解析几何知识归纳与题型_中学教育-高考.pdf

名师总结 精品知识点 必修 2部分-直线与圆 一、知识点整理 1.直线的倾斜角与斜率的概念 2求斜率的两种方法 定义:tanka=，(0000180,9090,0)；斜率公式:直线经过两点()()1122,x yxy，1212yykxx-=-3直线方程的几种形式:点斜式_,斜截式_，适用范围_，两点式_;截距式_，适用范围_ 一般式:，适用所有的直线 几种特殊的直线方程 与x轴垂直的直线_;与y轴垂直的直线_；过原点(不包括坐标轴)的直线_；在两坐标轴上截距相等的直线方程：xyaykx 或；在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程：（xyaykx 或 4两条直线的位置关系(一)：已知直线111:lyk xb=+,222:lyk xb=+（斜率k存在）1l与2l相交_；1l与2l平行_；1l与2l重合_；21ll_.5两条直线的位置关系(二)已知直线11110lAxB yC+=：,22220lA xB yC+=：则 1/l2l_；21ll_ 6点()00 xy，到直线0lAxByC+=：的距离d _ 平行直线110lAxByC：+=和220lAxByC：+=间的距离为d=_ 7.直线系：已知直线0lAxByC：名师总结 精品知识点（1）过定点的直线系方程：00(,)P xy为定值，k为参数00()yyk xx （2）平行与垂直直线系：与l平 行 的 直 线 系：0AxBym；与l垂 直 的 直 线 系：0BxAym （3）过12,l l交点的直线系：111222()0AxB yCA xB yC（不含2l）8.对称（1）点关于点对称：11(,)P x y关于00(,)M xy）的对称点0101(2,2)Pxxyy（2）点关于线的对称：设(,)P a b 对称轴 对称点P 对称轴 对称点p x轴(,)P ab yx (,)Pba y轴(,)Pa b (0)xm m(2,)Pma b yx(,)P b a(0)xn n(,2)P anb yxm (,)P bm am yxm (,)P mbam 9判断直线与圆的位置关系的方法.(1)代数法:由直线方程与圆的方程联立消元得一元二次方程利用求解;(2)几何法:由圆心到直线距离d与半径r比较大小来判断.10圆()()222xaybr-+-=的切线问题(1)切 点 已 知：与 圆222ryx相 切 于 点()00P xy，的 切 线 方 程 是200 x xy yr；与圆222)()(rbyax相切于点()00P xy，的切线方程为：200()()()()xaxaybybr 斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点(2)切点未知：()00P xy，为圆外的一点，求过P的切线方程（两条切线）：设点斜式，由圆心到直线距离d等于半径求出k值（注意：应考虑斜率不存在的情况）11圆的弦长公式：弦长222()ABrd 12 两 圆 的 位 置 关 系：圆1C:()()222111xaybr-+-=；圆2C:()()222222xaybr-+-=相 离 12C C12rr+外 切12C C12rr=+相 交12rr12C C12rr+内切12C C=12rr 内含120C C12rr 13.过两圆221111:0CxyD xE yF和222222:0CxyD xE yF的交点的圆系方程为2222111222()0 xyD xE yFxyD xE yF（不含 C2），其中1 为参数）若 C1 与 C2 相交，则两方程相减（即1）所得一次方程就是公共弦所在直线方程。二、基本题型训练 题型 1 直线的倾斜角与斜率的运算 1.直线l斜率的绝对值3，则l的倾斜角是_ 2.过点(3 10)PQm，），（，的直线的倾斜角的范围为0060,30，则m的取值范围是 .3.若三点 A（-2，3），B（3，-2）,C（21，m）共线，求 m 的值。斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 4.已知ABC三顶点的坐标为 A（2，1），B（-1，1），C(1,3)，试求ABC三条高所在直线的斜率。5.已知直线l过点 P（-1，2），且与以 A（-2，-3）、B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围。题型 2 求直线方程 1.过点(1,2)A作直线l，使它在两坐标轴上截距的绝对值相等，则l的方程为 .2.与直线2350 xy 平行，且在两坐标轴上截距之和为56的直线方程为 .3.过 点(3,1)P，且 与 两 点(2,3),(4,5)AB距 离 相 等 的 直 线 方 程为 .4.直线 y=mx-3m+2(mR)必过定点_ 5.求经过点（0，-1），倾斜角为 600的直线方程，并化为一般式。6.求倾斜角是直线13 xy的倾斜角的一半，且过点（-4，1）的直线方程。斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 7.已知三角形的三个顶点为 A（-3，0）、B（2，-2）、C（0，1）求这个三角形三边所在的直线方程。题型 3 两直线的位置关系 1.已知直线12:60,:(2)320lxmylmxym 平行，则实数m的值为 .2.已知直线1:320lkxyk 与直线2:440lxy 的交点在第一象限，则k .3.求经过点 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线l的方程。4.已知直线l:5ax-5y-a+3=0 (1)求证：不论 a 为何值，直线l总过第一象限。(2)为使直线l不过第二象限，求 a 的取值范围。题型 4 距离 斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 1.原点到直线052 yx的距离为（）A1 B3 C2 D5 2.圆22:2440C xyxy 的 圆 心 到 直 线3440 xy 的 距 离d _。3.已知直线:40l xy 与圆 22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_。4.平行于直线03yx，且与其距离为 3 的直线为l，求直线l的方程。题型 5 对称及其应用 1.直 线1:230lxy关 于 直 线:10l xy 的 对 称 直 线 方 程为 .2.已知点(3,4),(1,5),ABP是直线:240l xy 上的动点，则PAPB的最小值为 .题型 6 求圆的方程 1.圆心为(11)，且与直线4xy 相切的圆的方程是 2.已知圆 C 过点（1,0），且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l：1yx 被该圆所截得的弦长为2 2，则圆 C 的标准方程为 .3.已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。4.写出下列各圆的方程：（1）圆心在原点，半径为 5；（2）经过点 P（5，1），圆心在点 C（6，-2）；（3）以 A（2，5），B（0，-1）为直径的两端点。（4）过三点 A（2，-2），B（5，-3），C（3，-1）斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 5.说出下列方程表示什么图形。222221)3()2(8)1)(2(0)1(xyyxyx 题型 7 直线与圆的位置关系 1.直线0234 yx与圆36)5()3(22yx的位置关系是_ 2.直线02 yx被圆015622yxyx截得的弦长等于_ 3.直线)0(aay与圆9)1()1(22yx相切时，则 a=_ 4 直线:(21)(1)740()lmxmymmR 与圆22:(1)(2)25Cxy的位置关系是 ；当l被圆C截得弦长最短时，l的方程为 .5.求过点 M（5，2），N（3，2），且圆心在直线32 xy上的圆的方程。6.求过点 A（3，1）和圆1)2(22yx相切的切线方程。7.直线l经过点 P（5，5），且和圆 C：2522yx相交，截得弦长为54，求直线l的方程。题型 8 圆与圆的位置关系 1.两圆096892222yxyxyx和的位置关系是_ 2 已知两圆222(1)(1)xyr和222(2)(2)xyR相交于PQ，两点 若斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 P点的坐标为（1，2），则PQ的长为_；直线PQ的方程为 .3.求经过两圆22640 xyx 和226280 xyy的交点，且圆心在直线:40l xy 上的圆的方程.三、高考链接 1（2010 安徽文数）过点（1，0）且与直线 x-2y-2=0平行的直线方程是（）（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0 2(07 全国)圆01222xyx关于直线032yx对称的圆的方程是（）21)2()3(22yx 21)2()3(22yx 2)2()3(22yx 2)2()3(22yx 3（08 安徽卷 10）若过点(4,0)A的直线l与曲线22(2)1xy有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A 3,3 B(3,3)C33,33 D33(,)33 4（08广东卷 6）经过圆2220 xxy的圆心 C，且与直线0 xy 垂直的直线方程是（）A、10 xy B、10 xy C、10 xy D、10 xy 5.（08 山东卷 11）若圆C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线430 xy和x斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 轴相切，则该圆的标准方程是（）A227(3)13xy B22(2)(1)1xy C22(1)(3)1xy D223(1)12xy 6.（08 陕西卷 5）直线30 xym 与圆22220 xyx 相切，则实数m等于（）A3或3 B3或3 3 C3 3或3 D3 3或3 3 7.（08 四川卷 6）直线3yx绕原点逆时针旋转090，再向右平移个单位，所得到的直线为()（）1133yx （）113yx （）33yx （）113yx 8.（08 天津卷 15）已知圆C的圆心与点(21)P，关于直线1yx 对称直线34110 xy 与 圆C相 交 于A B，两 点，且6AB，则 圆C的 方 程为 9.（08 重庆卷 15）已知圆C：22230 xyxay（a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0的对称点都在圆C上，则a=.10.（2010 湖南文）若不同两点 P,Q 的坐标分别为（a，b），（3-b，3-a），则线段 PQ的垂直平分线 l 的斜率为 ,圆（x-2）2+（y-3）2=1 关于直线对称的圆的方程为 11.已知圆心在 x 轴上，半径为2的圆 O 位于 y 轴左侧，且与直线 x+y=0 相切，则圆 O 的方程是 12.（08 湖南卷 14）将圆122yx沿 x 轴正向平移 1 个单位后所得到圆 C，则圆斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 C 的方程是_,若过点（3，0）的直线l和圆 C 相切，则直线l的斜率为_.13.（08 福建卷 14）若直线 3x+4y+m=0 与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公共点，则实数m的取值范围是 .14.（08 四川卷 14）已知直线:40l xy 与圆 22:112Cxy，则C上各点到l的距离的最小值为_。15.（2010 四川理数 14）直线250 xy 与圆228xy相交于 A、B 两点，则AB .16.（2010 江苏卷 9）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆422yx上有且仅有四个点到直线 12x-5y+c=0 的距离为 1，则实数 c 的取值范围是_ 四、直线与圆易错题【例 1】已知直线2121/,023)2(:6:llayxalayxl则和的充要条件是a=.【错解分析】此题容易错填为-1，3，主要是没有注意到两直线重合的情况。【解题指导】21/ll的充要条件是01221BABA且01221 CACA.答案：1a 【例2】直线 l 经过 P（2,3）,且在 x,y 轴上的截距相等,试求该直线方程.【错误分析】：设直线方程为:1byax,又过 P(2,3),132ba,求得 a=5 直线方程为 x+y-5=0.【解析】在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203k,直线方程为 y=23x 综上可得:所求直线方程为 x+y-5=0 或 y=23x.【易错点点睛】直线方程的截距式:1byax的条件是:a0 且 b0,本题忽略了斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 0ab 这一情形.【例 3】自点 A(-3，3)发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+70 相切，求光线 L所在的直线方程.【错误分析】：设反射光线为 L,由于 L和 L关于 x 轴对称，L过点 A(-3，3)，点A关于 x 轴的对称点 A(-3，-3)，于是 L过 A(-3，-3).设 L的斜率为 k，则 L的方程为 y-(-3)k x-(-3)，即 kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心 O的坐标为(2，2)，半径 r1 因 L和已知圆相切，则 O到 L的距离等于半径 r1 即22|2233|55|111kkkkk 整理得 12k2-25k+120 解得k34 L的方程为y+334(x+3)即4x-3y+30 因L 和L关于x 轴对称故 L 的方程为 4x+3y+30.【答案】4x+3y+30 或 3x+4y-30【解析】设反射光线为 L,由于 L 和 L关于 x 轴对称，L 过点 A(-3，3)，点 A关于 x 轴的对称点 A(-3，-3)，于是 L过 A(-3，-3).设 L的斜率为 k，则L的方程为y-(-3)k x-(-3)，即kx-y+3k-30，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)21，圆心 O的坐标为(2，2)，半径 r1 因 L和已知圆相切，则 O到 L的距离等于半径 r1 即22|2233|55|111kkkkk 整理得12k2-25k+120 解得k34或k43 L的方程为 y+334(x+3);或 y+343(x+3)。即 4x-3y+30 或 3x-4y-30 因 L和 L关于 x 轴对称故 L的方程为 4x+3y+30 或 3x+4y-30.【易错点点睛】本题是对称问题，设计新颖，基础性强如何处理直线与圆，对称问题，成为解决本题的关键.【例 4】若圆22240 xyxya 关于直线2yxb成轴对称，则ab的范围是 .【错解分析】此题容易错填为,1，错误原因是对二元二次方程表示圆的充要条斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条名师总结 精品知识点 件:2240DEF误以为2240DEF。【解 题 指 导】圆 心（-1，2）在 直 线2yxb上，所 以b=4，又22240 xyxya 表示圆的充要条件是4 1640a 所以5a.答案：,1 斜率公式直线经过两点直线方程的几种形式点斜式斜截式适用范围两点式截距式适用范围一般式适用所有的直线几种特殊的直线方程与轴垂直的直线与轴垂直的直线过原点不包括坐标轴的直线在两坐标轴上截距相等的直线方程或在的位置关系二已知直线则点到直线的距离平行直线和间的距离为直线系已知直线名师总结精品知识点过定点的直线系方程为定值为参数平行与垂直直线系与平行的直线系与垂直的直线系过交点的直线系不含对称点关于点对称关于的的方程联立消元得一元二次方程利用求解几何法由圆心到直线距离与半径比较大小来判断圆的切线问题切点已知与圆相切于点的切线方程是与圆相切于点的切线方程为名师总结精品知识点切点未知为圆外的一点求过的切线方程两条