数列求和方法大全_中学教育-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 数列求和的基本方法和技巧 一、教学目标：1熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2 能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3 熟记一些常用的数列的和的公式 二、教学重点：特殊数列求和的方法 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.(1)利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dn nnaa a nS nn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(1 1)1()1(1 11qqq a aqq aq naSnnn 3、)1(211 n n k Snkn 4、)1 2)(1(6112 n n n k Snkn 5、213)1(21 n n k Snkn 例 1 已知3 log1log23 x，求 nx x x x3 2的前 n 项和.解：由212 log log3 log1log3 323 x x x 由等比数列求和公式得 nnx x x x S 3 2（利用常用公式）xx xn1)1(211)211(21n 1n21 例 2 设 Sn 1+2+3+n，n N*,求1)32()(nnS nSn f的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21 n n Sn，)2)(1(21 n n Sn（利用常用公式）1)32()(nnS nSn f64 342 n nn 学习必备 欢迎下载 nn64341 50)8(12 nn501 当 88 n，即 n 8 时，501)(max n f(2)错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n项和，其中 an、bn 分别是等差数列和等比数列.例 3 求和：1 3 2)1 2(7 5 3 1 nnx n x x x S 解：由题可知，1)1 2(nx n 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 1 nx 的通项之积 设nnx n x x x x xS)1 2(7 5 3 14 3 2.（设制错位）得 n nnx n x x x x x S x)1 2(2 2 2 2 2 1)1(1 4 3 2（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnx nxxx S x)1 2(112 1)1(1 21)1()1()1 2()1 2(xx x n x nSn nn 例 4 求数列,22,26,24,223 2 nn前 n 项的和.解：由题可知，nn22 的通项是等差数列 2n 的通项与等比数列 n21 的通项之积 设nnnS222624223 2 1 4 3 22226242221 nnnS（设制错位）得1 4 3 2222222222222)211(n nnnS（错位相减）1 122212 n nn 1224 nnnS(3)倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到 n 个)(1 na a.例 5 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()1 2(5 32 1 0 加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟记一些常用的数列的和的公式二教学重点特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的 学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式例已知求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公 导等比数列的前项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中分别是等差数列和等比数列例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得例求数学习必备 欢迎下载 证明：设 nn n n n nC n C C C S)1 2(5 32 1 0.把式右边倒转过来得 0 1 13)1 2()1 2(n nnnnn nC C C n C n S（反序）又由m nnmnC C可得 nnnn n n nC C C n C n S 1 1 03)1 2()1 2(.+得 n nnnn n n nn C C C C n S 2)1(2)(2 2(21 1 0（反序相加）nnn S 2)1(例 6 求 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin 1 sin2 2 2 2 2 的值 解：设 89 sin 88 sin 3 sin 2 sin 1 sin2 2 2 2 2 S.将式右边反序得 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 sin2 2 2 2 2 S.（反序）又因为 1 cos sin),90 cos(sin2 2 x x x x+得（反序相加）)89 cos 89(sin)2 cos 2(sin)1 cos 1(sin 22 2 2 2 2 2 S 89 S 44.5（4）分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 7 求数列的前 n 项和：2 31,71,41,1 11 2 na a an，解：设)2 31()71()41()1 1(1 2 na a aSnn 将其每一项拆开再重新组合得)2 3 7 4 1()1 1 11(1 2 na a aSnn（分组）当 a 1 时，2)1 3(n nn Sn 2)1 3(n n（分组求和）当1 a时，2)1 3(1111n naaSnn2)1 3(11n naa an 例 8 求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设k k k k k k ak 2 33 2)1 2)(1(加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟记一些常用的数列的和的公式二教学重点特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的 学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式例已知求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公 导等比数列的前项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中分别是等差数列和等比数列例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得例求数学习必备 欢迎下载 nknk k k S1)1 2)(1()3 2(2 31k k knk 将其每一项拆开再重新组合得 Snk k knknknk 121313 2（分组）)2 1()2 1(3)2 1(22 2 2 3 3 3n n n 2)1(2)1 2)(1(2)1(2 2 n n n n n n n（分组求和）2)2()1(2 n n n（5）裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f an（2）n nn ntan)1 tan()1 cos(cos1 sin（3）11 1)1(1 n n n nan（4）)1 211 21(211)1 2)(1 2()2(2 n n n nnan（5）)2)(1(1)1(121)2)(1(1 n n n n n n nan(6)nnn n n nnnSn n n nn nn nna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21 则 例 9 求数列,11,3 21,2 11n n的前 n 项和.解：设n nn nan 111（裂项）则 113 212 11 n nSn（裂项求和）)1()2 3()1 2(n n 1 1 n 加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟记一些常用的数列的和的公式二教学重点特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的 学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式例已知求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公 导等比数列的前项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中分别是等差数列和等比数列例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得例求数学习必备 欢迎下载 例 10 在数列 an 中，1 1211 nnn nan，又12n nna ab，求数列 bn 的前 n 项的和.解：2 1 1211 nnnn nan)11 1(82122 n nn nbn（裂项）数列 bn 的前 n 项和)11 1()4131()3121()211(8 n nSn（裂项求和）)111(8n 18 nn（6）合并法求和 针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例 11 求 cos1+cos2+cos3+cos178+cos179 的值.解：设 Sn cos1+cos2+cos3+cos178+cos179)180 cos(cos n n（找特殊性质项）Sn（cos1+cos179）+（cos2+cos178）+（cos3+cos177）+（cos89+cos91）+cos90（合并求和）0 例 12 在各项均为正数的等比数列中，若10 3 2 3 1 3 6 5log log log,9 a a a a a 求的值.解：设10 3 2 3 1 3log log log a a a Sn 由等比数列的性质 q p n ma a a a q p n m（找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N Ma a a log log log 得)log(log)log(log)log(log6 3 5 3 9 3 2 3 10 3 1 3a a a a a a Sn（合并求和）)(log)(log)(log6 5 3 9 2 3 10 1 3a a a a a a 9 log 9 log 9 log3 3 3 10（7）利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟记一些常用的数列的和的公式二教学重点特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的 学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式例已知求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公 导等比数列的前项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中分别是等差数列和等比数列例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得例求数学习必备 欢迎下载 求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例 13 求 11 111 111 11 1个 n 之和.解：由于)1 10(919 999911 1111 1 kk k 个 个（找通项及特征）11 111 111 11 1个 n)1 10(91)1 10(91)1 10(91)1 10(913 2 1 n（分组求和）)1 1 1 1(91)10 10 10 10(9113 2 1 个 nn 9 1 10)1 10(1091 nn)9 10 10(8111nn 例 14 已知数列 an：11)(1(,)3)(1(8nn n na a nn na 求的值.解：)4)(2(1)3)(1(1)1(8)(1(1 n n n nn a a nn n（找通项及特征）)4)(3(1)4)(2(1 8 n n n n（设制分组）)4131(8)4121(4n n n n（裂项）1 1 11)4131(8)4121(4)(1(n n nn nn n n na a n（分组、裂项求和）418)4131(4 313 课后习题：一、选择题 1已知 na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为 na的前n项和，*n N，则10S的值为（）A-110 B-90 C 90 D 110 2数列 na的首项为 3，nb为等差数列且*1 n n nb a a n N。若则3 102,12 b b，加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟记一些常用的数列的和的公式二教学重点特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的 学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式例已知求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公 导等比数列的前项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中分别是等差数列和等比数列例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得例求数学习必备 欢迎下载 则 8a=（）A 0 B 3 C 8 D 11 3 已知定义在 0,上的函数()f x满足()3(2)f x f x，当 0,2 x 时，2()2 f x x x 设()f x在 2 2,2 n n 上的最大值为*()na n N，则na=（）A 3n B 1()3n C 13n D 11()3n 4设 na是各项为正数的无穷数列，iA是边长为1,i ia a的矩形面积（1,2,3,i），则 nA为等比数列的充要条件为（）A na是等比数列。B1 3 2 1,na a a 或2 4 2,na a a 是等比数列。C1 3 2 1,na a a 和2 4 2,na a a 均是等比数列。D 1 3 2 1,na a a 和2 4 2,na a a 均是等比数列，且公比相同。5设nS为等差数列 na的前 n 项和，若11 a，公差2 d，224k kS S，则k=（）A 8 B 7 C 6 D 5 6已知数列 na的前 n 项和nS满足：n m m nS S S，且11 a 那么10a（）A 1 B 9 C 10 D 55 二、填空题 7设nS是等差数列 na（*n N），的前n项和，且1 41,7 a a，则9S 8在等差数列 na中，3 737 a a，则2 4 6 8a a a a _ 9 在等比数列 na中，a112a，44 a，则公比 q=_；1 2 na a a _。10已知ABC 的一个内角为120，并且三边长构成公差为 4 的 等 差 数 列，则ABC 的 面 积 为_.11 九章算术“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共为 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 升。12等差数列 na前 9 项的和等于前 4 项的和若1 41,0ka a a，则 k=_ 三、解答题 13已知等差数列 na 满足2 6 80,10 a a a（I）求数列 na 的通项公式；加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟记一些常用的数列的和的公式二教学重点特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的 学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式例已知求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公 导等比数列的前项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中分别是等差数列和等比数列例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得例求数学习必备 欢迎下载（II）求数列12nna 的前 n 项和 14已知等比数列 na的各项均为正数，且1 22 3 1 a a 23 2 69 a a a（I）求数列 na的通项公式（II）设3 1 3 2 3log log logn nb a a a，求数列1nb 的前 n 项和nT 15已知公差不为 0 的等差数列 na的首项1a为a（a R）,设数列的前 n 项和为nS，且11a，21a，41a成等比数列（1）求数列 na的通项公式及nS 16求下列数列的前n项和nS：（1）5，55，555，5555，5(10 1)9n，；（2）1 1 1 1,1 3 2 4 3 5(2)n n；（3）11nan n；（4）2 3,2,3,na a a na；（5）1 3,2 4,3 5,(2),n n；（6）2 2 2 2sin 1 sin 2 sin 3 sin 89（7）已知数列 na的通项6 5()2()nnn nan为奇数为偶数，求其前n项和nS 加错位相减拆项相消等重要的数学方法进行求和运算熟记一些常用的数列的和的公式二教学重点特殊数列求和的方法数列是高中代数的重要内容又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的 学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式等比数列求和公式例已知求的前项和解由由等比数列求和公式得利用常用公 导等比数列的前项和公式时所用的方法这种方法主要用于求数列的前项和其中分别是等差数列和等比数列例求和解由题可知的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积设设制错位得错位相减再利用等比数列的求和公式得例求数