2012年全国卷高考理科数学试题及答案.pdf

2 0 1 2 年 全 国 卷 高 考 理 科 数 学 试 题 及 答 案注 息 事 项:1.本 试 卷 分 第 卷（选 择 题）和 第 卷(非 选 择 题)两 部 分。答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 本 试 卷 和 答 题 卡 相 应 位 置 上。2.问 答 第 卷 时。选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改动.用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 它 答 案 标 号。写 在 本 试 卷 上 无 效.3.回 答 第 卷 时。将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效 4.考 试 结 束 后.将 本 试 卷 和 答 且 卡 一 并 交 回。第 一 卷一 选 择 题：本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 同 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的。（1）已 知 集 合 1,2,3,4,5 A,(,),B x y x A y A x y A；,则 B 中 所 含 元 素的 个 数 为（）()A 3()B 6()C()D【解 析】选 D5,1,2,3,4 x y，4,1,2,3 x y，3,1,2 x y，2,1 x y 共 1 0 个（2）将 2 名 教 师，4 名 学 生 分 成 2 个 小 组，分 别 安 排 到 甲、乙 两 地 参 加 社 会 实 践 活 动，每 个 小 组 由 1 名 教 师 和 2 名 学 生 组 成，不 同 的 安 排 方 案 共 有（）()A 12 种()B 10 种()C 种()D 种【解 析】选 A甲 地 由 1 名 教 师 和 2 名 学 生：1 22 412 C C 种（3）下 面 是 关 于 复 数21zi 的 四 个 命 题：其 中 的 真 命 题 为（）1:2 p z 22:2 p z i 3:p z 的 共 轭 复 数 为 1 i 4:p z 的 虚 部 为 1()A2 3,p p()B1 2,p p()C,p p()D,p p【解 析】选 C2 2(1)11(1)(1)iz ii i i 1:2 p z，22:2 p z i，3:p z 的 共 轭 复 数 为 1 i，4:p z 的 虚 部 为 1（4）设1 2F F 是 椭 圆2 22 2:1(0)x yE a ba b 的 左、右 焦 点，P 为 直 线32ax 上 一 点，2 1F P F 是 底 角 为 3 0的 等 腰 三 角 形，则 E 的 离 心 率 为（）()A12()B23()C()D【解 析】选 C2 1F P F 是 底 角 为 3 0的 等 腰 三 角 形2 2 13 32()22 4cP F F F a c c ea（5）已 知 na 为 等 比 数 列，4 72 a a，5 68 a a，则1 1 0a a（）()A 7()B 5()C()D【解 析】选 D4 72 a a，5 6 4 7 4 78 4,2 a a a a a a 或4 72,4 a a 4 7 1 10 1 104,2 8,1 7 a a a a a a 4 7 10 1 1 102,4 8,1 7 a a a a a a（6）如 果 执 行 右 边 的 程 序 框 图，输 入 正 整 数(2)N N 和实 数1 2,.,na a a，输 出,A B，则（）()A A B 为1 2,.,na a a 的 和()B2A B 为1 2,.,na a a 的 算 术 平 均 数()C A 和 B 分 别 是1 2,.,na a a 中 最 大 的 数 和 最 小 的 数()D A 和 B 分 别 是1 2,.,na a a 中 最 小 的 数 和 最 大 的 数【解 析】选 C（7）如 图，网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1，粗 线 画 出 的是 某 几 何 体 的 三 视 图，则 此 几 何 体 的 体 积 为（）()A 6()B 9()C()D【解 析】选 B该 几 何 体 是 三 棱 锥，底 面 是 俯 视 图，高 为 3此 几 何 体 的 体 积 为1 16 3 3 93 2V（8）等 轴 双 曲 线 C 的 中 心 在 原 点，焦 点 在 x 轴 上，C 与 抛 物 线x y 162 的 准 线 交 于,A B两 点，4 3 A B；则 C 的 实 轴 长 为（）()A 2()B 2 2()C()D【解 析】选 C设2 2 2:(0)C x y a a 交 x y 162 的 准 线:4 l x 于(4,2 3)A(4,2 3)B 得：2 2 2(4)(2 3)4 2 2 4 a a a（9）已 知 0，函 数()s i n()4f x x 在(,)2 上 单 调 递 减。则 的 取 值 范 围 是（）()A1 5,2 4()B1 3,2 4()C1(0,2()D(0,2【解 析】选 A5 92(),4 4 4x 不 合 题 意 排 除()D3 51(),4 4 4x 合 题 意 排 除()()B C另：()22，3(),4 2 4 4 2 2x 得：3 1 5,2 4 2 4 2 2 4（1 0）已 知 函 数1()l n(1)f xx x；则()y f x 的 图 像 大 致 为（）【解 析】选 B()l n(1)()1()0 1 0,()0 0()(0)0 xg x x x g xxg x x g x x g x g 得：0 x 或 1 0 x 均 有()0 f x 排 除,A C D（1 1）已 知 三 棱 锥 S A B C 的 所 有 顶 点 都 在 球 O 的 求 面 上，A B C 是 边 长 为 1 的 正 三 角 形，SC 为 球 O 的 直 径，且 2 S C；则 此 棱 锥 的 体 积 为（）()A26()B36()C23()D22【解 析】选 AA B C 的 外 接 圆 的 半 径33r，点 O 到 面 A B C 的 距 离2 263d R r SC 为 球 O 的 直 径 点 S 到 面 A B C 的 距 离 为2 623d 此 棱 锥 的 体 积 为1 1 3 2 6 223 3 4 3 6A B CV S d 另：1 323 6A B CV S R 排 除,B C D（1 2）设 点 P 在 曲 线12xy e 上，点 Q 在 曲 线 l n(2)y x 上，则 P Q 最 小 值 为（）()A 1 l n 2()B 2(1 l n 2)()C 1 l n 2()D 2(1 l n 2)【解 析】选 A函 数12xy e 与 函 数 l n(2)y x 互 为 反 函 数，图 象 关 于 y x 对 称函 数12xy e 上 的 点1(,)2xP x e 到 直 线 y x 的 距 离 为122xe xd设 函 数m i n m i n1 1 1 l n 2()()1()1 l n 22 2 2x xg x e x g x e g x d 由 图 象 关 于 y x 对 称 得：P Q 最 小 值 为m i n2 2(1 l n 2)d 第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分。第 1 3 题 第 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答，第 2 2-第 2 4 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 做 答。二 填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分。（1 3）已 知 向 量,a b 夹 角 为 45，且 1,2 10 a a b；则 _ b【解 析】_ b 3 2222 10(2)10 4 4 c os 45 10 3 2 a b a b b b b(1 4)设,x y 满 足 约 束 条 件：,013x yx yx y；则 2 z x y 的 取 值 范 围 为【解 析】2 z x y 的 取 值 范 围 为 3,3 约 束 条 件 对 应 四 边 形 O A B C 边 际 及 内 的 区 域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C则 2 3,3 z x y（1 5）某 个 部 件 由 三 个 元 件 按 下 图 方 式 连 接 而 成，元 件 1 或 元 件 2 正 常 工 作，且 元 件 3正 常 工 作，则 部 件 正 常 工 作，设 三 个 电 子 元 件 的 使 用 寿 命（单 位：小 时）均 服 从正 态 分 布2(1000,50)N，且 各 个 元 件 能 否 正 常 相 互 独 立，那 么 该 部 件 的 使 用 寿 命超 过 1 0 0 0 小 时 的 概 率 为【解 析】使 用 寿 命 超 过 1 0 0 0 小 时 的 概 率 为38三 个 电 子 元 件 的 使 用 寿 命 均 服 从 正 态 分 布2(1000,50)N得：三 个 电 子 元 件 的 使 用 寿 命 超 过 1 0 0 0 小 时 的 概 率 为12p 超 过 1 0 0 0 小 时 时 元 件 1 或 元 件 2 正 常 工 作 的 概 率2131(1)4P p 那 么 该 部 件 的 使 用 寿 命 超 过 1 0 0 0 小 时 的 概 率 为2 138p p p（1 6）数 列 na 满 足1(1)2 1nn na a n，则 na 的 前 60 项 和 为【解 析】na 的 前 60 项 和 为 1830可 证 明：1 4 1 4 2 4 3 4 4 4 3 4 2 4 2 416 16n n n n n n n n n nb a a a a a a a a b 1 1 2 3 4 1515 1410 10 15 16 18302b a a a a S 三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知,a b c 分 别 为 A B C 三 个 内 角,A B C 的 对 边，c os 3 s i n 0 a C a C b c（1）求 A（2）若 2 a，A B C 的 面 积 为 3；求,b c。【解 析】（1）由 正 弦 定 理 得：c os 3 s i n 0 s i n c os 3 s i n s i n s i n s i n a C a C b c A C A C B C s i n c os 3 s i n s i n s i n()s i n13 s i n c os 1 s i n(30)230 30 60A C A C a C CA A AA A（2）1s i n 3 42S bc A bc 2 2 22 c os 4 a b c bc A b c 解 得：2 b c（l f x l b y）1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）某 花 店 每 天 以 每 枝 5 元 的 价 格 从 农 场 购 进 若 干 枝 玫 瑰 花，然 后 以 每 枝 10 元 的 价 格 出 售，如 果 当 天 卖 不 完，剩 下 的 玫 瑰 花 作 垃 圾 处 理。（1）若 花 店 一 天 购 进 16 枝 玫 瑰 花，求 当 天 的 利 润 y(单 位：元)关 于 当 天 需 求 量 n（单 位：枝，n N）的 函 数 解 析 式。（2）花 店 记 录 了 1 0 0 天 玫 瑰 花 的 日 需 求 量（单 位：枝），整 理 得 下 表：以 1 0 0 天 记 录 的 各 需 求 量 的 频 率 作 为 各 需 求 量 发 生 的 概 率。（i）若 花 店 一 天 购 进 16 枝 玫 瑰 花，X 表 示 当 天 的 利 润（单 位：元），求 X 的 分 布 列，数 学 期 望 及 方 差；（i i）若 花 店 计 划 一 天 购 进 1 6 枝 或 1 7 枝 玫 瑰 花，你 认 为 应 购 进 1 6 枝 还 是 1 7 枝？请 说 明 理 由。【解 析】（1）当 16 n 时，16(10 5)80 y 当 15 n 时，5 5(16)10 80 y n n n 得：10 80(15)()80(16)n ny n Nn（2）（i）X 可 取 60，70，8 0(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7 P X P X P X X 的 分 布 列 为X 60 70 8 0P 0.1 0.2 0.76 0 0.1 7 0 0.2 8 0 0.7 7 6 E X 2 2 216 0.1 6 0.2 4 0.7 44 D X（i i）购 进 1 7 枝 时，当 天 的 利 润 为(14 5 3 5)0.1(15 5 2 5)0.2(16 5 1 5)0.16 17 5 0.54 76.4 y 7 6.4 7 6 得：应 购 进 1 7 枝（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中，112A C B C A A，D 是 棱1A A 的 中 点，B D D C 1（1）证 明：B C D C 1（2）求 二 面 角1 1C B D A 的 大 小。【解 析】（1）在 R t D A C 中，A D A C 得：45 A D C 同 理：1 1 145 90 A D C C D C 得：1 1 1,D C D C D C B D D C 面1B C D D C B C（2）1 1,D C B C C C B C B C 面1 1A C C A B C A C 取1 1A B 的 中 点 O，过 点 O 作 O H B D 于 点 H，连 接1 1,C O C H1 1 1 1 1 1 1A C B C C O A B，面1 1 1A B C 面1A B D1C O 面1A B D1O H B D C H B D 得：点 H 与 点 D 重 合且1C D O 是 二 面 角1 1C B D A 的 平 面 角设 A C a，则122aC O，1 1 12 2 30 C D a C O C D O 既 二 面 角1 1C B D A 的 大 小 为 30（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）设 抛 物 线2:2(0)C x py p 的 焦 点 为 F，准 线 为 l，A C，已 知 以 F 为 圆 心，F A 为 半 径 的 圆 F 交 l 于,B D 两 点；（1）若090 B F D，A B D 的 面 积 为 2 4；求 p 的 值 及 圆 F 的 方 程；（2）若,A B F 三 点 在 同 一 直 线 m 上，直 线 n 与 m 平 行，且 n 与 C 只 有 一 个 公 共 点，求 坐 标 原 点 到,m n 距 离 的 比 值。【解 析】（1）由 对 称 性 知：B F D 是 等 腰 直 角，斜 边 2 B D p 点 A 到 准 线 l 的 距 离 2 d F A F B p 14 2 4 2 22A B DS B D d p 圆 F 的 方 程 为2 2(1)8 x y（2）由 对 称 性 设200 0(,)(0)2xA x xp，则(0,)2pF点,A B 关 于 点 F 对 称 得：2 22 2 0 00 0(,)32 2 2x x pB x p p x pp p 得：3(3,)2pA p，直 线332 2:3 02 2 3p pp pm y x x yp 223 322 3 3x xx py y y x pp p 切 点3(,)3 6p pP直 线3 3 3:()3 06 3 3 6p pn y x x y p 坐 标 原 点 到,m n 距 离 的 比 值 为3 3:32 6p p。（l f x l b y）（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数()f x 满 足 满 足1 21()(1)(0)2xf x f e f x x；（1）求()f x 的 解 析 式 及 单 调 区 间；（2）若21()2f x x ax b，求(1)a b 的 最 大 值。【解 析】（1）1 2 11()(1)(0)()(1)(0)2x xf x f e f x x f x f e f x 令 1 x 得：(0)1 f 1 2 11()(1)(0)(1)1(1)2xf x f e x x f f e f e 得：21()()()12x xf x e x x g x f x e x()1 0()xg x e y g x 在 x R 上 单 调 递 增()0(0)0,()0(0)0 f x f x f x f x 得：()f x 的 解 析 式 为21()2xf x e x x 且 单 调 递 增 区 间 为(0,)，单 调 递 减 区 间 为(,0)（2）21()()(1)02xf x x ax b h x e a x b 得()(1)xh x e a 当 1 0 a 时，()0()h x y h x 在 x R 上 单 调 递 增x 时，()h x 与()0 h x 矛 盾 当 1 0 a 时，()0 l n(1),()0 l n(1)h x x a h x x a 得：当 l n(1)x a 时，m i n()(1)(1)l n(1)0 h x a a a b 2 2(1)(1)(1)l n(1)(1 0)a b a a a a 令2 2()l n(0)F x x x x x；则()(1 2 l n)F x x x()0 0,()0 F x x e F x x e 当 x e 时，m a x()2eF x 当 1,a e b e 时，(1)a b 的 最 大 值 为2e请 考 生 在 第 2 2,2 3,2 4 题 中 任 选 一 题 做 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分，做 答 时 请 写 清 题 号。（2 2）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲如 图，,D E 分 别 为 A B C 边,A B A C 的 中 点，直 线 D E 交A B C 的 外 接 圆 于,F G 两 点，若/C F A B，证 明：（1）C D B C；（2）B C D G B D【解 析】（1）/C F A B，/D F B C C F B D A D C D B F/C F A B A F B C B C C D（2）/B C G F B G F C B D/B C G F G D E B G D D B C B D C B C D G B D（2 3）本 小 题 满 分 1 0 分)选 修 4 4；坐 标 系 与 参 数 方 程已 知 曲 线1C 的 参 数 方 程 是)(3s i n y2c os x为参数，以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴为 极 轴 建 立 坐 标 系，曲 线2C 的 坐 标 系 方 程 是 2，正 方 形 A B C D 的 顶 点 都 在2C 上，且,A B C D 依 逆 时 针 次 序 排 列，点 A 的 极 坐 标 为(2,)3（1）求 点,A B C D 的 直 角 坐 标；（2）设 P 为1C 上 任 意 一 点，求2 2 2 2P A P B P C P D 的 取 值 范 围。【解 析】（1）点,A B C D 的 极 坐 标 为5 4 11(2,),(2,),(2,),(2,)3 6 3 6 点,A B C D 的 直 角 坐 标 为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设0 0(,)P x y；则002c os()3s i nxy 为 参 数2 2 2 22 24 4 4 0 t P A P B P C P D x y 256 20 s i n 56,76（l f x l b y）（2 4）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4 5：不 等 式 选 讲已 知 函 数()2 f x x a x（1）当 3 a 时，求 不 等 式()3 f x 的 解 集；（2）若()4 f x x 的 解 集 包 含 1,2，求 a 的 取 值 范 围。【解 析】（1）当 3 a 时，()3 3 2 3 f x x x 23 2 3xx x 或2 33 2 3xx x 或33 2 3xx x 1 x 或 4 x（2）原 命 题()4 f x x 在 1,2 上 恒 成 立2 4 x a x x 在 1,2 上 恒 成 立2 2 x a x 在 1,2 上 恒 成 立3 0 a