三角函数的最值(专题)_中学教育-中考.pdf
精品资料 欢迎下载 三角函数的最值（专题）一、知识要点 1、配方法求最值 主要是利用三角函数理论及三角函数的有界性，转化为二次函数在闭区间上的最值 问 题，如 求 函 数2s i ns i n1yxx的 最 值，可 转 化 为 求 函 数 21,1,1yttt 上的最值问题。2、化为一个角的三角函数（利用辅助角公式），再利用有界性求最值：22sinsin()axbcoxabx，其中 tan=ab.3、sinsinaxbycxd（或coscosaxbycxd）型，解出sin x（或cos x）利用|sin|1x（或|cos|1x）去解；或用分离常数的方法去解决.4、数形结合 形如：sincosaxbycxd（或cossinaxbycxd）型，可化归为sin()()xg y去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当ac时，还可以利用数形结合的方法去处理.常用到直线斜率的几何意义，例如求函数sin2xycox的最大值和最小值。函数sin2xycox的几何意义为两点(2,0),(cos,sin)PQxx连线的斜率k，5、换元法求最值 对 于 表 达 式 中 同 时 含 有sinx+cosx，与sinxcosx的 函 数，运 用 关 系 式,cossin21cossin2xxxx 一般都可采用换元法转化为 t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。*特别说明 注意变换前后函数的等价性，正弦、余弦的有界性及函数定义域对最值确定的影响，含参数函数的最值，解题要注意参数的作用和影响。二、题型剖析 1、化为一个角的三角函数，再利用有界性求最值。例 1：求函数2sin3sincos1yxxx的最值，并求取得最值时的x值。练习：1、已知函数2()2 3sincos2cos1()f xxxxxR。精品资料 欢迎下载（）求函数()f x的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值；2已知函数2()3sin 22sinf xxx（）求函数()f x的最大值；3已知函数()4cossin()16f xxx。（）求()f x的最小正周期；（）求()f x在区间,6 4 上的最大值和最小值。2、转化为闭区间上二次函数的最值问题。例 2 已知函数(x)f22cos 2sin4cosxxx。（）求()3f的值；（）求(x)f的最大值和最小值。练习：1、求函数 f（x）=cos2x+sinx 在区间4，4上的最小值？2、函数3cos3sin2xxy的最小值为（）.A 2 B.0 C.41 D.6 3、求函数 y=5sinx+cos2x 的最值 4、是否存在实数 a，使得函数2385cossin2axaxy在闭区间2,0上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值？若不存在，试说明理由。例题 3。y=xxsin2sin的最大值是_，最小值是_.化为二次函数在闭区间上的最值问题如求函数的最值可转化为求函数上的最值问题化为一个角的三角函数利用辅助角公式再利用有界性求最值其中或型解出或利用或去解或用分离常数的方法去解决数形结合形如或型可化归为去处理函数的最大值和最小值函数的几何意义为两点连线的斜率换元法求最值对于表达式中同时含有与的函数运用关系式一般都可用换元法转化为的二次函数去求最值但必须要注意换元后新变量的取值范围特别说明注意变换前后函数的等析化为一个角的三角函数再利用有界性求最值例求函数的最值并求取得最值时的值练习已知函数精品资料欢迎下载求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值已知函数求函数的最大值已知函数求的最小正周期求在区间上的最精品资料 欢迎下载 练习：1 函数 y=2sin1sin3xx的最大值是_，最小值是_.2、求函数sin(0)2sinxyxx 的值域_ 3、求函数1cos21cos2xxy的值域_ 例 4 求函数 y=xxcos2sin2的最大值和最小值.1、y=xxsincos2（0 x）的最小值是_.2、求函数sin(0)2cosxyxx 的最大值_.3、换元法解决xxxxcossin,cossin同时出现的题型。例 5求函数xxycos34sin34的最小值 练习：1、求 y=1+sinx+cosx+sinxcosx 的值域.2、函数(1sin)(1cos)yxx 的最大值为_最小值为_ 思维点拨：遇到xxcossin 与xxcossin相关的问题，常采用换元法，但要注意sincosxx的取值范围是2,2，以保证函数间的等价转化 化为二次函数在闭区间上的最值问题如求函数的最值可转化为求函数上的最值问题化为一个角的三角函数利用辅助角公式再利用有界性求最值其中或型解出或利用或去解或用分离常数的方法去解决数形结合形如或型可化归为去处理函数的最大值和最小值函数的几何意义为两点连线的斜率换元法求最值对于表达式中同时含有与的函数运用关系式一般都可用换元法转化为的二次函数去求最值但必须要注意换元后新变量的取值范围特别说明注意变换前后函数的等析化为一个角的三角函数再利用有界性求最值例求函数的最值并求取得最值时的值练习已知函数精品资料欢迎下载求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值已知函数求函数的最大值已知函数求的最小正周期求在区间上的最精品资料 欢迎下载 小结：求三角函数的最值问题就是通过适当的三角变换或代数换元，化归为基本类的三角函数或代数函数，利用三角函数的有界性或常用的求函数最值的方法去处理.基本类型（1）2sinsinyaxbxc（或2coscosyaxbxc）型，可令sintx（或costx），|1t，化归为闭区间上二次函数的最值问题.（2）sincosyaxbx型，引入辅助角，化为22sin()yabx，利用函数|sin()|1x即可求解.（3）sinsinaxbycxd（或coscosaxbycxd）型，解出sin x（或cos x）利用|sin|1x（或|cos|1x）去解；或用分离常数的方法去解决.（4）sincosaxbycxd（或cossinaxbycxd）型，可化归为sin()()xg y去处理；或用万能公式换元后用判别式法去处理；当ac时，还可以利用数形结合的方法去处理.（5）对于含有sincos,sincosxxxx的函数的最值问题，常用的方法是令sincos,|2,xxt t将sincosxx转化为t的关系式，从而化归为二次函数的最值问题.（6）在解含参数的三角函数最值问题中，需对参数进行讨论.三、巩固练习：1、当20 x时，函数xxxxf2sinsin82cos1)(2的最小值为（）（A）2 （B）32 （C）4 （D）34 2、已知 k4，则函数 ycos2xk(cosx1)的最小值是 ()(A)1 (B)1 (C)2k1 (D)2k1 3、设0a，对于函数 sin(0)sinxafxxx，下列结论正确的是 （）A 有最大值而无最小值 B有最小值而无最大值 C有最大值且有最小值 D既无最大值又无最小值 4、已知函数11()(sincos)sincos22f xxxxx,则()f x的值域是 （）(A)1,1 (B)2,12 (C)21,2 (D)21,2 化为二次函数在闭区间上的最值问题如求函数的最值可转化为求函数上的最值问题化为一个角的三角函数利用辅助角公式再利用有界性求最值其中或型解出或利用或去解或用分离常数的方法去解决数形结合形如或型可化归为去处理函数的最大值和最小值函数的几何意义为两点连线的斜率换元法求最值对于表达式中同时含有与的函数运用关系式一般都可用换元法转化为的二次函数去求最值但必须要注意换元后新变量的取值范围特别说明注意变换前后函数的等析化为一个角的三角函数再利用有界性求最值例求函数的最值并求取得最值时的值练习已知函数精品资料欢迎下载求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值已知函数求函数的最大值已知函数求的最小正周期求在区间上的最精品资料 欢迎下载 5、函数 y=21sin2+4sin2x,xR的值域是 （）(A)-21,23 (B)-23,21 (C)2122,2122 (D)2122,2122 6、设函数cos(,yaxb a b为常数）的最大值为 1，最小值为-7，那么cossinyaxbx的最大值是 .7、设实数 x,y,m,n 满足 m2+n2=a,x2+y2=b(a,b 是常数，且 ab)，那么 mx+ny 的最大值是 .8、已知函数22()sin2sincos3cosf xxxxx，xR.求:(I)函数()f x的最大值及取得最大值的自变量x的集合；(II)函数()f x的单调增区间.9、求函数y2)4cos()4cos(xxx2sin3的值域和最小正周期 化为二次函数在闭区间上的最值问题如求函数的最值可转化为求函数上的最值问题化为一个角的三角函数利用辅助角公式再利用有界性求最值其中或型解出或利用或去解或用分离常数的方法去解决数形结合形如或型可化归为去处理函数的最大值和最小值函数的几何意义为两点连线的斜率换元法求最值对于表达式中同时含有与的函数运用关系式一般都可用换元法转化为的二次函数去求最值但必须要注意换元后新变量的取值范围特别说明注意变换前后函数的等析化为一个角的三角函数再利用有界性求最值例求函数的最值并求取得最值时的值练习已知函数精品资料欢迎下载求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值已知函数求函数的最大值已知函数求的最小正周期求在区间上的最
