数学同步练习题考试题试卷教案点直线平面之间的位置关系练习题_中学教育-试题.pdf

第二章 点、直线、平面之间的位置关系 一、选择题 1 给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面、的四个命题：若不共面与则点mlmAAlm,；若 m、l 是异面直线，nmnlnml则且,/,/；若mlml/,/,/,/则；若./,/,/,则点mlAmlml 其中为假命题的是 A B C D 2.设,为两两不重合的平面，nml,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若，则|；若m，n，|m，|n，则|；若|，l，则|l；若l，m，n，|l，则nm|其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D4 3已知 m、n 是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若/,则mm；若/,则；若/,/,则nmnm；若 m、n 是异面直线，/,/,/,则nnmm。其中真命题是 A和 B和 C和 D和 4已知直线nml、及平面，下列命题中的假命题是 A若/lm，/mn，则/ln.B若l，/n，则ln.C若lm，/mn，则ln.D若/l，/n，则/ln.5在正四面体 PABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 ABC平面 PDF BDF平面 PAE C平面 PDF平面 ABC D平面 PAE平面 ABC 6有如下三个命题：分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直 其中正确命题的个数为 A0 B1 C2 D3 7下列命题中，正确的是 A经过不同的三点有且只有一个平面 B分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C垂直于同一个平面的两条直线是平行直线 D垂直于同一个平面的两个平面平行 8已知直线 m、n 与平面,，给出下列三个命题：若;/,/,/nmnm则 若;,/mnnm则 若.,/,则mm 其中真命题的个数是 A0 B1 C2 D3 9已知 a、b、c 是直线，是平面，给出下列命题：若cacbba/,则；若cacbba 则,/；若baba/,/则；若 a 与 b 异面，且与则ba,/相交；若 a 与 b 异面，则至多有一条直线与 a，b 都垂直.其中真命题的个数是 A1 B2 C3 D4 10过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条，其中异面直线有 A18 对 B24 对 C30 对 D36 对 11正方体1111ABCDABC D中，P、Q、R分别是AB、AD、11BC 的中点那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是 A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 12不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有 A3 个 B4 个 C6 个 D7 个 13设、为平面，lnm、为直线，则m的一个充分条件是 Alml,B,m C m,Dmnn,14设、为两个不同的平面，l、m 为两条不同的直线，且 l，m，有如下的若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂两个命题：若，则 lm；若 lm，则那么 A是真命题，是假命题 B 是假命题，是真命题 C 都是真命题 D都是假命题 15对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；内有不共线的三点到的距离相等；存在异面直线 l、m，使得 l/，l/，m/，m/，其中，可以判定与平行的条件有 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题 1 已知平面,和直线 m，给出条件：/m；m；m；/.（i）当满足条件 时，有/m；（ii）当满足条件 时，有m（填所选条件的序号）2在正方形DCBAABCD 中，过对角线BD的一个平面交AA于 E，交CC于 F，则 四边形EBFD一定是平行四边形 四边形EBFD有可能是正方形 四边形EBFD在底面 ABCD 内的投影一定是正方形 四边形EBFD有可能垂直于平面DBB 以上结论正确的为 （写出所有正确结论的编号）3下面是关于三棱锥的四个命题：底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥 侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 其中，真命题的编号是_（写出所有真命题的编号）4已知 m、n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂若/,mn 则/mn 若,/,/,m nmn则/若,/mnmn,则/m、n 是两条异面直线，若/,/,/,/,mmnn则/上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)5 已知 m、n 是不同的直线，,是不重合的平面，给出下列命题：若/m，则m平行于平面内的任意一条直线 若/,mn 则/mn 若,/mnmn,则/若/,m,则/m 上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)6连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）菱形 有 3 条边相等的四边形 梯形 平行四边形 有一组对角相等的四边形 三、计算题 1 如图 1 所示，在四面体 PABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F是线段PB上一点，341715CF，点 E 在线段 AB 上，且 EFPB.（）证明：PB平面 CEF；（）求二面角 BCEF 的大小.解（I）证明：2221006436PCACPA PAC 是以PAC 为直角的直角三角形，同理可证 PAB 是以PAB 为直角的直角三角形，PCB 是以PCB 为直角的直角三角形 故 PA平面 ABC 又11|10 63022PBCSPCBC 而PBCSCFPB3017341534221|21 如图 1 PACBFEPACBFEF1若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂故 CFPB,又已知 EFPB PB平面 CEF（II）由（I）知 PBCE,PA平面 ABC AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 ABCE 在平面 PAB 内，过 F 作 FF1垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1平面 ABC，EF1是 EF 在平面 ABC 上的射影，EFEC 故FEB 是二面角 BCEF 的平面角35610cottanAPABPBAFEB 二面角 BCEF 的大小为35arctan 2 如图，在五棱锥 SABCDE 中，SA底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，3DEBC，120CDEBCDBAE 求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）；证明：BC平面 SAB；用反三角函数值表示二面角 BSCD 的大小（本小问不必写出解答过程）解（）连结 BE，延长 BC、ED 交于点 F，则DCF=CDF=600，CDF 为正三角形，CF=DF 又 BC=DE，BF=EF 因此，BFE 为正三角形，FBE=FCD=600，BE/CD 所以SBE（或其补角）就是异面直线 CD 与 SB 所成的角 SA底面 ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=22，同理 SE=22，又BAE=1200，所以 BE=32，从而，cosSBE=46，SBE=arccos46 所以异面直线 CD 与 SB 所成的角是 arccos46()由题意，ABE 为等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE=600，ABC=900，BCBA SA底面 ABCDE，BC底面 ABCDE，SABC，又 SABA=A，BC平面 SAB （）二面角 B-SC-D的大小82827arccos ABCDESFABCDES若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂 3 已知三棱锥 PABC 中，E、F 分别是 AC、AB 的中点,ABC，PEF 都是正三角形，PFAB.（）证明 PC平面 PAB；（）求二面角 PABC 的平面角的余弦值；（）若点 P、A、B、C 在一个表面积为 12的 球面上，求ABC 的边长.解 本小题主要考查空间中的线面关系，三棱锥、球的有关概念及解三角形等基础知识，考查空间想象能力及运用方程解未知量的基本方法。（）证明：连结 CF.,2121PCAPACBCEFPE.,PCFABABPFABCF平面.,PABPCABPCPCFPC平面平面 （）解法一：,CFABPFAB PFC为所求二面角的平面角.设 AB=a，则AB=a，则aCFaEFPF23,2.33232cosaaPFC 解法二：设 P 在平面 ABC 内的射影为 O.PAFPABPAE,.PAC 得 PA=PB=PC.于是 O 是ABC 的中心.PFO为所求二面角的平面角.设 AB=a，则.2331,2aOFaPF .33c o sPFOFPFO （）解法一：设 PA=x，球半径为 R.,PBPAPABPC平面 124.232RRx，ABCxR.2.3得的边长为22.解法二：延长 PO 交球面于 D，那么 PD 是球的直径.连结 OA、AD，可知PAD 为直角三角形.设 AB=x，球半径为 R.,2332,66tan.32,1242xOAxPFOOFPOPDR EABCPFOEABCPDF若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂22.22).6632(66)33(2的边长为于是ABCxxxx.4.已知正三棱锥ABCP 的体积为372，侧面与底面所成的二面角的大小为60。（1）证明：BCPA；（2）求底面中心O到侧面的距离.证明（1）取BC边的中点D，连接AD、PD，则BCAD，BCPD，故BC平面APD.BCPA.（2）如图，由（1）可知平面PBC平面APD，则P D A是 侧面与底面所成二面角的平面角.过点O作EPDOE,为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.设OE为h，由题意可知点O在AD上，60 PDO，hOP2.hBChOD4,32,2234)4(43hhSABC，3233823431372hhh，3h.即底面中心O到侧面的距离为 3.5如图,在直四棱柱1111ABCDABC D 中,2,2 3ABADDC,13,AAADDC，ACBD垂足为E()求证1BDAC;()求二面角11ABDC的大小;()求异面直线AD与1BC所成角的大小 解（I）在直四棱柱 ABCDAB1C1D1中，AA1底面 ABCD AC 是 A1C 在平面ABCD 上的射影 BDAC BDA1C；（II）连结 A1E，C1E，A1 C1 与（I）同理可证 BDA1E，BDC1E，A1EC1为二面角 A1BDC1的平面角 ADDC，PBCAOEDCBABCDAEDCBABCDAF若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂 A1D1C1=ADC90，又 A1D1=AD2，D1C1=DC23，AA1=3且 ACBD，A1C14，AE1，EC3，A1E2，C1E23，在A1EC1中，A1C12A1E2C1E2，A1EC190，即二面角 A1BDC1的大小为 90 （III）过 B 作 BF/AD 交 AC 于 F，连结 FC1，则C1BF 就是 AD 与 BC1所成的角 ABAD2，BDAC，AE1，BF=2，EF1，FC2，BCDC，FC1=7，BC115，在BFC1 中，1154715cos51 215C BF,C1BF=15arccos5 即异面直线 AD 与 BC1所成角的大小为15arccos5 解法二：（）同解法一 （）如图，以 D 为坐标原点，1,DA DC DD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系 连结1111.,AE C E AC 与(1)同理可证,11,BDAE BDC E,11AEC为二面角11AEDC的平面角.由1133(2,0,3),(0,2 3,3),0).22ACE 得113(,3),22EA 13 3 3(,3)22EC 113930,44EA EC 11,EAEC 即11.EAEC 二面角11AEDC的大小为90（）如图,由(0,0,0)D,(2,0,0),A1(0,2 3,3),(3,3,0),CB 得1(2,0,0),(3,3,3),ADBC EDCBABCDAxzy若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂116,2,15,AD BCADBC 111,615cos,52 15AD BCAD BCAD BC 异面直线AD与1BC所成角的大小为15arccos.5 解法三：（）同解法一.（）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为 E.连结1111,AE C E AC.与（）同理可证11,BDAE BDC E 11AEC为二面角11ABDC的平面角 由11(0,0,0),(0,1,3),(0,3,3).EAC 得11(0,1,3),(0,3,3).EAEC 11330,EA EC 11EAEC 即11,EAEC 二面角11ABDC的大小为90 6 如图,在直三棱柱111ABCABC中，13,4,5,4ACBCABAA，点D为AB的中点 ()求证1ACBC;()求证11ACCDB 平面;()求异面直线1AC与1BC所成角的余弦值 解（I）直三棱柱 ABCA1B1C1，底面三边长 AC=3，BC=4，AB=5，ACBC，且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC，ACBC1；（II）设 CB1与 C1B 的交点为 E，连结 DE，D 是 AB 的中点，E 是 BC1的中点，DE/AC1，DE平面 CDB1，AC1平面 CDB1，AC1/平面 CDB1；（III）DE/AC1，CED 为 AC1与 B1C 所成的角，EDCBABCDAxzyC1B1A1ABCD若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂在CED 中，ED=21AC 1=25，CD=21AB=25，CE=21CB1=22，82 2cos552 2 22CED，异面直线 AC1与 B1C 所成角的余弦值2 25.解法二：直三棱锥111ABCABC底面三边长3,4,5ACBCAB，1,AC BC CC两两垂直 如图建立坐标系，则 C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(32,2,0)()11(3,0,0),(0,4,4)ACBC,11110,ACBCACBC ()设1CB与1C B的交点为 E，则 E(0,2,2)13(,0,2),(3,0,4),2D EAC 111,/2DEACDEAC 111,DECDBACCDB平面平面 11/ACCDB平面()11(3,0,4),(0,4,4),ACCB 1111112 2cos,5|AC CBAC CBACCB 异面直线1AC与1BC所成角的余弦值为2 25 7如图，正三角形 ABC 的边长为 3，过其中心 G 作 BC 边的平行 线，分别交 AB、AC 于1B、1C将11CAB沿11CB折起到111CBA的位置，使点1A在平面CCBB11上的射影恰是线段 BC 的中点 M求：（1）二面角MCBA111的大小；EC1B1A1ABCDEC1B1A1ABCDxzy若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂（2）异面直线11BA与1CC所成角的大小（用反三角函数表示）解 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力 （）连接 AM，A1G G 是正三角形 ABC 的中心，且 M 为 BC 的中点，A，G，M 三点共线，AMBC B1C1BC，B1C1AM 于 G，即 GMB1C1，GA1B1C1，A1GM 是二面角 A1B1C1M 的平面角 点 A1在平面 BB1C1C 上的射影为 M，A1MMG，A1MG=90 在 RtA1GM 中，由 A1G=AG=2GM 得A1GM=90 即二面角 A1B1C1M 的大小是 60（）过 B1作 C1C 的平行线交 BC 于 P，则A1B1P 等于异面直线 A1B1与 CC1所成的角 由 PB1C1C 是平行四边形得 B1P=C1C=1=BP，PM=BM BP=,21A1B1=AB1=2 A1M面 BB1C1C 于 M，A1MBC，A1MP=90 在 RtA1GM 中，A1M=A1G.2323360sin 在 RtA1MP 中，.25)21()23(2222121PMMAPA 在A1B1P 中，由余弦定理得8512225122cos22111212121111PBBAPAPBBAPBA，异面直线 A1B1与 CC1所成角的大小为 arccos.85 8 如图，正三棱锥 SABC 中，底面的边长是 3，棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，M 是BC 的中点.求：（）SMAM的值；（）二面角 SBCA 的大小；（）正三棱锥 SABC 的体积.解 本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，罗辑思维能力和运算能力 若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂（）SB=SC，AB=AC，M 为 BC 中点，SMBC，AMBC.由棱锥的侧面积等于底面积的 2 倍，即11332,.222AMBCSMBCAMSM 得（）作正三棱锥的高 SG，则 G 为正三角形 ABC 的中心，G 在 AM 上，.31AMGM SMBC，AMBC，SMA 是二面角 SBCA 的平面角.在 RtSGM 中，,2333232GMGMAMSM SMA=SMG=60，即二面角 SBCA 的大小为 60。（）ABC 的边长是 3，,2332360,23,233GMtgSGGMAM.839234393131SGSVABCABCS 9 如图，直二面角 DABE 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，AE=EB，F 为 CE上的点，且 BF平面 ACE.（）求证 AE平面 BCE；（）求二面角 BACE 的大小；（）求点 D 到平面 ACE 的距离.解本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础知识，考察空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力 （I）,BFACEBFAE平面 D-AB-EABCDABE二面角为直二面角，平面平面，BCABBCABEBC,AE又，平面，BFBCEBFBC=BBCEAE又平面，平面。（II）连结 AC、BD 交于 G，连结 FG，ABCD 为正方形，BDAC，BF平面 ACE，FGAC，FGB 为二面角 B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE平面 BCE，AEEB，又 AE=EB，AB=2，AE=BE=2，在直角三角形 BCE 中，CE=222 226,63BC BEBCBEBFCE 在正方形中，BG=2，在直角三角形 BFG 中，263sin32BFFGBBG FEDCBAGFEDCBAO若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂二面角 B-AC-E为6arcsin3（III）由（II）可知，在正方形 ABCD 中，BG=DG，D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平面 ACE 的距离，BF平面 ACE，线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE 的距离，即为 D 到平面 ACE 的距离 所以 D 到平面的距离为22 333 另法：过点 E 作ABEO 交 AB 于点 O.OE=1.二面角 DABE 为直二面角，EO平面 ABCD.设 D 到平面 ACE 的距离为 h，,ACDEACEDVV.3131EOShSACDACB AE平面 BCE，.ECAE .3326221122212121ECAEEODCADh 点 D 到平面 ACE 的距离为.332 解法二：（）同解法一.（）以线段 AB 的中点为原点 O，OE 所在直线为 x 轴，AB 所在直线为 y 轴，过 O点平行于 AD 的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，如图.AE面 BCE，BE面 BCE，BEAE，在ABOABAEBRt为中,2,的中点，).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(.1CEAOE).2,2,0(),0,1,1(ACAE 设平面 AEC 的一个法向量为),(zyxn，则.022,0,0,0 xyyxnACnAE即 解得,xzxy 令,1x得)1,1,1(n是平面 AEC 的一个法向量.又平面 BAC 的一个法向量为)0,0,1(m，.3331|,),cos(nmnmnm 二面角 BACE 的大小为.33arccos（III）AD/z 轴，AD=2，)2,0,0(AD，MFEDCBAyxOz若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂点 D 到平面 ACE 的距离.33232|,cos|nnADnADADd 10 如图，在四棱锥 PABC 中，底面 ABCD为矩形，侧棱PA底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2，E 为 PD 的中点 （）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（）在侧面 PAB 内找一点 N，使 NE面 PAC，并求出 N 点到 AB 和 AP 的距离 解 解法一：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A、B、C、D、P、E 的坐标分别为 A（0，0，0），B（3，0，0），C（3，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，21，2）从而AC=（3，1，0），PB=（3，0，-2）设AC与PB的夹角为，则1473723|cosPBACPBAC，AC 与 PB 所成角的余弦值为1473（）由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为（x，0，z），则)1,21,(zxME 由 NE面 PAC 可得：,0,0ACNEAPNE即,0)0,1,3()1,21,(,0)2,0,0()1,21,(zxzx 化简得.1,63.0213,01zxxz 即 N 点的坐标为（63，0，1），从而 N 点到 AB、AP 的距离分别为 1，63 解法二：（）设 ACBD=O，连 OE，则 OE/PB，EOA 即为 AC 与 PB 所成的角或其补角 EABCDPoEABCDPxy8z若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂在AOE 中，AO=1，OE=21PB=27，AE=21PD=25，14173127245471cosEOA 即 AC 与 PB 所成角的余弦值为14173（）在面 ABCD 内过 D 作 AC 的垂线交 AB 于 F，则6 ADF 连 PF，则在 RtADF 中 DF=33tan,332cosADFADAFADFAD 设 N 为 PF 的中点，连 NE，则 NE/DF，DFAC，DFPA，DF面 PAC 从而 NE面 PAC N 点到 AB 的距离=21AP=1，N 点到 AP 的距离=21AF=63 11 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的，其中 AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1 （）求 BF 的长；（）求点 C 到平面 AEC1F 的距离 解 本小题主要考查线面关系和空间距离的求法 等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力 解法 1：（）过 E 作 EH/BC 交 CC1于 H，则 CH=BE=1，EH/AD，且 EH=AD.又AFEC1，FAD=C1EH.RtADFRtEHC1.DF=C1H=2.6222DFBDBF（）延长 C1E 与 CB 交于 G，连 AG，则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于 AG.过 C 作 CMAG，垂足为 M，连 C1M，由三垂线定理可知 AGC1M.由于 AG面 C1MC，且 AG面 AEC1F，所以平面 AEC1F面 C1MC.在 RtC1CM 中，作 CQMC1，垂足为 Q，则 CQ 的长即为 C 到平面 AEC1F 的距离 221,1,17.EBBGBGAGABBGCCCG由可得从而 ABCDC1FEGHMQABCDC1FE若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂412,3cos3cos3,1717GABMCGCMMCGGAB 由知 12121234 3317.1112317CMCCCQMC 解法 2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设 F（0，0，z）.AEC1F 为平行四边形，1,AEC F 由为平行四边形 1,(2,0,)(2,0,2),AFECz 由得 2.(0,0,2).zF (2,4,2)EF|2 6,2 6.BFBF于是即的长为（II）设1n为平面 AEC1F 的法向量，)1,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然 02020140,0,011yxyxAFnAEn得由 .41,1,022,014yxxy即 111),3,0,0(nCCCC与设又的夹角为 a，则.333341161133|cos1111nCCnCC C 到平面 AEC1F 的距离为.11334333343cos|1CCd 12 如图 1，已知 ABCD 是上下底边长分别为 2 和 6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴 OO1折成直二面角，如图 2.（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.解 解法一（I）证明 由题设知 ABCDC1FEyxz图 1 ABCDO1O图 2 BCDAO1O若若是异面直线若若其中为假命题的是则则设为两两不重合的平面为两两不重合的直线给出下列四个命题若则若则若则若则其中真命题的个数是已知是两条不重合的直线是三个两两不重合的平面给出下列四个命题若则若则若则若是的中点下面四个结论中不成立的是平面平面平面平面平面平面有如下三个命题分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线垂直于同一个平面的两条直线是平行直线过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直其中正确命题的个数为下平面的两条直线是平行直线垂直于同一个平面的两个平面平行已知直线与平面给出下列三个命题若则若则若则其中真命题的个数是已知是直线是平面给出下列命题若则若则若则若与异面且与则相交若与异面则至多有一条直线与都垂OAOO1，OBOO1.所以AOB 是所折成的直二面角的平面角，即 OAOB.故可以 O 为原点，OA、OB、OO1 所在直线分别为x轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图 3，则相关各点的坐标是 A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，3）O1（0，0，3）.从而1(3,1,3),(0,3,3),ACBO 13330.AC BO 所以 ACBO1.（II）因为,03331 OCBO所以 BO1OC，由（I）ACBO1，所以 BO1平面 OAC，1BO是平面 OAC 的一个法向量.设),(zyxn 是 0 平面 O1AC 的一个法向量，由,3.0,033001zyzyxCOnACn取 得)3,0,1(n.设二面角 OACO1的大小为，由n、1BO的方向可知n，1BO，所以 cos cosn，1BO=.43|11BOnBOn 即二面角 OACO1的大小是.43arccos 解法二（I）证明 由题设知 OAO