构造函数法证明不等式的八种方法.doc文档资料.pdf

第 1 页 共 6 页构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例【例 1 1】已知函数xxxf)1ln()(，求证：当1x时，恒有xxx)1ln(111分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(xxxg，从其导数入手即可证明。【解】1111)(xxxxf当01x时，0)(xf，即)(xf在)0,1(x上为增函数当0 x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为减函数故函数()f x的单调递增区间为)0,1(，单调递减区间),0(于 是 函 数()f x在),1(上 的 最 大 值 为0)0()(max fxf，因 此，当1x时，0)0()(fxf，即0)1ln(xxxx)1ln(（右面得证），现证左面，令111)1ln()(xxxg，22)1()1(111)(xxxxxg则当0)(,),0(;0)(,)0,1(xgxxgx时当时，即)(xg在)0,1(x上为减函数，在),0(x上为增函数，故函数)(xg在),1(上的最小值为0)0()(min gxg，当1x时，0)0()(gxg，即0111)1ln(xx111)1ln(xx，综上可知，当xxxx)1ln(111,1有时【警示启迪】如果()f a是函数()f x在区间上的最大（小）值，则有()f x()f a（或()f x()f a），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证2、作差法构造函数证明【例 2】已知函数.ln21)(2xxxf求证：在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方；第 2 页 共 6 页分析：函数)(xf的图象在函数)(xg的图象的下方)()(xgxf 不等式问题，即3232ln21xxx，只 需 证 明 在 区 间),1(上，恒 有3232ln21xxx成 立，设)()()(xfxgxF，),1(x，考虑到061)1(F要证不等式转化变为：当1x时，)1()(FxF，这只要证明：)(xg在区间),1(是增函数即可。【解】设)()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，则xxxxF12)(2=xxxx)12)(1(2当1x时，)(xF=xxxx)12)(1(2从而)(xF在),1(上为增函数，061)1()(FxF当1x时0)()(xfxg，即)()(xgxf，故在区间),1(上，函数)(xf的图象在函数332)(xxg的图象的下方。【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设)()()(xgxfxF做一做，深刻体会其中的思想方法。3、换元法构造函数证明【例 3】（2007 年，山东卷）证明：对任意的正整数 n，不等式3211)11ln(nnn都成立.分析：本题是山东卷的第（II）问，从所证结构出发，只需令xn1，则问题转化为：当0 x时，恒有32)1ln(xxx成立，现构造函数)1ln()(23xxxxh，求导即可达到证明。【解】令)1ln()(23xxxxh，则1)1(31123)(232xxxxxxxh在),0(x上恒正，所以函数)(xh在),0(上单调递增，),0(x时，恒有，0)0()(hxh即0)1ln(23xxx，32)1ln(xxx对任意正整数 n，取3211)11ln(),0(1nnnnx，则有【警示启迪】我们知道，当()F x在,a b上单调递增，则xa时，有()F x()F a如果()f a()a，要证明当xa时，()f x()x，那么，只要令()F x()f x()x，就可以利用()F x的单调增性来推导也就是说，在()F x可导的前提下，只要证明()Fx 即可第 3 页 共 6 页4、从条件特征入手构造函数证明【例 4】若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf)(xf恒成立，且常数a，b满足ab，求证：a)(afb)(bf【解】由已知x)(xf+)(xf0 构造函数)()(xxfxF，则)(xFx)(xf+)(xf0，从而)(xF在R上为增函数。ba)()(bFaF即a)(afb)(bf【警示启迪】由条件移项后)()(xfxf x，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(xxfxF，求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(xfxf x，则移项后)()(xfxf x，要想到是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。5、主元法构造函数例（全国）已知函数xxxgxxxfln)(,)1ln()(1)求函数)(xf的最大值；(2)设ba 0,证明：2ln)()2(2)()(0abbagbgag.分析：对于（II）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下：证明：对xxxgln)(求导,则1ln)(xxg.在)2(2)()(bagbgag中以 b 为主变元构造函数,设)2(2)()()(xagxgagxF,则2lnln)2(2)()(xaxxagxgxF.当ax 0时，0)(xF,因此)(xF在),0(a内为减函数.当ax 时,0)(xF,因此)(xF在),(a上为增函数.从而当ax 时,)(xF有极小值)(aF.因为,0)(abaF所以0)(bF,即.0)2(2)()(bagbgag又设2ln)()()(axxFxG.则)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG.当0 x时,0)(xG.因此)(xG在),0(上为减函数.第 4 页 共 6 页因为,0)(abaG所以0)(bG,即2ln)()2(2)()(abbagbgag.6、构造二阶导数函数证明导数的单调性例已知函数21()2xf xaex(1)若 f(x)在 R 上为增函数,求 a 的取值范围;(2)若 a=1,求证:x0 时,f(x)1+x解：(1)f(x)aex，（）在上为增函数，f(x)对恒成立，即-对恒成立记（）-，则()-=(1-x)e-x，当时，（），当时，（）知（）在(-,1)上为增函数,在(1,+)上为减函数,g(x)在 x=1 时,取得最大值，即 g(x)max=g(1)=1/e,a1/e,即 a 的取值范围是1/e,+)(2)记 F(X)=f(x)(1+x)=)0(1212 xxxex则 F(x)=ex-1-x,令 h(x)=F(x)=ex-1-x,则 h(x)=ex-1当 x0 时,h(x)0,h(x)在(0,+)上为增函数,又 h(x)在 x=0 处连续,h(x)h(0)=0即 F(x)0,F(x)在(0,+)上为增函数,又 F(x)在 x=0 处连续,F(x)F(0)=0,即 f(x)1+x小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为)(xfm(或)(xfm)恒成立，于是m大于)(xf的最大值（或m小于)(xf的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例：证明当2111)1(,0 xxexx 时8.构造形似函数例：证明当abbaeab证明,第 5 页 共 6 页例：已知 m、n 都是正整数，且,1nm 证明：mnnm)1()1(【思维挑战】1、（2007 年，安徽卷）设xaxxxfaln2ln1)(,02求证：当1x时，恒有1ln2ln2xaxx，2、（2007 年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数,ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf其中a0，且aaabln32522，求证：)()(xgxf3、已知函数xxxxf1)1ln()(，求证：对任意的正数a、b，恒有.1lnlnabba4、（2007 年，陕西卷）)(xf是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足)()(xfxf x0，对任意正数a、b，若ab，则必有（）（A）af(b)bf(a)（B）bf(a)af(b)（C）af(a)f(b)（D）bf(b)f(a)【答案咨询】第 6 页 共 6 页1、提示：xaxxxf2ln21)(，当1x，0a时，不难证明1ln2xx0)(xf，即)(xf在),0(内单调递增，故当1x时，0)1()(fxf，当1x时，恒有1ln2ln2xaxx2、提示：设bxaaxxxfxgxFln3221)()()(22则xaaxxF232)(=xaxax)3)()0(x0a，当ax 时，0)(xF，故)(xF在),0(a上为减函数，在),(a上为增函数，于是函数)(xF在),0(上的最小值是0)()()(agafaF，故当0 x时，有0)()(xgxf，即)()(xgxf3、提示：函数)(xf的定义域为),1(，22)1()1(111)(xxxxxf当01x时，0)(xf，即)(xf在)0,1(x上为减函数当0 x时，0)(xf，即)(xf在),0(x上为增函数因此在)(,0 xfx时取得极小值0)0(f，而且是最小值于是xxxfxf1)1ln(,0)0()(从而，即xx111)1ln(令abxbax1111,01则于是abba1ln因此abba1lnln4、提示：xxfxF)()(，0)()()(2xxfxxfxF，故xxfxF)()(在（0，+）上是减函数，由ba 有bbfaaf)()(af(b)bf(a)故选（A）函数背景下数列求和型不等式的证明函数背景下数列求和型不等式的证明 在函数问题中，有时候设置一个数列求和型不等式证明问题，如证明1+2+3+g()，或11+12+13+1()或()g()，如需要可转化为求和型不等式：ln1+ln2+ln3+ln ln,g()-需要说明的是，很多数列求和型不等式的证明，可以利用定积分定义较为轻松地完成.例 1 已知函数()=e2:2;(1)判断()在(，2)的单调性；(2)证明：24:5+24:9+24:13+28:112ln2 解：（1）由已知得()=e4(2;)2=(2;)2e;4(2;)2(2)，令g()=(2 )2e 4(2)，则g()=(2)e(2)，易知g()在(，0)递增，在（0，2）递减，所以g()g(0)=0，则()0，所以()在区间(，2)内单调递减（2）24:5+24:9+24:13+28:112ln2 44:5+44:9+44:13+48:1 ln2.【=44:5(0，49-，确定这个范围，再去找函数型不等式要充分利用（1）中的结论.】则由（1）知，当 (0，49-时，()(0)=0，即e2:2;，即 ln2:2;，令=44:5，则44:5 ln2:44+52;44+5，即44:5 ln4:74:3，令=，+1，+2，2 1，则44:5 ln4:74:3，44:9 ln4:114:7，44:13 ln4:154:11，48:1 ln8:38;1，各式相加，得 44:5+44:9+44:13+48:1 ln(4:74:34:114:74:154:11 8:38;1)=ln8:34:3 ln8:64:3=ln2，从而24:5+24:9+24:13+28:112ln2 另证（利用定积分定义）：根据定积分定义，知44:5+44:9+44:13+48:1表示曲线g()=44:5与直线=1，=2 1，=0围成的曲边梯形的面积，且为面积的不足近似值.所以44:5+44:9+44:13+48:1，而=g()2;1;1=ln(4+5)|2;1;1=ln(8+1)ln(4+1)=ln8:14:1 ln8:24:1=ln2.故24:5+24:9+24:13+28:1 1，1)若()0恒成立，求参数的取值范围；证明：1+12+13+1 ln(+1)+2(:1)(1)解：()=1:1(+1)+ln，()=2;(:1):(:1)2=(;)(;1)(:1)2(1，1)若 1，则易知()在,1，)上单调递减，此时()(1)=0，显然()0(1)不会恒成立；若1 2ln1，令=:1，则:1:1 2ln:1，则(1+1)(1 1:1)2ln:1，即1+1:1 2ln:1，令=1，2，3，各式相加，得(1+12+13+1)+(12+13+1+1:1)2ln(2132:1)=2ln(+1)，则2(1+12+13+1)2ln(+1)+1 1:1=2ln(+1)+(:1)，从而1+12+13+1 ln(+1)+2(:1)(1).【评析：第（2）问，应该说函数型不等式易觅，如何赋值，确实要动一番脑筋，当然可以从目标不等式中2(:1)受到启发.】例 3.已知函数()=ln 3(0).（1）求()的单调区间；（2）证明：ln(22+1)+ln(32+1)+ln(2+1)1+2ln!(2，).（3）证明：ln222+ln332+ln2 0).当 0时，()的单调递增区间为(0，1，单调递减区间为(1，+)；当 0时，()的单调递减区间为(0，1，单调递增区间为(1，+).（2）ln(22+1)+ln(32+1)+ln(2+1)1+2ln!ln22:122+ln32:132+ln2:12 1【=2:12，这才是真正的通项公式，且(1,+)】由（1）知，当=1，(1，+)时，()为减函数，则()(1)，即ln 3 4，又即ln 1.令=2:12=1+12(2，)，则ln(1+12)121(;1)=1;11，即ln(2+1)2ln 1;11(2，).令=2，3，各式相加，得 ln(22+1)+ln(32+1)+ln(2+1)2ln!1 11.从而ln(22+1)+ln(32+1)+ln(2+1)1+2ln!(2，).（3）由ln 1，得ln2 2 1，所以ln212.1 12/1212(:1)=1212(11:1)，令=2,3,，代入上式，再各式相加，即得ln222+ln332+ln212(1)12.121:1/=22;14(:1).【评析：第二问的证明，需要对目标不等式进行等价变形，探索出作为证明该问为依据的原始不等式：ln(1+12)12，进而演化为函数型不等式ln(1+)，或ln 0)的最小值为 0.（1）求的值；（2）若对任意的 ,0,+)，有()2成立，求实数的取值范围；（3）证明：122;1 ln(2+1)2(N).解：（1）=1（过程略）；（2）12（差值函数法+分类讨论，或分离函数法+洛必达法则）（3）待证不等式等价于23+25+27+22;1 ln(2+1).【通项公式是=22:1，且(0,1).】而由题设以及（1）知，ln(+1)(1 1)，【注意上面这个不等式的范围，它为后面的变形服务】则 ln(1 )(1 1)，即 ln(1 )(1 1)，=0时等号成立.令=22:1(N)，则22:1 ln.1 22:1/=ln2;12:1=ln(2+1)ln(2 1)，则取=1,2,3,1(2)代入上式，各式相加，即得23+25+27+22;1 ln(2 1)ln1 ln(2+1).故原不等式成立.例 5.已知函数()=ln +1()，且()0.（1）求的取值范围；（2）求证：12:1+12:2+12:3+142 2ln2(N).解：（1）当 0时，()=+1 0时，则()0 ln +1 0 ln 1 1 ln1 1 1 +ln 0.令g()=1 +ln(0)，则g()=1=;=(0)，易知g()在(0,)上递增，在(,+)递减，要使g()0恒成立，则g()=g()=ln +1 0.令()=ln +1，由()=ln知()在（0，1）上递减，在（1，+）递增.所以()(1)=0；又()0，所以()=0，则=1.故的取值范围是*1+.（2）【通项公式为=12:】由（1）可得ln 1 1.令1 1=12:，即=2:2:;1，则12:ln2:2:;1.【通过赋值法，得到关键不等式.】取=1，2，3，32，代入上式，各式相加，得12:1+12:2+12:3+142 ln2:12+ln2:22:1+ln2:32:2+ln2:322:32;1=ln422=ln4=2ln2.故12:1+12:2+12:3+142 2ln2(N).通过上述实例，我们可以领悟，函数背景下数列求和型不等式的证明，如果能利用第一问对函数性质的研究，找到一个函数不等式，那么这类问题就可以轻松应对了。如果开始找不到这个函数不等式，也可以用数学归纳法去探索，在假设=成立的条件下，用分析法证明=+1时也成立，就会出现一个不易直接证明的不等式，这个不等式，就是我们要找的函数不等式，这时利用第一问就明朗了.