体求解.2.在ABC 中，已知角 B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，求 AB.解：在ADC 中，cosCAC2DC2AD22AC DC 7232522 7 3 1114，又 0C180，sinC5 314 在ABC 中，ACsinB ABsinC ABsinCsinB AC5 314 2 75 62.评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用.3.在ABC 中，已知 cosA35，sinB513，求 cosC 的值.解：cosA35 22cos45，0A 45 A90，sinA45 sinB513 12 sin30，0B 0 B30 或 150 B180 若 B150，则 BA180 与题意不符.0 B30 cosB1213 cos（AB）cosA cosBsinA sinB35 1213 45 513 1665 是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 又 C180（AB）.cosCcos180（AB）cos（AB）1665.评述：此题要求学生在利用同角的正、余弦平方关系时，应根据已知的三角函数值具体确定角的范围，以便对正负进行取舍，在确定角的范围时，通常是与已知角接近的特殊角的三角函数值进行比较.课时小结 通过本节学习，我们进一步熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质，综合运用了正、余弦定理求解三角形的有关问题，要求大家注意常见解题方法与解题技巧的总结，不断提高三角形问题的求解能力.课后作业 1在三角形中，三边长为连续自然数，且最大角是钝角，那么这个三角形的三边长分别为 .答案：2，3，4 2已知方程 a（1x2）2bxc（1x2）0 没有实数根，如果 a、b、c 是ABC 的三条边的长，求证ABC 是钝角三角形.备课资料 1.正、余弦定理的综合运用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若将正弦定理代入得 sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA.这是只含有三角形三个角的一种关系式，利用这一定理解题，简捷明快，下面举例说 明之.例 1在ABC 中，已知 sin2Bsin2Csin2A 3 sinAsinC，求 B 的度数.解：由定理得 sin2Bsin2Asin2C2sinAsinCcosB 2sinAsinCcosB 3 sinAsinC sinAsinC0，cosB32 B150 例 2求 sin210 cos240 sin10 cos40 的值.解：原式sin210 sin250 sin10 sin50 在 sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA中，令 B10，C50，则 A120.sin2120 sin210 sin250 2sin10 sin50 cos120 sin210 sin250 sin10 sin50（32）234.例 3在ABC 中，已知 2cosBsinCsinA，试判定ABC 的形状.解：在原等式两边同乘以 sinA得 2cosBsinAsinCsin2A，是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 由定理得 sin2Asin2Csin2Bsin2A，sin2Csin2B BC 故ABC 是等腰三角形.2.一题多证 例 4在ABC 中已知 a2bcosC，求证：ABC 为等腰三角形.证法一：欲证ABC 为等腰三角形.可证明其中有两角相等，因而在已知条件中化去边元素，使只剩含角的三角函数.由正弦定理得 absinAsinB 2bcosCbsinAsinB，即 2cosC sinBsinAsin（BC）sinBcosCcosBsinC.sinBcosCcosBsinC0，即 sin（BC）0，BCn（nZ）.B、C 是三角形的内角，BC，即三角形为等腰三角形.证法二：根据射影定理，有 abcosCccosB，又a2bcosC 2bcosCbcosCccosB bcosCccosB，即 bc cosBcosC.又bc sinBsinC.sinBsinC cosBcosC，即 tanBtanC B、C 在ABC 中，BC ABC 为等腰三角形.证法三：cosCa2b2c22ab 及 cosCa2b，a2b2c22ab a2b，化简后得 b2c2.bc ABC 是等腰三角形.3.参考例题 例 1在ABC 中，若cosAcosB ba，试判断ABC 的形状.解：由已知cosAcosB ba 及正弦定理得cosAcosB sinBsinA sin2A=sin2B 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，故ABC 为等腰三角形或直角三角形.例 2已知ABC 的三个内角 A、B、C 依次成等差数列，又三边 a、b、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形.证法一：A、B、C 成等差数列，则 2BAC，又 ABC180，3B180，B60，再由 a、b、c 成等比数列，可得 b2ac，是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 因此用余弦定理 b2a2c22accosB，aca2c22ac12，即（ac）20，ac，AC 又 B60，ABC 为正三角形.证法二：A、B、C 成等差数列，则 2BAC，又 ABC180，3B180，B60，再由 a、b、c 成等比数列，设公比为 q，于是 baq，caq2，cosBa2c2b22ac，即12 a2（aq2）2（aq）22a（aq2）整理得 q42q210，解得 q21，q1 q1，三边长相等 故三角形为正三角形.例 3在ABC 中，若 a2tanB=b2tanA，试判断ABC 的形状.解法一：a2tanB=b2tanA，a2b2 tanAtanB sinA cosBsinB cosA 由正弦定理得sinAsinB ab 由余弦定理得 cosBa2c2b22ac,cosAb2c2a22bc,把式代入式得 a2b2 ab a2c2b22ac b2c2a22bc a2c2b2b2c2a2，整理得（a2b2）（c2a2b2）0，ab 或 a2b2c2.ABC 是等腰三角形或直角三角形.解法二：由已知及正弦定理可得（ksinA）2sinBcosB（ksinB）2sinAcosA，2sinAcosA2sinBcosB sin2Asin2B 2A2B 或 2A 2B 即 AB 或 AB2 是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 ABC 是等腰或直角三角形.4.参考练习题 1.在ABC 中，若 sinAsinBsinCcosBcosC，试判断ABC 的形状.解：sinAsinBsinCcosBcosC，cosBcosCsinBsinCsinA，应用正、余弦定理得a2c2b22ac a2b2c22ab bca，b（a2c2b2）c（a2b2c2）2bc（bc），a2（bc）（bc）（b22bcc2）2bc（bc）即 a2b2c2 故ABC 为直角三角形.2.在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，求证：a2b2c2 sin（AB）sinC.证明：由 a2b2c22bccosA.b2a2c22accosB 两式相减得 a2b2c（acosBbcosA），a2b2c2 acosBbcosAc2.又ac sinAsinC，bc sinBsinC，a2b2c2 sinAcosBsinBcosAsinC sin（AB）sinC.3.在ABC 中，若（abc）（bca）bc，并且 sinA2sinBcosC，试判断ABC 的形状.解：由已知条件（abc）（bca）bc 及余弦定理得 cosAb2c2a22bc（abc）（bca）2（abc）（bca）12 A60 又由已知条件 sinA2sinBcosC 得 sin（BC）sin（BC）sin（BC）sin（CB）0，BC 于是有 ABC60，故ABC 为等边三角形.正弦定理、余弦定理 是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 1在ABC 中，已知 A1050，B300，b2 2，则 c 等于 （）A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 2一个三角形的三边之长分别是 3、5、7，则最大角为 （）A.arccos1114 B.150 C.arccos1314 D.120 3在ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 （）A.b10，A45，C70 B.a60，c48，B60 C.a7，b5，A80 D.a14，b16，A45 4在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则角 A等于 （）A.3 B.23 C.34 D.56 5在ABC 中，若 acosAbcosB，则ABC 的形状是 （）A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 6在ABC 中，已知 c10 2，C60，a20 33，则A .7在ABC 中，已知三边满足（abc)(abc)3ab，则C 等于 .8在ABC 中，若 a2b2 tanAtanB，则ABC 是 .9在ABC 中，已知 B135，C15，a5，那么此三角形的最大边的长是 .10在ABC 中，已知 a 3，b 2，B45，求 A，C 及 c.11已知ABC 中，sinAsinBsinC(3 1)(3 1)10，求最大角.是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 12已知ABC 中，a2，c1，求角 C 的取值范围.正弦定理、余弦定理答案 1C 2D 3D 4B 5D 是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原精心整理 欢迎下载 645 760 8等腰或直角三角形 95 2 10在ABC 中，已知 a 3，b 2，B45，求 A，C 及 c.解：asinA bsinB，sinAa sinBb 3 sin450 2 32 ba 且 basinB A有两解：A60或 120.（1）当 A60时，C180（A+B）75 cb sinC sinB 2 sin750sin450 6 22(2)当 A120时，C180（A+B）15 cb sinC sinB 2 sin150sin450 6 22.11已知ABC 中，sinAsinBsinC(3 1)(3 1)10，求最大角.解：asinA bsinB csinC k sinAsinBsinCabc(3+1)(3 1)10 设 a(3 1)k，b(3 1)k，c 10 k (k0)则最大角为 C.cosCa2b2c22ab (3 1)2(3 1)2 10 22(3 1)(3 1)12 C120.12已知ABC 中，a2，c1，求角 C 的取值范围.解：由三角形三边关系得 bac3 bac1 1b3 由 c2a2b22abcosC，得 b24bcos2C30 由 0，得 cos2C34 0C6.是人与动物的根本区别远古居民的三个代表名称距今时间发现地点体貌特征工具生产生活社会组织元谋人万年云南省元谋县有较多猿的特征会制造工具知道用火原始人群北京人万年北京西南周口店保留了猿的某些特征打制石器保存狩猎打鱼爱美山顶洞人北京人的进步图代表文距今时化间北京人距今约七十万年至二十万年距今约一万八千年山顶洞人体质形态保留猿的某些特征模样与现代人基本相同工具制造打制粗糙的石器用火观念社会组织原始人群使用天然点我国原始农耕生活的两个代表原始距今生产活生产工人类时间动具距今种植水骨制耒约七稻饲耜已千年养猪狗使用磨牛羊制石器长江流域住房用具穿着干栏式房屋制造陶器学会纺织河姆渡原始居民黄河流域距今约五六千年半坡原