八年级数学-二次根式的化简求值-练习题及答案_中学教育-中考.pdf
学习必备 欢迎下载 二次根式的化简求值 练习题 温故而知新：分母有理化 分母有理化是二次根式化简的一种常用方法,通过分子、分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化.例 1 计算：（1）(2 33 26)(233 26)；（2）22(3 22 3)(3 22 3)；（3）a ab aaab.解析：（1）式进行简单分组，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（2）利用平方差公式计算；（3）先将分子、分母在实数范围内因式分解，然后再约分.答案：解：（1）原式=(2 363 2)(2363 2)=22(2 36)(3 2)=12-2 2 36+6-18=12 2.（2）原式=(3 22 33 22 3)(322 33 22 3)=6 2(4 3)=24 6.（3）原式=()()()aababaab=ab.小结：（1）二次根式的混合运算常常用到幂的运算法则和乘法公式，有时题目中条件不明显，要善于变形，使之符合乘法公式，幂的运算法则特点，从而简化计算.（2）二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便.学习必备 欢迎下载 举一反三：1.若xmn=-，ymn=+，则 x y 的值是()A.2 m B.2 n C.m+n D.m-n 解析：x y=()mn-()mn+=22()()mn-=mn-.例 2 阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如:(2+3)(2-3)=1,(5+2)(5-2)=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如13=1333=33,2323+-=2(23)(23)(23)+-+=74 3+,像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.(1)4+7的有理化因式是_.解析：因为（4+7）（4-7）=42-（7）2=9，所以 4+7的有理化因式是 4-7.答案：4-7；(2)计算:11276323+-+.解析：1232323(23)(23)-=-+-，273 3=，162 33=.答案：解：原式=2-3+3 3-2 3=2.通过分子分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化例计算解析式进行简单分组然后利用平方差公式和完全平方公式计算利用平方差公式计算先将分子分母在实数范围内因式分解然后再约分答案解原合乘法公式幂的运算法则特点从而简化计算二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便学习必备欢迎下载举一反三若则的值是解析例阅读材料黑白双雄纵横江湖双剑合璧天下无敌这是武侠小说的常见描述其意是指两个人互为有理化因式其中一个是另一个的有理化因式于是二次根式的除法可以这样解如像这样通过分子分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去叫做分母有理化的有理化因式是解析因为所以的有理化因式是答案计算学习必备 欢迎下载(3)计算:1111(20121)2 1324320122011骣琪+琪+桫.解析：1111(1)(1)nnnnnnnnnn+-=+-+-，将各个分式分别分母有理化后再进行计算.答案：解：原式=（21324320122011-+-+-+-）（20121+）=（20121-）（20121+）=（2012）2-12=2012-1=2011.(4)已知 a=3232+-,b=3232-+,求223aabb-+的值.解析：a=232(32)5 2 632(32)(32)+=+-+，同理b=3252 632-=-+；a+b=52 6+52 6-=10，a b=（52 6+）（52 6-）=1，然后将所要求值的式子用 a+b 和 a b 表示，再整体代入求值即可.答案：解：因为 a=325 2 632+=+-，b=3252 632-=-+，所以 a+b=52 6+52 6-=10，a b=（52 6+）（52 6-）=1.所以223aabb-+=2()5abab+-=2105 1-?=95.小结：分母有理化是我们处理二次根式问题时常用的一种方法，在有关二次根式化简求值的题目中我们经常会用到.利用平方差公式进行分母有理化是常用方法.如:（a+b）(a-b)=a-b,(a+b)(a-b)=a2-b,(a+b)(a-b)=a-b2.通过分子分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化例计算解析式进行简单分组然后利用平方差公式和完全平方公式计算利用平方差公式计算先将分子分母在实数范围内因式分解然后再约分答案解原合乘法公式幂的运算法则特点从而简化计算二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便学习必备欢迎下载举一反三若则的值是解析例阅读材料黑白双雄纵横江湖双剑合璧天下无敌这是武侠小说的常见描述其意是指两个人互为有理化因式其中一个是另一个的有理化因式于是二次根式的除法可以这样解如像这样通过分子分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去叫做分母有理化的有理化因式是解析因为所以的有理化因式是答案计算学习必备 欢迎下载 举一反三：2.如图,数轴上与 1,2对应的点分别为 A,B，点 B 关于点 A的对称点为 C,设点 C 表示的数为 x,则|x-2|+2x=（）A.2 B.2 2 C.3 2 D.2 解析：因为点 B 和点 C 关于点 A 对称，点 A 和点 B 所表示的数分别为 1，2，所以点 C 表示 的 数 为2-2，即x=2-2，故|x-2|+2x=|2-2-2|+222-=22-2+22+=32.例 3 比较大小:(1)11-3与10-2；(2)2 2-5与10-7.解析：（1）用平方法比较大小；（2）用倒数法比较大小.答案：解：（1）（11-3）2=11-2113+3=14-233，（10-2）2=10-2102+4=14-240.3340,33-240,14-23314-240,（11-3）2（10-2）2.又11-30,10-20,11-310-2.（2）12 25-=2 25(2 25)(225)+-+=2 253+，1107-=107(107)(107)+-+=1073+.通过分子分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化例计算解析式进行简单分组然后利用平方差公式和完全平方公式计算利用平方差公式计算先将分子分母在实数范围内因式分解然后再约分答案解原合乘法公式幂的运算法则特点从而简化计算二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便学习必备欢迎下载举一反三若则的值是解析例阅读材料黑白双雄纵横江湖双剑合璧天下无敌这是武侠小说的常见描述其意是指两个人互为有理化因式其中一个是另一个的有理化因式于是二次根式的除法可以这样解如像这样通过分子分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去叫做分母有理化的有理化因式是解析因为所以的有理化因式是答案计算学习必备 欢迎下载 2 253+=853+1073+，12 25-10-7.小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.3.已知20142013a，20152014b，20162015c，则下列结论中正确的是（）A.abc B.cba C.bac D.bca 解析：112014201320142013a，112015201420152014b，112016201520162015c；0bc.例 4 （2013襄阳）先化简，再求值：2222ababbaaa，其中12a ，12b .通过分子分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化例计算解析式进行简单分组然后利用平方差公式和完全平方公式计算利用平方差公式计算先将分子分母在实数范围内因式分解然后再约分答案解原合乘法公式幂的运算法则特点从而简化计算二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便学习必备欢迎下载举一反三若则的值是解析例阅读材料黑白双雄纵横江湖双剑合璧天下无敌这是武侠小说的常见描述其意是指两个人互为有理化因式其中一个是另一个的有理化因式于是二次根式的除法可以这样解如像这样通过分子分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去叫做分母有理化的有理化因式是解析因为所以的有理化因式是答案计算学习必备 欢迎下载 答案：解：原式=22()()2ab ababbaaa=2()()()ab abaaab =abab.12a ，12b ，a+b=2，a-b=2 2，原式=22 2=22.例 5 已知实数 x，y 满足22(2012)(2012)2012xxyy-=，则 3x2-2y2+3x-3y-2011 的值为（）A.-2012 B.2012 C.-1 D.1 解析：观察所给等式特点可将等式变形为22201220122012xxyy-=-，将等式右边分母有理化得2220122012xxyy-=+-；同理可得2220122012yyxx-=+-；+得22201220120 xy-+-=，所以222012xy=；-得0 xy-=，所以xy=；3x2-2y2+3x-3y-2011=3x2-2x2+3x-3x-2011=x2-2011=2012-2011=1.答案：D 小结：本题有一定的技巧性，解题关键在于对所给等式进行变形，然后对变形所得到的两个等式进行简单的加减运算便可得到我们所需要的条件.本题也可以根据变形得到的两个等式的特点得出x=y 的结论，然后代入原来的等式，进而求出 x，y 的值，最后带入求值.通过分子分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化例计算解析式进行简单分组然后利用平方差公式和完全平方公式计算利用平方差公式计算先将分子分母在实数范围内因式分解然后再约分答案解原合乘法公式幂的运算法则特点从而简化计算二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便学习必备欢迎下载举一反三若则的值是解析例阅读材料黑白双雄纵横江湖双剑合璧天下无敌这是武侠小说的常见描述其意是指两个人互为有理化因式其中一个是另一个的有理化因式于是二次根式的除法可以这样解如像这样通过分子分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去叫做分母有理化的有理化因式是解析因为所以的有理化因式是答案计算学习必备 欢迎下载 举一反三：5.观察分析下列数据,寻找规律:0,3,6,3,23,15,3 2,那么第 10 个数据应是_.解析：0=0 3，3=1 3，6=2 3，3=3 3，23=124 3=?，15=5 3，3 2=186 3=?，3(1)n-，所以第 10 个数据是9 33 3?.6.（2013 孝感）先化简，再求值：111xyyx，其中 x=32，y=32.例 6 已知 m=1+2,n=1-2,且(7 m2-14m+a)(3 n2-6n-7)=8，则 a 的值等于（）A.-5 B.5 C.-9 D.9 解析：由 m=1+2可得 m-1=2，两边平方得 m2-2m+1=2，所以 m2-2m=1；7m2-14m+a=7（m2-2m）+a=7+a；同理可得 n2-2n=1，3n2-6n-7=3（n2-2n）-7=3-7=-4；所以(7+a)(-4)=8，解得 a=-9.答案：C 小结：观察所给等式和 m，n 的值，我们可以发现，对 m，n 稍作变形便可整体代入.整体思想是解决这类较复杂求值问题常用的思想方法.当然我们也可以直接把 m，n 的值直接代入，然后解方程求出 a 的值，这样计算量要大很多.通过分子分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化例计算解析式进行简单分组然后利用平方差公式和完全平方公式计算利用平方差公式计算先将分子分母在实数范围内因式分解然后再约分答案解原合乘法公式幂的运算法则特点从而简化计算二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便学习必备欢迎下载举一反三若则的值是解析例阅读材料黑白双雄纵横江湖双剑合璧天下无敌这是武侠小说的常见描述其意是指两个人互为有理化因式其中一个是另一个的有理化因式于是二次根式的除法可以这样解如像这样通过分子分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去叫做分母有理化的有理化因式是解析因为所以的有理化因式是答案计算学习必备 欢迎下载 举一反三：4.设 a=7-1，则 3a3+12a2-6a-12=（）A.24 B.25 C.4 710+D.4 712+解析：由 a=7-1 得 a+1=7，两边平方得 a2+2a+1=7，所以 a2+2a=6，所 以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=3a6+6a2-6a-12=6a2+12a-12=6（a2+2a）-12=66-12=24.通过分子分母同乘一个式子把根号中的分母化去或把分母中的根号化去叫分母有理化例计算解析式进行简单分组然后利用平方差公式和完全平方公式计算利用平方差公式计算先将分子分母在实数范围内因式分解然后再约分答案解原合乘法公式幂的运算法则特点从而简化计算二次根式的计算和化简灵活运用因式分解能使计算简便学习必备欢迎下载举一反三若则的值是解析例阅读材料黑白双雄纵横江湖双剑合璧天下无敌这是武侠小说的常见描述其意是指两个人互为有理化因式其中一个是另一个的有理化因式于是二次根式的除法可以这样解如像这样通过分子分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去叫做分母有理化的有理化因式是解析因为所以的有理化因式是答案计算
