文科高考数学试卷中的经典数列题透析_中学教育-高考.pdf

高考文科数学试卷中的数列题浅析 数列，在高中数学教学大纲中只有 12 课时，在考纲中也只是要求，理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题，等等但是，在历年的高考中，都把数列当作重要的内容来考查，题目有一定的难度、深度和综合程度，在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用 纵观 2008 年全国各省的高考文科数学试卷，涉及数列的题目大都是“一小一大”，分值 17 分左右，约占试卷总分值的19，难度大都为中低档，但也有少数省份将数列题作为把关、压轴题，如安徽卷、上海卷的第 21 题，重庆卷的第 22 题等下面，我们仅对其中的一些题目进行简要的分析 例 1 设an是等差数列，若 a2=3，a7=13，则数列an前 8 项的和为（）A128 B80 C64 D56（福建卷第 3 题）略解：a2+a7=a1+a8=16，an前 8 项的和为 64，故应选 C 例 2 已知等比数列na满足122336aaaa，则7a（）A64 B81 C128 D243 （全国卷第 7 题）答案：A 例 3 已知等差数列na中，26a，515a，若2nnba，则数列nb的前 5 项和等于（）A30 B45 C90 D186（北京卷第 7 题）略解：a5-a2=3d=9，d=3，b1=26a，b5=a10=30，nb的前 5 项和等于 90，故答案是 C 例 4 记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A2 B3 C6 D7（广东卷第 4 题）略解：422412,3SSSdd,故选 B.例 5 在数列na中，542nan，212naaaanbn ，*nN,其中,a b为常数，则ab （安徽卷第 15 题）答案：1 例 6 在数列na中，12a，11ln(1)nnaan，则na（）A2ln n B2(1)lnnn C2lnnn D1lnnn（江西卷第 5 题）答案：A 例 7 设数列na中，112,1nnaaan，则通项na _（四川卷第 16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11nnaan 中1,nnaa系数相同是找到方法的突破口 略解：112,1nnaaan 111nnaan ，1221nnaan ，2331nnaan ，322 1aa，211 1aa，121 1a 将以上各式相加，得 123211nannnn 111122nnn nn ，故应填(1)2n n+1 例 8 若(x+12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x4项的系数为()A6 B7 C8 D9(重庆卷第 10 题)答案：B 使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例 4 以前的例题例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第 1 题，浙江卷第 4 题，陕西卷第 4 题，天津卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国卷第 19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习 例 9 已知an是正数组成的数列，a1=1，且点（1,nnaa）（nN*）在函数 y=x2+1 的图象上.()求数列an的通项公式；()若数列bn满足 b1=1，bn+1=bn+2na，求证：bnbn+2b2n+1.（福建卷第 20 题）略解：（）由已知，得 an+1-an=1，又 a1=1,所以数列an是以 1 为首项，公差为 1 的等差数列故 an=1+(n-1)1=n.()由（）知，an=n，从而 bn+1-bn=2n，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+（b2-b1）+b1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1.bnbn+2-b21n=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=-2n0,bnbn+2b21n 对于第（）小题，我们也可以作如下的证明：b2=1,bnbn+2-b21n=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)-b21n=2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+12n（bn+1-2n+1）=2n（bn+2n-2n+1）=2n（bn-2n）=2n（b1-2）=-2n0，bn-bn+2b2n+1.例 10 在数列na中，11a，122nnnaa（）设12nnnab 证明：数列nb是等差数列；（）求数列na的前n项和nS（全国卷第 19 题）略解：（）1nnbb=1122nnnnaa=122nnnaa=22nn=1，则nb为等差数列，11b，nbn，12nnan（）01211 22 2(1)22nnnSnn ，12121 22 2(1)22nnnSnn 两式相减，得01121 222221nnnnnSnn =(1)21nn 对于例 10 第（）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数可以用迭代法，但不可由b2-b1=1，b3-b2=1 等有限个的验证归纳得到nb为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误第（）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前 n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法一般地，数学学习中最为重要的内容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示 例 9、例 10 是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有浙江卷第 18 题，江苏卷第 19 题，辽宁卷第 20 题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主 例 11 等 差 数 列na的 各 项 均 为 正 数，13a，前n项 和 为nS，nb为 等 比 数 列,11b，且数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法并能根据递推公式写出数列的前几项理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式与前项和公式并能解决简单的实际问题理解等比数列的概念掌握等比数列的通项公式与前项和综合程度在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用纵观年全国各省的高考文科数学试卷涉及数列的题目大都是一小一大分值分左右约占试卷总分值的难度大都为中低档但也有少数省份将数列题作为把关压轴题如安徽卷海卷第题略解前项的和为故应选例已知等比数列满足则答案例已知等差数列中全国卷第题若则数列的前项和等于北京卷第题的前项和等于故答案是略解例记等差数列的前项和为若则该数列的公差广东卷第题略解故选例在数列中其中为常 2264,b S 33960b S()求na与nb；()求和：12111nSSS （江西卷第 19 题）略解：()设na的公差为d，nb的公比为q，依题意有2 223 3(6)64,(93)960.S bd qS bd q 解之，得2,8;dq或6,540.3dq(舍去，为什么？)故132(1)21,8nnnannb （）35nSnnn，1211111111 32 43 5(2)nSSSn n 111111(1232435 11)2nn 1111(1)2212nn 32342(1)(2)nnn “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法 使用解答题形式考查数列的试题，其内容还往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前 n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他内容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用 例 12 设数列na的前n项和为22nnnSa，（）求14,a a；（）证明：12nnaa是等比数列；（）求na的通项公式（四川卷第 21 题）略解：（）1111,22aSaS，所以112,2aS 由22nnnaS知，11122nnnaS 112nnnaS得，112nnnaS 222122226,8aSS ，3332328216,24aSS，443240aS （）由题设和式知，11222nnnnnnaaSS122nn2n，12nnaa是首项为 2，公比为 2 的等比数列（）21112211222222nnnnnnnaaaaaaaa 11 2nn 此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等推移脚标，两式相减是解决含有nS的递推公式的重要手段，使其转化为不含nS的递推公式，从而有针对性地解决问题在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向 例 13 数列na满足,2,021 aa222(1cos)4sin,1,2,3,22nnnnaan（I）求43,aa，并求数列na的通项公式；（II）设1321kkSaaa ，242kkTaaa ，2(2kkkSWkT)N，求使1kW 的所有 k数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法并能根据递推公式写出数列的前几项理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式与前项和公式并能解决简单的实际问题理解等比数列的概念掌握等比数列的通项公式与前项和综合程度在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用纵观年全国各省的高考文科数学试卷涉及数列的题目大都是一小一大分值分左右约占试卷总分值的难度大都为中低档但也有少数省份将数列题作为把关压轴题如安徽卷海卷第题略解前项的和为故应选例已知等比数列满足则答案例已知等差数列中全国卷第题若则数列的前项和等于北京卷第题的前项和等于故答案是略解例记等差数列的前项和为若则该数列的公差广东卷第题略解故选例在数列中其中为常 的值，并说明理由（湖南卷第 20 题）略解：（I）22311(1cos)4sin44,22aaa 22422(1cos)4sin24,aaa 一般地,当21()nkkN=时，22212121(21)(21)1cos4sin4,22kkkkkaaa 即21214.kkaa 所 以 数 列 21ka是 首 项 为 0、公 差 为 4 的 等 差 数 列，因 此214(1).kak当2()nk kN=时，22222222(1cos)4sin2,22kkkkkaaa 所以数列 2ka是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此22.kka故数列na的通项公式为22(1),21(),2,2().nnnnkkNank kN（II）由（I）知，1321kkSaaa =044(1)2(1),kk k 242kkTaaa 2122222,kk 12(1).22kkkkSk kWT 于是，10,W 21,W 33,2W 43,2W 55,4W 61516W.下面证明:当6k 时，1.kW 事实上,当6k 时，11(1)(1)(3)0,222kkkkkkkk kkkWW即1.kkWW又61,W 所以当6k 时，1.kW 故满足1kW 的所有 k 的值为 3,4,5.例 12、例 13 代表了另一种重要的题型，从比较抽象的数列入手，给定数列的一些性质，要求考生进行严格的逻辑推证，找到数列的通项公式，或证明数列的其他一些性质这些试题对恒等证明能力提出了很高的要求，要求考生首先明确变形目标，然后根据变形目标进行恒等变形在变形过程中，不同的变形方法也可能简化原来的式子，也可能使其更加复杂，所以还存在变形路径的选择问题 从以上例子不难看出，在考查相关知识内容的基础上，高考对数列的考查把重点放在对数学思想和方法的考查，放在对思维能力以及创新意识和实践能力的考查上往往突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想、有限与无限的思想等数学思想和方法，除了考查教材中学习的等差数列与等比数列外，也考查一般数列，考查由一般数列入手，构造等差数列与等比数列的推理和论证方法 数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法并能根据递推公式写出数列的前几项理解等差数列的概念掌握等差数列的通项公式与前项和公式并能解决简单的实际问题理解等比数列的概念掌握等比数列的通项公式与前项和综合程度在考查演绎推理能力中发挥着越来越重要的作用纵观年全国各省的高考文科数学试卷涉及数列的题目大都是一小一大分值分左右约占试卷总分值的难度大都为中低档但也有少数省份将数列题作为把关压轴题如安徽卷海卷第题略解前项的和为故应选例已知等比数列满足则答案例已知等差数列中全国卷第题若则数列的前项和等于北京卷第题的前项和等于故答案是略解例记等差数列的前项和为若则该数列的公差广东卷第题略解故选例在数列中其中为常