2012年广东高考文科数学试题及答案.pdf

2 0 1 2 年 广 东 高 考 文 科 数 学 试 题 及 答 案本 试 题 共 4 页，2 1 小 题，满 分 1 5 0 分，考 试 用 时 1 2 0 分 钟。参 考 公 式：锥 体 的 体 积 公 式13V Sh，其 中S为 柱 体 的 底 面 积，h为 柱 体 的 高.球 的 体 积343V R，其 中R为 球 的 半 径。一 组 数 据1 2,nx x x 的 标 准 差2 2 21 21()()()ns x x x x x xn，其 中x表 示 这 组 数据 的 平 均 数。一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，满 分 4 0 分，在 每 小 题 给 出 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求。1.设i为 虚 数 单 位，则 复 数3 4 ii=()()A4 3 i()B4 3 i()Ci()Di 2 设 集 合 1,2,3,4,5,6,1,3,5 U M；则UC M()()A,()B 1,3,5()C,()DU3.若 向 量(1,2),(3,4)A B B C；则A C()()A(4,6)()B(4,6)()C(,)()D(,)4.下 列 函 数 为 偶 函 数 的 是()()A s i n y x()B3y x()Cxy e()D l n y x 5.已 知 变 量,x y满 足 约 束 条 件11 01x yxx y，则2 z x y 的 最 小 值 为()()A3()B1()C5()D6 6.在A B C 中，若60,45,3 2 A B B C，则A C()()A4 3()B2 3()C()D7 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 1 所 示，它 的 体 积 为()()A7 2()B4 8()C()D 8.在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中，直 线3 4 5 0 x y 与 圆2 24 x y 相 交 于,A B两 点，则 弦A B的长 等 于()()A 3 3()B 2 3()C()D9.执 行 如 下 图 所 示 的 程 序 框 图，若 输 入n的 值 为 6，则 输 出s的 值 为()()A1 0 5()B16()C()D1 0.对 任 意 两 个 非 零 的 平 面 向 量和，定 义；若 两 个 非 零 的 平 面 向 量,a b 满 足，a与b的 夹 角(,)4 2，且,a b b a 都 在 集 合2nn Z中，则a b()()A12()B1()C()D二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，考 生 作 答 4 小 题，每 小 题 5 分，满 分 2 0 分。(一)必 做 题(1 1-1 3 题)1 1.函 数1 xyx的 定 义 域 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _。1 2.等 比 数 列 na满 足2 412a a，则21 3 5a a a _ _ _ _ _。1 3.由 正 整 数 组 成 的 一 组 数 据1 2 3 4,x x x x，其 平 均 数 和 中 位 数 都 是2，且 标 准 差 等 于1，则 这 组数 据 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _。(从 小 到 大 排 列)(二)选 做 题(1 4-1 5 题，考 生 只 能 从 中 选 做 一 题)1 4.(坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题)在 平 面 直 角 坐 标 系x O y中，曲 线1C和2C的 参 数 方 程 分 别 为25 c os:5 s i nxCy(是 参 数，02)和2212:22x tCy t(t是 参 数)，它 们 的 交 点 坐 标 为_ _ _ _ _ _ _.1 5.(几 何 证 明 选 讲 选 做 题)如 图3所 示，直 线P B与 圆O想 切 于 点B，D是 弦A C上 的 点，P B A D B A，若,A D m A C n，则A B _ _ _ _ _ _ _。三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，满 分 8 0 分。解 答 需 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 和 演 算 步 骤。(本 小 题 满 分 1 2 分)已 知 函 数()c os()()4 6xf x A x R，且()23f。(1)求A的 值；(2)设,0,2，4 30 2 8(4),(4)3 17 3 5f f；求c os()的 值1 7.(本 小 题 满 分 1 3 分)某 校 1 0 0 名 学 生 期 中 考 试 语 文 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 4 所 示，其 中 成 绩分 组 区 间 是：5 0,6 0 6 0,7 0 7 0,8 0 8 0,9 0 9 0,1 0 0。(1)求 图 中a的 值；(2)根 据 频 率 分 布 直 方 图，估 计 这 1 0 0 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分；(3)若 这 1 0 0 名 学 生 语 文 成 绩 某 些 分 数 段 的 人 数(x)与 数 学 成 绩 相 应 分 数 段 的 人 数(y)之 比 如 下 表 所示，求 数 学 成 绩 在 5 0，9 0)之 外 的 人 数。1 8.(本 小 题 满 分 1 3 分)如 下 图 5 所 示，在 四 棱 锥P A B C D 中，A B 平 面P A D，/,A B C D P D A D，E是P B中 点，F是D C上 的 点，且12D F A B，P H为P A D 中A D边 上 的 高。(1)证 明：P H 平 面A B C D；(2)若1,2,1 P H A D F C，求 三 棱 锥E B C F 的 体 积；(3)证 明：E F 平 面P A B1 9.(本 小 题 满 分 1 4 分)设 数 列 na的 前n项 和 为nS，数 列 nS的 前n项 和 为nT，满 足2*2n nT S n n N，(1)求1a的 值；(2)求 数 列 na的 通 项 公 式。2 0.(本 小 题 满 分 1 4 分)在 平 面 直 角 坐 标 系x o y中，已 知 椭 圆2 21 2 2:1(0)x yC a ba b 的 左 焦 点 为1(1 0)F，且 点(0 1)P，在1C上。(1)求1C的 方 程；(2)设 直 线l同 时 与 椭 圆1C和 抛 物 线22:4 C y x 相 切，求直 线l的 方 程。2 1.(本 小 题 满 分 1 4 分)设0 1 a，集 合|0 A x R x，2|2 3(1)6 0 B x R x a x a，D A B。(1)求 集 合D(用 区 间 表 示)；(2)求 函 数3 2()2 3(1)6 f x x a x ax 在D内 的 极 值点。2 0 1 2 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(广 东 卷)数 学(文 科)参 考 答 案一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，满 分 4 0 分。1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0D A A D C B C B C A1.【解 析】选D依 题 意：23 4(3 4)4 3i i iii i 2【解 析】选A UC M,3.【解 析】选A(4,6)A C A B B C 4.【解 析】选Ds i n y x 与3y x 是 奇 函 数,，xy e 是 非 奇 非 偶 函 数5.【解 析】选C约 束 条 件 对 应A B C 边 际 及 内 的 区 域：(1,0),(1,2),1,2)A B C，则2 5,3 z x y 6.【解 析】选B由 正 弦 定 理 得：3 22 3s i n s i n s i n 60 s i n 45B C A C A CA CA B 7【解 析】选C几 何 体 是 半 球 与 圆 锥 叠 加 而 成，它 的 体 积 为3 22 21 4 13 3 5 3 302 3 3V 8.【解 析】选B圆2 24 x y 的 圆 心(0,0)O到 直 线3 4 5 0 x y 的 距 离515d，弦A B的 长2 22 2 3 A B r d 9.【解 析】选Cs1 1 3 15i 1 3 5 71 0.【解 析】选A21c os 0,c os 0()()c os(0,)2a ba b b a a b b ab a,a b b a 都 在 集 合2nn Z中 得：*1 21 21()()(,)4 2n na b b a n n N a b。二、填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，考 生 作 答 4 小 题，每 小 题 5 分，满 分 2 0 分。(一)必 做 题(1 1-1 3 题)9.【解 析】定 义 域 为 1,0)(0,)，1 xyx中 的x满 足：1 01 00 xxx 或0 x 1 0.【解 析】21 3 5a a a 14，2 2 42 4 3 1 3 5 31 1 1,2 2 4a a a a a a a 1 1.【解 析】这 组 数 据 为1,1,3,3，不 妨 设1 2 3 4x x x x 得：2 3 1 2 3 4 1 44,8 4 x x x x x x x x 2 2 2 2 21 2 3 41(2)(2)(2)(2)4 2 0,1,2is x x x x x 如 果 有 一 个 数 为0或4；则 其 余 数 为2，不 合 题 意；只 能 取2 1ix；得：这 组 数 据 为1,1,3,3(二)选 做 题(1 4-1 5 题，考 生 只 能 从 中 选 做 一 题)1 4.【解 析】它 们 的 交 点 坐 标 为(2,1)，2 21 2:5(,0),:1 C x y x y C y x 解 得：交 点 坐 标 为(2,1)1 5.【解 析】A B m n，,P B A D B A A C B B A D C A B B A D C A B 得：2A B A DA B A C A D m n A B m nA C A B。三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，满 分 8 0 分。解 答 需 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 和 演 算 步 骤。1 6.解：(1)()2 c os 2 23 4f A A。(2)4 30 15 15(4)c os()s i n3 17 2 17 17f，0,2，8c os17。2 8 4(4)c os3 5 5f，0,2，3s i n5，4 8 3 15 13c os()c os c os s i n s i n5 17 5 17 85 1 7.解：(1)(2 0.02 0.03 0.04)10 1 0.005 a a。(2)平 均 分 为5 5 0.0 5 6 5 0.4 7 5 0.3 8 5 0.2 9 5 0.0 5 7 3。(3)数 学 成 绩 在 50,90)内 的 人 数 为1 4 5(0.005 0.04 0.03 0.02)10 100 902 3 4 人，数学 成 绩 在 50,90)外 的 人 数 为100 90 10 人。答：(1)0.005 a；(2)这 1 0 0 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 为73；(3)数 学 成 绩 在 50,90)外 的 人 数 为10人。1 8.(1)证 明：A B 平 面P A D，P H 面P A DP H A B，又,P H A D A D A B、平 面A B C D，A D A B A P H 平 面A B C D。(2)E是P B中 点点E到 面B C F的 距 离1 12 2h P H，三 棱 锥E B C F 的 体 积1 1 1 1 1 21 23 3 2 6 2 12B C FV S h F C A D h。(3)取P A的 中 点 为G，连 接,D G E G。P D A D D G P A，又A B 平 面P A D，A B 平 面P A B平 面P A D 平 面P A B，又 平 面P A D 平 面P A B P A，D G 平 面P A D D G 面P A B，点,E G是 棱,P B P A的 中 点1/2E G A B，又1/2D F A B E G D F D G E F，得：E F 平 面P A B。1 9.解:(1)在2*2n nT S n n N，中，令1 1 1 1 11 2 1 2 1 1 n T S a a a。(2)2 21 12 2(1)n n n nT S n T S n，相 减 得：12(2 1)n nS S n，2 12(2 3)n nS S n，相 减 得：2 12 2n na a，1 2 1 21 2 3 4 a S S a，2 12 2 a a，得12 2n na a，1 12 2 2 2(2)n n n na a a a，得：数 列 2 na 是 以12 3 a 为 首 项，2为 公 比 的 等比 数 列，1 12 3 2 3 2 2n nn na a。2 0.解：(1)由 题 意 得：2 21,1 2 b c a b c，故 椭 圆1C的 方 程 为：2212xy。(2)当 直 线l的 斜 率 不 存 在 时，设 直 线:l x m，直 线l与 椭 圆1C相 切2 m，直 线 与 抛 物线22:4 C y x 相 切0 m，得：m不 存 在。当 直 线l的 斜 率 存 在 时，设 直 线:l y k x m，直 线l与 椭 圆1C相 切2 2 2(1 2)4 2 2 0 k x k m x m 两 根 相 等2 210 2 1 m k；直 线 与 抛 物 线22:4 C y x 相 切2 2 22(2)0 k x k m x m 两 根 相 等20 1 k m，解 得：2,22k m 或2 2,2:(2)2 2k m l y x。2 1.解：(1)对 于 方 程22 3(1)6 0 x a x a，判 别 式29(1)48 3(3)(3 1)a a a a。因 为0 1 a，所 以3 0 a。当113a 时，0，此 时B R，所 以 0,D A；当13a 时，0，此 时|1 B x x，所 以(0,1)(1,)D；当103a 时，0，设 方 程22 3(1)6 0 x a x a 的 两 根 为1 2,x x且1 2x x，则13(1)3(3)(3 1)4a a ax，23(1)3(3)(3 1)4a a ax，1 2|B x x x x x 或1 23(1)02x x a，1 23 0 x x a，所 以1 20,0 x x，此 时，1 2(0,)(,)D x x 3(1)3(3)(3 1)3(1)3(3)(3 1)(0,)(,)4 4a a a a a a 综 上 可 知，当103a 时，3(1)3(3)(3 1)3(1)3(3)(3 1)(0,)(,)4 4a a a a a aD；当13a 时，(0,1)(1,)D；当113a 时，0,D。(2)2()6 6(1)6 6(1)()f x x a x a x x a(0 1)a，由()0 1 f x a x，由()0 f x x a 或1 x，所 以 函 数()f x在 区 间,a 和 1,上 为 递 增，在 区 间,1 a上 为 递 减。当113a 时，因 为 0,D，所 以()f x在D内 有 极 大 值 点a和 极 小 值 点1；当13a 时，(0,1)(1,)D，所 以()f x在D内 有 极 大 值 点13a；当103a 时，3(1)3(3)(3 1)3(1)3(3)(3 1)(0,)(,)4 4a a a a a aD 3(1)3(3)(3 1)3(1)3(3)(3 1)14 4a a a a a aa，()f x在D内 有 极 大 值点a。综 上 可 知：当103a 时，()f x在D内 有 极 大 值 点a；当113a 时，()f x在D内 有 极 大 值点a和 极 小 值 点1。