2013甘肃考研数学一真题及答案.pdf

2 0 1 3 甘 肃 考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）已 知 极 限0a r c t a nl i mkxx xcx，其 中,c k 为 常 数，且 0 c，则（）（A）12,2k c（B）12,2k c（C）13,3k c（D）13,3k c（2）曲 面2c os()0 x x y y z x 在 点(0,1,1)处 的 切 平 面 方 程 为（）（A）2 x y z（B）2 x y z（C）2 3 x y z（D）0 x y z（3）设1()2f x x，102()s i n(1,2,.)nb f x n x dx n，令1()s i nnnS x b n x，则9()4S（）（A）34（B）14（C）14（D）34（4）设2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4:1,:2,:2 2,:2 2,l x y l x y l x y l x y 为 四 条 逆 时 针 的 平面 曲 线，记3 3()(2)(1,2,3,4)6 3iily xI y dx x dy i，则()iM A X I()（A）1I（B）2I（C）3I（D）3I（5）设 矩 阵 A,B,C 均 为 n 阶 矩 阵，若,B A B C 则 可 逆，则（A）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 A 的 行 向 量 组 等 价（B）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵 A 的 列 向 量 组 等 价（C）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 行 向 量 组 等 价（D）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 列 向 量 组 等 价（6）矩 阵1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为（A）a 0,b 2（B）为任意常数 b a,0（C）0,2 b a（D）为任意常数 b a,2（7）设1 2 3X X X，是 随 机 变 量，且2 21 2 3 N(0,1)N(5,3)X N，X 0,2），X,2 2(1,2,3),j jP P X j 则（）（A）1 2 3P P P（B）2 1 3P P P（C）3 1 2P P P（D）1 3 2P P P（8）设 随 机 变 量(),(1,),X t n Y F n 给 定(0 0.5),a a 常 数 c 满 足 P X c a,则2 P Y c（）（A）（B）1（C）2（D）1 2 二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分，请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.(9)设 函 数()f x 由 方 程(1)x yy x e 确 定，则1l i m()1)nn fn(1 0)已 知3 21x xy e x e，22x xy e x e，23xy x e 是 某 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程的 3 个 解，该 方 程 的 通 解 为 y(1 1)设s i ns i n c osx ty t t t（t 为 参 数），则224td ydx(1 2)21l n(1)xdxx（1 3）设i jA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，i jA 为i ja 的 代 数 余 子 式，若i j i ja A 0(i,j 1,2,3),_ A 则（1 4）设 随 机 变 量 Y 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布,a 为 常 数 且 大 于 零，则 1|P Y a Y a _ _ _ _ _ _ _ _。三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）计 算10(),f xdxx其 中1l n(1)()xtf x dtt（1 6）（本 题 满 分 1 0 分）设 数 列 na 满 足 条 件：0 1 23,1,(1)0(2),n na a a n n a n()S x 是 幂 级 数0nnna x的和 函 数，（I）证 明：()()0 S x S x,（I I）求()S x 的 表 达 式.（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）求 函 数3(,)()3x yxf x y y e 的 极 值.（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）设 奇 函 数()f x 在-1,1 上 具 有 2 阶 导 数，且(1)1,f 证 明：（I）存 在(0,1),()1 f 使 得（I I）存 在 1,1，使 得()()1 f f（1 9）（本 题 满 分 1 0 分）设 直 线 L 过(1,0,0),(0,1,1)A B 两 点，将 L 绕 Z 轴 旋 转 一 周 得 到 曲 面,与 平 面 0,2 z z 所 围 成 的 立 体 为，（I）求 曲 面 的 方 程（I I）求 的 形 心 坐 标.（2 0）（本 题 满 分 1 1 分）设1 0 1,1 0 1aA Bb，当,a b 为 何 值 时，存 在 矩 阵 C 使 得 A C C A B，并 求 所 有矩 阵 C。（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3,2 f x x x a x a x a x b x b x b x，记1 12 23 3,a ba ba b。（I）证 明 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵 为 2T T；（I I）若,正 交 且 均 为 单 位 向 量，证 明 二 次 型 f 在 正 交 变 化 下 的 标 准 形 为 二 次 型2 21 22 y y。（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为210 3()40 x xf x 其 他，令 随 机 变 量2 11 21 2xY x xx,（I）求 Y 的 分 布 函 数（I I）求 概 率 P X Y（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 23,0,0,.xe xf xx 其 它其 中 为 未 知 参 数 且 大 于 零，1 2,NX X X，为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本.（1）求 的 矩 估 计 量；（2）求 的 最 大 似 然 估 计 量.2 0 1 3 年 全 国 硕 士 研 究 生 入 学 统 一 考 试数 学 一 试 题 答 案一、选 择 题：1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分，下 列 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.（1）已 知 极 限0a r c t a nl i mkxx xcx，其 中,c k 为 常 数，且 0 c，则（）（A）12,2k c（B）12,2k c（C）13,3k c（D）13,3k c【答 案】D【解 析】3 3 30 0 01 1()a r c t a n 13 3l i m l i m l i m,3,3k k kx x xx x x o x xx xc k cx x x（2）曲 面2c os()0 x x y y z x 在 点(0,1,1)处 的 切 平 面 方 程 为（）（A）2 x y z（B）2 x y z（C）2 3 x y z（D）0 x y z【答 案】A【解 析】设2(,)c os()F x y z x x y y z x，则(,)2 s i n()1(0,1,1)1x xF x y z x y x y F；(,)s i n()(0,1,1)1y yF x y z x x y z F；(,)(0,1,1)1z zF x y z y F，所 以 该 曲 面 在 点(0,1,1)处 的 切 平 面 方 程 为(1)(1)0 x y z，化 简 得 2 x y z，选 A（3）设 1(),0,1 2f x x x，102()s i n(1,2,.)nb f x n x dx n，令1()s i nnnS x b n x，则9()4S（）（A）34（B）14（C）14（D）34【答 案】C【解 析】根 据 题 意，将 函 数 在 1,1 上 奇 延 拓1,0 12()1,1 02x xf xx x，它 的 傅 里叶 级 数 为()S x 它 是 以 2 为 周 期 的，则 当(1,1)x 且()f x 在 x 处 连 续 时，()()S x f x，因 此9 9 1 1 1 1()(2)()()()4 4 4 4 4 4S S S S f（4）设2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4:1,:2,:2 2,:2 2,l x y l x y l x y l x y 为 四 条 逆 时 针 的 平面 曲 线，记3 3()(2)(1,2,3,4)6 3iily xI y dx x dy i，则()iM A X I()（A）1I（B）2I（C）3I（D）4IxyO 12【答 案】D【解 析】3 3()(2)(1,2,3,4)6 3iily xI y dx x dy i 22(1)2iDyx dx dy 利 用 二 重 积 分 的 几 何 意 义，比 较 积 分 区 域 以 及 函 数 的 正 负，在 区 域1 4,D D 上 函 数 为 正 值，则 区 域 大，积 分 大，所 以4 1I I，在4D 之 外 函 数 值 为 负，因 此4 2 4 3,I I I I，故 选 D。（5）设 矩 阵 A,B,C 均 为 n 阶 矩 阵，若 A B C，且 C 可 逆，则（）（A）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 A 的 行 向 量 组 等 价（B）矩 阵 C 的 列 向 量 组 与 矩 阵 A 的 列 向 量 组 等 价（C）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 行 向 量 组 等 价（D）矩 阵 C 的 行 向 量 组 与 矩 阵 B 的 列 向 量 组 等 价【答 案】（B）【解 析】由 A B C 可 知 C 的 列 向 量 组 可 以 由 A 的 列 向 量 组 线 性 表 示，又 B 可 逆，故 有1 C B A，从 而 A 的 列 向 量 组 也 可 以 由 C 的 列 向 量 组 线 性 表 示，故 根 据 向 量 组 等 价 的 定 义可 知 正 确 选 项 为（B）。（6）矩 阵1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为（A）0,2 a b（B）为任意常数 b a,0（C）0,2 b a（D）为任意常数 b a,2【答 案】(B)【解 析】由 于1 11 1aa b aa 为 实 对 称 矩 阵，故 一 定 可 以 相 似 对 角 化，从 而1 11 1aa b aa 与2 0 00 b 00 0 0 相 似 的 充 分 必 要 条 件 为1 11 1aa b aa 的 特 征 值 为 0,2 b。又21 1()(2)2 1 1aE A a b a b aa，从 而 为任意常数 b a,0。（7）设1 2 3X X X，是 随 机 变 量，且2 21 2 3 N(0,1)N(5,3)X N，X 0,2），X,2 2(1,2,3),j jP P X j 则（）（A）1 2 3P P P（B）2 1 3P P P（C）3 1 2P P P（D）1 3 2P P P【答 案】（A）【解 析】由 2 21 2 30,1,0,2,5,3 X N X N X N 知，1 1 12 2 2 2 2 1 p P X P X，2 2 22 2 2 2 1 1 p P X P X，故1 2p p.由 根 据 235,3 X N 及 概 率 密 度 的 对 称 性 知，1 2 3p p p，故 选（A）（8）设 随 机 变 量(),(1,),X t n Y F n 给 定(0 0.5),a a 常 数 c 满 足 P X c a,则2 P Y c（）（A）（B）1（C）2（D）1 2【答 案】（C）【解 析】由(),(1,)X t n Y F n 得，2Y X，故 2 2 22 P Y c P X c P X c X c a 或二、填 空 题(9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分 请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上)(9)设 函 数()f x 由 方 程(1)x yy x e 确 定，则1l i m()1)nn fn【答 案】1【解 析】01()1l i m()1)l i m(0)n xf xn f fn x 由(1)x yy x e，当 0 x 时，1 y 方 程 两 边 取 对 数 l n()(1)y x x y 两 边 同 时 对 x 求 导，得 11(1)y y x yy x 将 0 x，1 y 代 入 上 式，得(0)1 f(1 0)已 知3 21x xy e x e，22x xy e x e，23xy x e 是 某 二 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性 微 分 方 程的 3 个 解，该 方 程 的 通 解 为 y【答 案】3 21 2x x xy C e C e x e【解 析】因3 21x xy e x e，22x xy e x e 是 非 齐 次 线 性 线 性 微 分 方 程 的 解，则31 2x xy y e e 是 它 所 对 应 的 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 解，可 知 对 应 的 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通解 为31 2x xpy C e C e，因 此 该 方 程 的 通 解 可 写 为3 21 2x x xy C e C e x e(1 1)设s i ns i n c osx ty t t t（t 为 参 数），则224td ydx【答 案】2【解 析】s i n c os s i n c os,c osdy dxt t t t t t tdt dt，c osc osdy t ttdx t，()1dyddxdt，所 以221c osd ydx t，所 以2242td ydx(1 2)21l n(1)xdxx【答 案】l n 2【解 析】1 21 1 1l n 1 l n 1l n()(1)1 1(1)x xdx x d dxx x x x x 1 11 11 1 1 l n l n(1)l n l n 2(1)1 1xdx dx x xx x x x x（1 3）设i jA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，i jA 为i ja 的 代 数 余 子 式，若i j i ja A 0(i,j 1,2,3),_ A 则【答 案】1【解 析】0i j i ja A 由 可 知，*TA A 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 33 32 21 10i i i i i i j j j j j ji j i jj iA a A a A a A a A a A a Aa a 2*,=-1.TA A A A A 从 而 有 故（1 4）设 随 机 变 量 X 服 从 标 准 正 态 分 布 N(0,1)X,则2()XE X e=_ _ _ _ _ _ _ _。【答 案】22 e【解 析】由 0,1 X N 及 随 机 变 量 函 数 的 期 望 公 式 知 22 12 42 2 22 21 122 2xxX xE X e x e e dx x e dx e.三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）计 算10(),f xdxx其 中1l n(1)()xtf x dtt【解 析】1 1 1 100 0 0l n(1)()1 l n(1)xxtdtf x ttdx dx dx dtt x x x 1 1 10 0 0 0l n(1)1 l n(1)l n(1)2 2tt t tdt dx t dt dtt t x t 1 1100 01 120 021 12 20 0104 l n(1)4 l n(1)14 l n 2 4 4 l n 2 4 21 11 1 14 l n 2 8 4 l n 2 8 11 14 l n 2 8 a r c t a n 4 l n 2 8(1)4 l n 2 8 24tt d t t t dttt udt udut uudu duu uu u（1 6）（本 题 满 分 1 0 分）设 数 列 na 满 足 条 件：0 1 23,1,(1)0(2),n na a a n n a n()S x 是 幂 级 数0nnna x的和 函 数，（I I I）证 明：()()0 S x S x,（I V）求()S x 的 表 达 式.【解 析】（I）设0()nnnS x a x，11()nnnS x a nx，22()(1)nnnS x a n n x，因 为2(1)0n na n n a，因 此2 222 2 0()(1)()n n nn n nn n nS x a n n x a x a x S x；（I I）方 程()()0 S x S x 的 特 征 方 程 为21 0，解 得1 11,1，所 以1 2()x xS x c e c e，又0 1 2(0)3 3 a S c c，1 1 2(0)1 1 a S c c，解 得1 22,1 c c，所 以()2x xS x e e。1 7（本 题 满 分 1 0 分）求 函 数3(,)()3x yxf x y y e 的 极 值.【解 析】3 32 23 3()(+y+)03 3()(1+y+)03 3x y x y x yxx y x y x yyx xf x e y e x ex xf e y e e 解 得4 2(1,),(1,)3 3，3 32 2 23 32 23 3(2)()(+2 2+)3 3+()=(+1)3 3(1)(+2)3 3x y x y x yx xx y x y x yx yx y x y x yy yx xA f x x e x y e x x y ex xB f e x y e x y ex xC f e y e y e 对 于4(1,)3 点，1 1 123 3 33,0,0,A e B e C e A C B A 4(1,)3 为 极 小 值 点，极 小 值 为13e对 于2(1,)3，5 5 523 3 3,=0 A e B e C e A C B,不 是 极 值.（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）设 奇 函 数()f x 在-1,1 上 具 有 2 阶 导 数，且(1)1,f 证 明：（I I I）存 在(0,1),()1 f 使 得（I V）存 在 1,1，使 得()()1 f f【解 析】（1）令()(),(0)(0)0,(1)(1)1 0,F x f x x F f F f 则 0,1 使 得()0,()1 F f 即（2）令()()1),xG x e f x 则()0,G 又 由 于()f x 为 奇 函 数，故()f x 为 偶 函 数，可 知()0 G,则,1,1 使()0,G 即()1()0 e f e f，即()()1 f f（1 9）（本 题 满 分 1 0 分）设 直 线 L 过(1,0,0),(0,1,1)A B 两 点，将 L 绕 Z 轴 旋 转 一 周 得 到 曲 面,与 平 面 0,2 z z 所 围 成 的 立 体 为，（I I I）求 曲 面 的 方 程（I V）求 的 形 心 坐 标.【解 析】（1）l 过,A B 两 点，所 以 其 直 线 方 程 为：11 0 01 1 1x zx y zy z 所 以 其 绕 着 z 轴 旋 转 一 周 的 曲 面 方 程 为：2 22 2 2 2 21 3(1)()2 2 4x yx y z z z（2）由 形 心 坐 标 计 算 公 式 可 得22 2022 20(1)75(1)z dx dy dzz z z dzzdx dy dzz z dz，所 以 形 心坐 标 为7(0,0,)5（2 0）（本 题 满 分 1 1 分）设1 0 1,1 0 1aA Bb，当,a b 为 何 值 时，存 在 矩 阵 C 使 得 A C C A B，并 求 所 有矩 阵 C。【解 析】由 题 意 可 知 矩 阵 C 为 2 阶 矩 阵，故 可 设1 23 4x xCx x，则 由 A C C A B 可 得 线性 方 程 组：2 31 2 41 3 42 3011x axax x axx x xx ax b（1）0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 11 0 1 1 0 1 0 1 0 11 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 00 1 0 0 1 0 0 1 01 0 1 1 10 1 0 10 0 0 0 10 0 0 0 1aa a a a a aa aa b a b a ba aab a 由 于 方 程 组（1）有 解，故 有 1 0,1 0 a b a，即 1,0,a b 从 而 有0 1 0 0 1 0 1 1 11 0 1 0 1 1 0 01 0 1 1 1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0aa aa b，故 有1 1 22 11 23 14 21,.x k kx kk kx kx k 其 中、任 意从 而 有1 2 11 21 k k kCk k（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型 2 21 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3,2 f x x x a x a x a x b x b x b x，记1 12 23 3,a ba ba b。（I）证 明 二 次 型 f 对 应 的 矩 阵 为 2T T；（I I）若,正 交 且 均 为 单 位 向 量，证 明 二 次 型 f 在 正 交 变 化 下 的 标 准 形 为 二 次 型2 21 22 y y。【解 析】(1)2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 1 2 1 21 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3(2)(2)(2)(4 2)(4)(4 2)f a b x a b x a b x a a b b x xa a b b x x a a b b x x 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1 32 2 2 21 2 1 2 2 2 2 3 2 3 1 2 2 2 3 1 2 2 2 32 2 2 21 3 1 3 2 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3 1 3 2 3 32 2 22 2 2 22 2 22T Ta b a a b b a a b b a a a a a b b b b bf a a b b a b a a b b a a a a a b b b b ba a b b a a b b a b a a a a a b b b b b 则 的 矩 阵 为（2）,2,T T T T T TA A 令 A=2 则 2 2，则1,2 均 为 A 的 特 征 值，又 由 于()(2)()()2T T T Tr A r r r，故 0 为 A的 特 征 值，则 三 阶 矩 阵 A 的 特 征 值 为 2,1,0，故 f 在 正 交 变 换 下 的 标 准 形 为2 21 22 y y（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设 随 机 变 量 的 概 率 密 度 为210 3()40 x xf x 其 他，令 随 机 变 量2 11 21 2xY x xx,（I）求 Y 的 分 布 函 数（I I）求 概 率 P X Y【解 析】（1）YF y P Y y 由 Y 的 概 率 分 布 知，当 1 y 时，0YF y；当 2 y 时，1YF y；当 1 2 y 时，1 1 1 1 YF y P Y y P Y P Y y P Y P X y=32 22 11 1 2 1 9 9yP X P X y x dx x dx 31(18)27y(2)8,1,1 2,2 27P X Y P X Y X P X Y X P X Y X（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 23,0,0,.xe xf xx 其 它其 中 为 未 知 参 数 且 大 于 零，1 2,NX X X，为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本.（1）求 的 矩 估 计 量；（2）求 的 最 大 似 然 估 计 量.【解 析】(1)230 0()()x xE X x f x dx x e dx e dx x，令 E X X，故 矩 估 计 量 为 X.(2)223 31 1110 0()(;)0 0i in nx x nni ii i i i iie x e xL f xx x 其 他 其 他当 0ix 时，1 11l n()2 l n 3 l nn nii iiL n xx 令1l n()2 10niid L nd x，得121ni inx，所 以 得 极 大 似 然 估 计 量=121ni inx.