解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案_中学教育-中考.pdf

名师总结 优秀知识点 解三角形【考纲说明】1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题【知识梳理】一、正弦定理 1、正弦定理：在ABC 中，RCcBbAa2sinsinsin（R 为ABC 外接圆半径）。2、变形公式：（1）化边为角：2 sin,2 sin,2 sin;aRA bRB cRC （2）化角为边：sin,sin,sin;222abcABCRRR （3）:sin:sin:sina b cABC （4）2sinsinsinsinsinsinabcabcRABCABC.3、三角形面积公式：21111sinsinsin2sin sin sin22224ABCabcSahabCacBbcARABCR 4、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）二、余弦定理 1、余弦定理：Abccbacos2222bcacbA2cos222 Bacacbcos2222cabacB2cos222 Cabbaccos2222abcbaC2cos222 2、余弦定理可以解决的问题：名师总结 优秀知识点 北 东 hil （1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：（3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角.（解可能不唯一）三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图 1）.图 1 图 2 图 3 图 4 2、方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为（如图 2）.3、方向角 相对于某一正方向的水平角（如图 3）.4、坡角：坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角（如图 4）.坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度（或坡比）【经典例题】1、（2012 天津理）在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是,a b c,已知8=5bc,=2CB,则cosC（）A725 B725 C725 D2425【答案】A【解析】85,bc由正弦定理得8sin5sinBC，又2CB，8sin5sin 2BB，所以8sin10sincosBBB，易知247sin0,cos,coscos 22cos1525BBCBB .2、（2009 广东文）已知ABC中，CBA,的对边分别为,a b c若62ac 且75A o，则b 北 东 南 西 B 目标 lh 定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 ()A2 B42 3 C42 3 D62【答案】A【解析】000000026sinsin75sin(3045)sin30 cos 45sin45 cos304A 由62ac 可知,075C,所以030B,1sin2B 由正弦定理得261sin2sin2264abBA,故选 A 3、（2011 浙江）在ABC中，角,A B C所对的边分,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB()A-12 B12 C-1 D 1【答案】D【解析】BbAasincos，BAA2sincossin，1cossincoscossin222BBBAA.4、（2012 福建文）在ABC中,已知60,45,3BACABCBC ,则AC _.【答案】2 【解析】由正弦定理得32sin45sin60ACAC 5、（2011 北京）在ABC中，若15,sin43bBA ，则a .【答案】325【解析】：由正弦定理得sinsinabAB又15,sin43bBA 所以55 2,13sin34aa 6、（2012 重庆理）设ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c,且35cos,cos,3,513ABb则c _【答案】145c 定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点【解析】由35412cos,cossin,sin513513ABAB,由正弦定理sinsinabAB得43sin13512sin513bAaB,由余弦定理2222142cos259056 05acbbcAccc 7、（2011 全国）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.己知sincsin2 sinsinaACaCbB.（I）求 B；（）若075,2,Abac求，.【解析】（I）由正弦定理得2222acacb 由余弦定理得2222cosbacacB.故2cos2B，因此45B （II）sinsin(3045)Asin30 cos 45cos30 sin 45264 故sin2613sin2AabB sinsin6026sinsin45CcbB .8、（2012 江西文）ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC.（1）求 cosA;（2）若 a=3,ABC 的面积为2 2,求 b,c.【解析】（1）3(coscossinsin)16coscos3coscos3sinsin13cos()11cos()3BCBCBCBCBCBCA 则1cos3A.（2）由（1）得2 2sin3A,由面积可得 bc=6,则根据余弦定理 2222291cos2123bcabcAbc 则2213bc,定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 两式联立可得32ba或32ab.9、（2011 安徽）在ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，a=3，b=2，12cos()0BC，求边 BC 上的高.【解析】：ABC180，所以 BCA，又12cos()0BC，12cos(180)0A，即1 2cos0A，1cos2A，又 0 A180，所以 A60.在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB得sin2sin602sin23bABa，又ba，所以 BA，B45，C75，BC 边上的高 ADAC sinC2sin752sin(4530)2(sin 45 cos30cos 45 sin30)2321312()22222.10、（2012 辽宁理）在ABC中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列.（I）求cos B的值;（）边 a,b,c 成等比数列,求sinsinAC的值.【解析】（I）由已知12,cos32BA C ABCBB （）解法一：2bac，由正弦定理得23sinsinsin4ACB，解法二：2222221,cos222acbacacbacBacac ，由此得22abacac，得ac 定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 所以3,sinsin34ABCAC 【课堂练习】1、（2012 广东文）在ABC中,若60A,45B,3 2BC,则AC（）A4 3 B2 3 C3 D32 2、（2011 四川）在ABC 中，222sinsinsinsinsinABCBC，则 A的取值范围是（）A(0,6 B,)6 C(0,3 D,)3 3、（2012 陕西理）在ABC中,角,A B C所对边长分别为,a b c,若2222abc,则cosC的最小值为（）A32 B22 C12 D12 4、（2012 陕西）在ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，若2222cba，则Ccos的最小值为（）A23 B22 C21 D21 5、（2011 天津）如图，在ABC 中，D 是边 AC 上的点，且,23,2ABCDABBD BCBD则 sinC 的值为()A33 B36 C63 D66 6、（2011 辽宁）ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asinAsinB+bcos2A=a2，则ab（）A2 3 B2 2 C3 D2 7、（2012 湖北文）设ABC的内角,A B C所对的边分别为,a b c,若三边的长为连续的三个正整数,且ABC,320 cosbaA,则sin:sin:sinABC为（）A432 B567 C543 D654 8、（2011 上海）在相距 2 千米的AB两点处测量目标C，若0075,60CABCBA，则AC两点之间的距定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 离是 千米。9、（2012 重庆文）设ABC的内角A BC、的对边分别为abc、,且1cos4abC=1，=2，,则sinB _ 10、（2012 北京文）在ABC 中,若3a,3b,3A,则C的大小为_.11、（2012 陕西文）在三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的长分别为 a,b,c,若 a=2,B=6,c=23,则 b=_ 12、（2012 北京理）在ABC 中,若2a,7bc,1cos4B ,则b _.13、已知ABC 得三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为_.14、如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140 的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A的距离是多少？15、（2009 安徽理）在ABC 中，sin()1CA,sinB=13.（I）求 sinA 的值；（II）设 AC=6，求ABC 的面积.16、（2012 安徽文）设ABC的内角,A B C所对的边为,a b c,且有2sincossincoscossinBAACAC（）求角A的大小;（II）若2b,1c,D为BC的中点,求AD的长.17、（2011 江苏）在ABC 中，角 A、B、C 所对应的边为cba,（1）若,cos2)6sin(AA 求 A 的值；（2）若cbA3,31cos，求Csin的值.18、（2012 天津文）在ABC中,内角,A B C所对的分别是,a b c.已知22,2,cos4acA.（I）求sinC和b的值;（II）求cos(2)3A的值.19、（2010 陕西）如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5 33海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东 45，B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60 且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即即前往营救，30 45 75 A C D 15定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 其航行速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？20、我炮兵阵地位于地面A处，两观察所分别位于地面点C和D处，已知 6000CD 米，45ACD，75ADC，目标出现于地面点B处时，测得30BCD，15BDC（如图），求炮兵阵地到目标的距离（结果保留根号）.【课后作业】1、（2009 全国卷文）已知ABC 中，12cot5A，则cos A()A1213 B513 C 513 D 1213 2、（2009 全国卷理）已知ABC中，12cot5A，则cos A()A.1213 B.513 C.513 D.1213 3、（2012 湖南文）在ABC 中,AC=7,BC=2,B=60,则 BC 边上的高等于（）A32 B3 32 C362 D3394 4、在ABC 中，若 sin2Asin2Bsin2CsinB sinC，则角 A等于（）A 3 B 23 C 34 D 56 5、在ABC 中，若 acosAbcosB，则ABC 的形状是（）A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 6、在ABC 中，abc156，则 sinAsinBsinC 等于 ()A156 B651 C615 D不确定 7、（2009 湖南文）在锐角ABC中，1,2,BCBA则cosACA的值等于 ，AC的取值范围为 .8、（2012 湖北理）设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若()()abc abcab ,则角C _.9、在ABC 中，已知 c10 2，C60，a20 33，则A .10、在ABC 中，已知三边满足（abc)(abc)3ab，则C 等于 .11、在ABC 中，若 a2b2 tanAtanB，则ABC 是 .12、在ABC 中，已知 B135，C15，a5，那么此三角形的最大边的长是 .定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 13、在ABC 中，已知 sin2Bsin2Csin2A 3 sinAsinC，求 B 的度数.14、如图，在ABC 中，已知角 B45，D 是 BC 边上一点，AD5，AC7，DC3，求 AB.15、（2009 全国卷理）在ABC中，内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC 求 b.16、（2009 浙江理）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC （I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值 17、已知ABC 的三个内角 A、B、C 依次成等差数列，又三边 a、b、c 依次成等比数列，求证：该三角形为正三角形.18、（2011 山东）在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，已知cos2cos2cosACcaBb，（）求sinsinCA的值；（）若1cos,24Bb，求ABC的面积 S。19、某观测站C在目标A南偏西25方向，从A出发有一条南偏东35走向的公路，在C处测得公路上与C相距 31 千米的B处有一人正沿此公路向A走去，走 20 千米到达D，此时测得CD距离为21千米，求此人所在D处距A还有多少千米？20、飞机的航线和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m，速度为 180km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18 30，经过120秒后又看到山顶的俯角为81，求山顶的海拔高度（精确到1m）.A C D 31 21 B 20 35 25 东 北 A B D M 定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 【参考答案】【课堂练习】1-7、BCCCD DD 8、6 9、154 定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 10、2 11、2 12、4 13、24 14、10 2 km 15、3sin3A，3 2ABCS 16、7,32AAD 17、1,sin33AC 18、sinC=74，1b 321cos(2)38A 19、需要 1 小时 20、1000 42米【课后作业】1-6、DDBBDA 7、2，)3,2(8、23 9、45 10、60 11、等腰或直角三角形 12、5 2 13、B150 14、5 62 15、40(bb或舍）定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答名师总结 优秀知识点 16、1sin22ABCSbcA，2 5a 17、证法一：A、B、C 成等差数列，则 2BAC，又 ABC180，3B180，B60，再由 a、b、c 成等比数列，可得 b2ac，因此用余弦定理 b2a2c22accosB，aca2c22ac12，即（ac）20，ac，AC 又 B60，ABC 为正三角形.18、sin2sinCA，154S 19、15 千米 20、18130m 定理余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题知识梳理一正弦定理正弦定理在中为外接圆半径变形公式化边为角化角为边三角形面积公式正弦定理可解决两类问题两角和任意一边求其它两边和一角解唯一两问题名师总结优秀知识点已知三边求三个角解唯一已知两边和它们的夹角求第三边和其他两个角解唯一两边和其中一边对角求另一边进而可求其它的边和角解可能不唯一三正余弦定理的应用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中视到目标方向线的水平角如点的方位角为如图方向角相对于某一正方向的水平角如图坡角坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角如图坡度坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度或坡比经典例题天津理在中内角所对的边分别是已知则答