2012年山东高考理科数学试题及答案.pdf

2 0 1 2 年 山 东 高 考 理 科 数 学 试 题 及 答 案本 试 卷 分 第 I 卷 和 第 I I 卷 两 部 分，共 4 页。满 分 1 5 0 分。考 试 用 时 1 2 0 分 钟，考 试 结 束，务 必 将试 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交。注 意 事 项：1.答 题 前，考 生 务 必 用 直 径 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、县 区 和 科 类 填 写在 答 题 卡 上 和 试 卷 规 定 的 位 置 上。2.第 I 卷 每 小 题 选 出 答 案 后，用 2 B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑；如 需 改 动，用 橡 皮擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号，答 案 不 能 答 在 试 卷 上。3.第 I I 卷 必 须 用 0.5 毫 米 黑 色 签 字 笔 作 答，答 案 必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 指 定 区 域 内 相 应 的 位 置，不 能 写 在 试 卷 上；如 需 改 动，先 划 掉 原 来 的 答 案，然 后 再 写 上 新 的 答 案；不 能 使 用 涂 改 液、胶 带纸、修 正 带。不 按 以 上 要 求 作 答 的 答 案 无 效。4.填 空 题 请 直 接 填 写 答 案，解 答 题 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。参 考 公 式：锥 体 的 体 积 公 式：V=13S h，其 中 S 是 锥 体 的 底 面 积，h 是 锥 体 的 高。如 果 事 件 A，B 互 斥，那 么 P（A+B）=P（A）+P(B)；如 果 事 件 A,B 独 立，那 么 P（A B）=P（A）P（B）。第 I 卷（共 6 0 分）一、选 择 题：本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 若 复 数 x 满 足 z(2-i)=1 1+7 i(i 为 虚 数 单 位)，则 z 为A 3+5 i B 3-5 i C-3+5 i D-3-5 i解 析：ii i iiiz 5 35)1 1 14(7 225)2)(7 1 1(27 1 1.答 案 选 A。另 解：设),(R b a bi a z，则 i i a b b a i bi a 7 1 1)2(2)2)(根 据 复 数 相 等 可 知 7 2,1 1 2 a b b a，解 得 5,3 b a，于 是 i z 5 3。2 已 知 全 集=0,1,2,3,4，集 合 A=1,2,3,，B=2,4，则（C u A）B 为A 1,2,4 B 2,3,4 C 0,2,4 D 0,2,3,4 解 析：4,2,0)(,4,0 B A C A CU U。答 案 选 C。3 设 a 0 a 1，则“函 数 f(x)=ax在 R 上 是 减 函 数”，是“函 数 g(x)=(2-a)3x 在 R 上 是增 函 数”的A 充 分 不 必 要 条 件 B 必 要 不 充 分 条 件C 充 分 必 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析：p：“函 数 f(x)=ax在 R 上 是 减 函 数”等 价 于 1 0 a；q：“函 数 g(x)=(2-a)3x 在 R 上是 增 函 数”等 价 于 0 2 a，即,2 0 a 且 a 1，故 p 是 q 成 立 的 充 分 不 必 要 条 件.答 案 选 A。（4）采 用 系 统 抽 样 方 法 从 9 6 0 人 中 抽 取 3 2 人 做 问 卷 调 查，为 此 将 他 们 随 机 编 号 为 1,2，9 6 0，分 组 后 在 第 一 组 采 用 简 单 随 机 抽 样 的 方 法 抽 到 的 号 码 为 9.抽 到 的 3 2 人 中，编 号 落 入 区 间 1,4 5 0 的 人 做 问 卷 A，编 号 落 入 区 间 4 5 1,7 5 0 的 人 做 问 卷 B，其 余 的 人 做 问 卷 C.则 抽 到 的 人 中，做 问 卷 B 的 人 数 为（A）7（B）9（C）1 0（D）1 5解 析：采 用 系 统 抽 样 方 法 从 9 6 0 人 中 抽 取 3 2 人，将 整 体 分 成 3 2 组，每 组 3 0 人，即 3 0 l，第 k组 的 号 码 为 9 30)1(k，令 750 9 30)1(451 k，而 z k，解 得 2 5 1 6 k，则 满 足2 5 1 6 k 的 整 数 k 有 1 0 个，故 答 案 应 选 C。解 析：作 出 可 行 域，直 线 0 3 y x，将 直 线 平 移 至 点)0,2(处 有 最 大 值，点)3,21(处 有 最 小 值，即 623 z.答 案 应 选 A。（6）执 行 下 面 的 程 序 图，如 果 输 入 a=4，那 么 输 出 的 n 的 值 为（A）2（B）3（C）4（D）5解 析：3 1 2,1 4 0,00 q p n；7 1 6,5 4 1,11 q p n；15 1 14,21 4 5,22 q p n，q p n,3。答 案 应 选 B。2 2 y x1 4 y x4 2 y xO(7)若4 2，3 7s i n 2=8，则 s i n=（A）35（B）45（C）74（D）34解 析：由4 2，可 得,2 2，812 s i n 1 2 c os2，4322 c os 1s i n，答 案 应 选 D。另 解：由4 2，及3 7s i n 2=8 可 得4347167 7 6 9167 6 1687 31 2 s i n 1 c os s i n，而 当4 2，时 c o s s i n，结 合 选 项 即 可 得47c os,43s i n.答 案 应 选 D。（8）定 义 在 R 上 的 函 数 f（x）满 足 f（x+6）=f（x），当-3 x-1 时，f（x）=-（x+2）2，当-1 x 3 时，f（x）=x。则 f（1）+f（2）+f（3）+f（2 0 1 2）=（A）3 3 5（B）3 3 8（C）1 6 7 8（D）2 0 1 2解 析：2)2(,1)1(,0)0(,1)1(,0)2(,1)3(f f f f f f，而 函 数 的 周 期 为 6，338 3 335)2()1()2 1 0 1 0 1(335)2012()2()1(f f f f f.答 案 应 选 B(9)函 数 的 图 像 大 致 为解 析：函 数x xxx f2 26 c os)(，)(2 26 c os)(x fxx fx x 为 奇 函 数，当 0 x，且 0 x 时)(x f；当 0 x，且 0 x 时)(x f；当 x，x x2 2，0)(x f；当 x，x x2 2，0)(x f.答 案 应 选 D。（1 0）已 知 椭 圆 C：的 离 心 率 为，双 曲 线 x-y 1 的 渐 近 线 与 椭 圆 有四 个 交 点，以 这 四 个 交 点 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为 1 6，则 椭 圆 c 的 方 程 为解 析：双 曲 线 x-y 1 的 渐 近 线 方 程 为 x y，代 入 可 得16 4,22 22 22 x Sb ab ax，则)(42 2 2 2b a b a，又 由23 e 可 得 b a 2，则2 45 b b，于 是 20,52 2 a b。椭 圆 方 程 为 15 202 2 y x，答 案 应 选 D。（1 1）现 有 1 6 张 不 同 的 卡 片，其 中 红 色、黄 色、蓝 色、绿 色 卡 片 各 4 张，从 中 任 取 3 张，要 求 这些 卡 片 不 能 是 同 一 种 颜 色，且 红 色 卡 片 至 多 1 张，不 同 取 法 的 种 数 为（A）2 3 2(B)2 5 2(C)4 7 2(D)4 8 4解 析：472 88 560 72 16614 15 1641122434316 C C C C,答 案 应 选 C。另 解：472 12 264 22021 1 124 12610 1 1 123212143431204 C C C C C.(1 2)设 函 数 f（x）=，g（x）=a x2+b x 若 y=f(x)的 图 像 与 y=g(x)图 像 有 且 仅有 两 个 不 同 的 公 共 点 A（x1,y1）,B(x2,y2),则 下 列 判 断 正 确 的 是A.当 a 0 时，x1+x2 0B.当 a 0,y1+y2 0 时，x1+x2 0,y1+y2 0 时，x1+x2 0,y1+y2 0解 析:令 bx axx 21，则)0(12 3 x bx ax，设2 3)(bx ax x F，bx ax x F 2 3)(2 令 0 2 3)(2 bx ax x F，则abx32，要 使 y=f(x)的 图 像 与 y=g(x)图 像 有 且 仅 有 两 个 不 同的 公 共 点 只 需 1)32()32()32(2 3 abbabaabF，整 理 得2 327 4 a b，于 是 可 取 3,2 b a来 研 究，当 3,2 b a 时，1 3 22 3 x x，解 得21,12 1 x x，此 时 2,12 1 y y，此 时0,02 1 2 1 y y x x；当 3,2 b a 时，1 3 22 3 x x，解 得21,12 1 x x，此 时2,12 1 y y，此 时 0,02 1 2 1 y y x x.答 案 应 选 B。另 解：令)()(x g x f 可 得 b axx 21。设 b ax yxy,12不 妨 设2 1x x，结 合 图 形 可 知，当 0 a 时 如 右 图，此 时2 1x x，即 02 1 x x，此 时 02 1 x x，11 221 1yx xy，即 02 1 y y；同 理 可 由 图 形 经过 推 理 可 得 当 0 a 时 0,02 1 2 1 y y x x.答 案 应 选 B。第 卷（共 9 0 分）二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 4 分，共 1 6 分。（1 3）若 不 等 式 的 解 集 为，则 实 数 k=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解 析：由 可 得 2 4 2 k x，即 6 2 k x，而 3 1 x，所 以 2 k.另 解：由 题 意 可 知 3,1 x x 是 2 4 k x 的 两 根，则 2 4 32 4kk，解 得 2 k.（1 4）如 图，正 方 体 A B C D-A1B1C1D1的 棱 长 为 1，E,F 分 别 为 线 段 A A1,B1C 上 的 点，则 三 棱 锥 D1-E D F的 体 积 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解 析：611 1211311 1 D E D F E D F DV V.（1 5）设 a 0.若 曲 线 与 直 线 x a，y=0 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 为 a，则 a=_ _ _ _ _ _。)0(ab ax y)0(ab ax yyyx x2 1x x2 1x x解 析：a a x dx x Saa 2302303232，解 得49 a.（1 6）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，一 单 位 圆 的 圆 心 的 初 始 位 置 在（0,1），此 时 圆 上 一 点 P的 位 置 在（0,0），圆 在 x 轴 上 沿 正 向 滚 动。当 圆 滚 动 到 圆 心 位 于（2,1）时，的 坐 标 为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。解 析：根 据 题 意 可 知 圆 滚 动 了 2 单 位 个 弧 长，点 P 旋 转了 212 弧 度，此 时 点 P 的 坐 标 为)2 c os 1,2 s i n 2(,2 c os 1)22 s i n(1,2 s i n 2)22 c os(2 O PyxPP.另 解 1：根 据 题 意 可 知 滚 动 制 圆 心 为（2,1）时 的 圆 的 参 数 方 程 为 s i n 1c os 2yx，且223,2 P C D，则 点 P 的 坐 标 为 2 c os 1)223s i n(12 s i n 2)223c os(2yx，即)2 c os 1,2 s i n 2(O P.三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 4 分。（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 向 量 m=（s i n x，1），函 数 f（x）=m n 的 最 大 值 为 6.（）求 A；（）将 函 数 y=f（x）的 图 象 像 左 平 移12个 单 位，再 将 所 得 图 象 各 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的12倍，纵 坐 标 不 变，得 到 函 数 y=g（x）的 图 象。求 g（x）在 上 的 值 域。解 析：（）62 s i n 2 c o s22 s i n232 c o s2s i n c o s 3)(x A xAx A xAx x A n m x f，则 6 A;（）函 数 y=f（x）的 图 象 像 左 平 移12个 单 位 得 到 函 数 6)12(2 s i n 6 x y 的 图 象，CD再 将 所 得 图 象 各 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的12倍，纵 坐 标 不 变，得 到 函 数)34 s i n(6)(x x g.当 245,0 x 时，1,21)34 s i n(,67,334 x x，6,3)(x g.故 函 数 g（x）在 上 的 值 域 为 6,3.另 解：由)34 s i n(6)(x x g 可 得)34 c os(24)(x x g，令 0)(x g，则)(2 34 Z k k x，而 245,0 x，则24 x，于 是 367s i n 6)245(,62s i n 6)24(,3 33s i n 6)0(g g g，故 6)(3 x g，即 函 数 g（x）在 上 的 值 域 为 6,3.（1 8）（本 小 题 满 分 1 2 分）在 如 图 所 示 的 几 何 体 中，四 边 形 A B C D 是 等 腰 梯 形，A B C D，D A B=6 0，F C 平 面 A B C D，A E B D，C B=C D=C F。（）求 证：B D 平 面 A E D；（）求 二 面 角 F-B D-C 的 余 弦 值。解 析：（）在 等 腰 梯 形 A B C D 中，A B C D，D A B=6 0，C B=C D,由 余 弦 定 理 可 知2 0 2 2 23)180 c os(2 C D D A B C B C D C B C D B D,即 A D C D B D 3 3,在 A B D 中，D A B=6 0，A D B D 3，则 A B D 为 直 角 三 角 形，且 D B A D。又 A E B D，A D 平 面 A E D，A E 平 面 A E D，且 A A E A D，故 B D 平 面A E D；（）由（）可 知 C B A C，设 1 C B，则 3 B D C A,建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(D B F，向 量)1,0,0(n 为 平 面 B D C 的 一 个 法 向 量.zxy设 向 量),(z y x m 为 平 面 B D F 的 法 向 量，则 00F B mB D m,即 002323z yy x，取 1 y，则 1,3 z x，则)1,1,3(m 为 平 面 B D F 的 一 个 法 向 量.5551,c os n mn mn m，而 二 面 角 F-B D-C 的 平 面 角 为 锐 角，则二 面 角 F-B D-C 的 余 弦 值 为55。（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）现 有 甲、乙 两 个 靶。某 射 手 向 甲 靶 射 击 一 次，命 中 的 概 率 为，命 中 得 1 分，没 有 命 中 得 0 分；向 乙 靶 射 击 两 次，每 次 命 中 的 概 率 为,每 命 中 一 次 得 2 分，没 有 命 中 得 0 分。该 射 手 每 次 射 击的 结 果 相 互 独 立。假 设 该 射 手 完 成 以 上 三 次 射 击。（）求 该 射 手 恰 好 命 中 一 次 得 的 概 率；（）求 该 射 手 的 总 得 分 X 的 分 布 列 及 数 学 期 望 E X解 析：（）367323141)31(43122 C P；（）5,4,3,2,1,0 X91323141)2(,121)31(43)1(.361)31(41)0(122 2 C X P X P X P,31)32(43)5(,91)32(41)4(,31323143)3(2 2 12 X P X P C X PX 0 1 2 3 4 5P36112191319131E X=0 361+1 121+2 91+3 31+4 91+5 31=12531241.（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）在 等 差 数 列 an 中，a3+a4+a5=8 4，a9=7 3.（）求 数 列 an 的 通 项 公 式；（）对 任 意 m N，将 数 列 an 中 落 入 区 间（9m，92 m）内 的 项 的 个 数 记 为 b m，求 数 列 bm 的 前 m项 和 Sm。解 析：（）由 a3+a4+a5=8 4，a5=7 3 可 得,28,84 34 4 a a 而 a9=7 3，则 9,45 54 9 d a a d，1 27 28 34 1 d a a，于 是 8 9 9)1(1 n n an，即 8 9 n an.（）对 任 意 m N，m mn29 8 9 9，则 8 9 9 8 92 m mn，即9899891 2 1 m mn，而*N n，由 题 意 可 知1 1 29 9 m mmb，于 是)9 9 9(9 9 91 1 0 1 2 3 12 1 m mm mb b b S 89801 9801 9 10 981 9809 99 19 19 19 91 2 1 2 1 221 2 m m m m m m m m，即89801 91 2 m mmS.（2 1）（本 小 题 满 分 1 3 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，F 是 抛 物 线 C：x2=2 p y（p 0）的 焦 点，M 是 抛 物 线 C 上 位 于 第 一 象 限内 的 任 意 一 点，过 M，F，O 三 点 的 圆 的 圆 心 为 Q，点 Q 到 抛 物 线 C 的 准 线 的 距 离 为34。（）求 抛 物 线 C 的 方 程；（）是 否 存 在 点 M，使 得 直 线 M Q 与 抛 物 线 C 相 切 于 点 M？若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由；（）若 点 M 的 横 坐 标 为 2，直 线 l：y=k x+14与 抛 物 线 C 有 两 个 不 同 的 交 点 A，B，l 与 圆 Q 有两 个 不 同 的 交 点 D，E，求 当12 k 2 时，的 最 小 值。解 析：（）F 抛 物 线 C：x2=2 p y（p 0）的 焦 点 F)2,0(p，设 M)0)(2,(0200 xpxx，),(b a Q，由题 意 可 知4pb，则 点 Q 到 抛 物 线 C 的 准 线 的 距 离 为 pp p pb432 4 234，解 得 1 p，于 是 抛 物 线 C 的 方 程 为 y x 22.（）假 设 存 在 点 M，使 得 直 线 M Q 与 抛 物 线 C 相 切 于 点 M，而)2,(),0,0(),21,0(200 xx M O F，)41,(a Q，Q F O Q M Q，161)412()(2 220 20 axa x，030838xxa，由 y x 22 可 得 x y，0302008382 41xxxx k，则20204021418381x x x，即 0 22040 x x，解 得 10 x，点 M 的 坐 标 为)21,1(.（）若 点 M 的 横 坐 标 为 2，则 点 M)1,2(，)41,82(Q。由 4122k x yy x可 得 02122 k x x，设),(),(2 2 1 1y x B y x A，4)(1(2 122 122x x x x k A B)2 4)(1(2 2 k k圆323161642)21()82(:2 2 y x Q，2 21 82182kkkkD)1(82 3)1(32 323 422222kkkkD E，于 是)1(82 3)2 4)(1(222 22 2kkk k D E A B，令 5,45 12 t k41812 481 2)2 4()1(82 3)2 4)(1(2222 22 2 tt tttt tkkk k D E A B，设41812 4)(2 tt t t g，2812 8)(tt t g，当 5,45 t 时，0812 8)(2 tt t g，即 当21,45 k t 时101441458145216254)(m i n t g.故 当21 k 时，1014)(m i n2 2 D E A B.2 2(本 小 题 满 分 1 3 分)已 知 函 数 f(x)=xek x l n（k 为 常 数，e=2.7 1 8 2 8 是 自 然 对 数 的 底 数），曲 线 y=f(x)在 点（1，f(1)）处 的 切 线 与 x 轴 平 行。（）求 k 的 值；（）求 f(x)的 单 调 区 间；（）设 g(x)=(x2+x)()f x,其 中()f x 为 f(x)的 导 函 数，证 明：对 任 意 x 0，21)(e x g。解 析：由 f(x)=xek x l n可 得)(x fxex kxl n1，而 0)1(f，即 01ek，解 得 1 k；（）)(x fxexxl n 11，令 0)(x f 可 得 1 x，当 1 0 x 时，0 l n 11)(xxx f；当 1 x 时，0 l n 11)(xxx f。于 是)(x f 在 区 间)1,0(内 为 增 函 数；在),1(内 为 减 函 数。简 证（）x xex x x xexxx x x gl n)(1l n 11)()(2 22，当 1 x 时，0,0,0 l n,0 12 2 xe x x x x，21 0)(e x g.当 1 0 x 时，要 证22 221l n)(1l n 11)()(eex x x xexxx x x gx x。只 需 证2 2 21()l n(1)xx x x x e e，然 后 构 造 函 数 即 可 证 明。