数学教案数列基础教师版_中学教育-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 数列基础知识 一、等差数列与等比数列 等差数列 等比数列 文字定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。符号定义 1 n na a d 1 12n nna aa 1(0)nnaq qa 21 1(0)n n n na a a a 分类 递增数列：0 d 递减数列：0 d 常数数列：0 d 递增数列：1 10 1 0 0 1 a q a q，或，递减数列：1 10 1 0 0 1 a q a q，或，摆动数列：0 q 常数数列：1 q 通项 1(1)()n ma a n d pn q a n m d 其中1,p d q a d 11n n mn ma a q a q（0 q）前n项和 211()(1)2 2nnn a a n n dS na pn qn 其中1,2 2d dp q a 11(1)(1)1(1)nna qqS qna q 中项,2 a b c b a c 成等差的充要条件:2,a b c b ac 成等比的必要不充分条件：主要性质 等和性：等差数列 na 若m n p q 则m n p qa a a a 推论：若2 m n p 则2m n pa a a 2n k n k na a a 1 2 1 3 2 n n na a a a a a 即：首尾颠倒相加，则和相等 等积性：等比数列 na 若m n p q 则m n p qa a a a 推论：若2 m n p 则2()m n pa a a 2()n k n k na a a 1 2 1 3 2 n n na a a a a a 即：首尾颠倒相乘，则积相等 其 1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列是等差数列。即：2 3 2,m m m m ms s s s s 等差，公差为2m d则1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是等比数列。即：2 3 2,m m m m ms s s s s 等比，公比为mq。学习必备 欢迎下载 它 性 质 有 3 23()m m ms s s 2、从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。如：1 4 7 10,a a a a（下标成等差数列）3、,n na b等 差，则 2na，2 1 na，nka b，n npa qb 也等差。4、等差数列 na的通项公式是n的一次函数，即：na dn c(0 d)等差数列 na的前n项和公式是一个没有常数项的n的二次函数，即：2nS An Bn(0 d)5、项数为奇数2 1 n 的等差数列有：1sns n奇偶ns s a a 奇 偶 中 2 1(2 1)n ns n a 项数为偶数2n的等差数列有：1nnsas a奇偶，s s nd 偶 奇 2 1()n n ns n a a 6、,n ma m a n 则0m na n ms s 则0()m ns n m,n ms m s n 则()m ns m n 2、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。如：1 4 7 10,a a a a（下标成等差数列）3、,n na b等比，则 2na，2 1 na，nka 也等比。其中0 k 4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数，即：nna cq，其中1acq 等比数列的前n项和公式是一个平移加振幅的n的指数函数，即：(1)nns cq c q 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。证明方法 证明一个数列为等差数列的方法：1、定义法：1()n na a d 常数 2、中项法：1 12(2)n n na a a n 证明一个数列为等比数列的方法：1、定义法：1()nnaqa 常数 2、中项法：1 1(2,0)n n n na a a n a 2（）设元技巧 三数等差：,a d a a d 四数等差：3,3 a d a d a d a d 三数等比：2,aa aq a aq aqq或 四数等比：2 3,a aq aq aq 起每一项与它的前一项的差是同一个常数那么这个数列就叫等差数列这个常数叫等差数列的公差一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比是同一个常数那么这个数列就叫等比数列这个常数叫等比数列的公比符号定义 条件成等比的必要不充分条件主要性质等和性等差数列若则推论若则即首尾颠倒相加则和相等等积性等比数列若则推论若则即首尾颠倒相乘则积相等等比数列中连续项的和组成的新数列是其等差数列中连续项的和组成的新数列是等 列是一个等差数列如下标成等差数列等差则也等差等差数列的通项公式是的一次函数即等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数即项数为奇数的等差数列有奇偶奇偶中项数为偶数的等差数列有奇偶偶奇则则则从等比数学习必备 欢迎下载 联 系 1、若数列 na是等差数列，则数列 naC是等比数列，公比为dC，其中C是常数，d是 na的公差。2、若数列 na是等比数列，且0na，则数列 loga na是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且0,1 a a，q是 na的公比。二、数列的项na 与前 n 项和nS 的关系：11(1)(2)nn ns nas s n 课本题 1等差数列 na 前 n 项之和为nS，若3 1710 a a，则19S 的值为。95 2已知数列 na 中，3,601 1 n na a a，那么|30 2 1a a a 的值为。765 3等差数列 na 中，01 a，且13 85 3 a a，则 nS 中最大项为。20 4已知一个等差数列前五项的和是 120，后五项的和是 180，又各项之和是 360，则此数列共有 项。12 5设等比数列 na 中，每项均是正数，且 816 5 a a，则 10 3 2 3 1 3log log log a a a 20 6设3 31)(xx f，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得：)13()12()11()0()10()11()12(f f f f f f f 的值为 13 7已知数列 na的通项12)1 2(nnn a，前 n 项和为nS，则nS=(2n-1)2n+13。8数列 na 中，)2(1 1 2,1,21 12 1 na a aa an n n，则其通项公式为 na n2。P32 习题 5（2）;P37 练习 5;P39 习题 7，12;P41 练习 4;P45 习题 2（1），7，12，13;P48 练习 2（2）;P51 例 4，练习 2；P5 习题 10；P55 练习 4；P58 习题 4，6，7；P62 复习题 4，7，8 高考题 1.已知等差数列 na 满足2 44 a a，3 510 a a，则它的前 10 项的和10S 95 2.已知数列 na 对任意的*p q N，满足p q p qa a a，且26 a，那么10a 等于-30 3.已知等比数列 na 中21 a，则其前 3 项的和3S 的取值范围是,1 3,4.若等差数列 na 的前 5 项和525 S，且23 a，则7a 13 5.在数列 na 中，12 a，11ln(1)n na an，则na 2 ln n 6.已知 na 是等差数列，1 24 a a，7 828 a a，则该数列前 10 项和10S 等于 100 7.记等差数列 na 的前 n 项和为nS，若112a，420 S，则6S 48 起每一项与它的前一项的差是同一个常数那么这个数列就叫等差数列这个常数叫等差数列的公差一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比是同一个常数那么这个数列就叫等比数列这个常数叫等比数列的公比符号定义 条件成等比的必要不充分条件主要性质等和性等差数列若则推论若则即首尾颠倒相加则和相等等积性等比数列若则推论若则即首尾颠倒相乘则积相等等比数列中连续项的和组成的新数列是其等差数列中连续项的和组成的新数列是等 列是一个等差数列如下标成等差数列等差则也等差等差数列的通项公式是的一次函数即等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数即项数为奇数的等差数列有奇偶奇偶中项数为偶数的等差数列有奇偶偶奇则则则从等比数学习必备 欢迎下载 8.已知 na 是等比数列，4125 2 a a，则 1 3 2 2 1 n na a a a a a=332（n 4 1）9.设等比数列 na 的公比 2 q，前 n 项和为nS，则 42Sa 152 10.将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律，第 n 行（n 3）从左向右的第 3 个数为 262n n 11.已 知 函 数()2xf x,等 差 数 列 xa 的 公 差 为 2.若2 4 6 8 10()4 f a a a a a,则2 1 2 3 10log()()()()f a f a f a f a.6 12.设 Sn=是等差数列 an 的前 n 项和，a12=-8,S9=-9,则 S16=.-72 13.设数列 na的前n项和为nS已知1a a，13nn na S，*n N（）设3nn nb S，求数列 nb的通项公式；（）若1 n na a，*n N，求a的取值范围（）依题意，1 13nn n n nS S a S，即12 3nn nS S，由此得113 2(3)n nn nS S 因此，所求通项公式为13(3)2n nn nb S a，*n N（）由知13(3)2n nnS a，*n N，于是，当2 n时，1 n n na S S 1 1 23(3)2 3(3)2n n n na a 1 22 3(3)2n na，1 214 3(3)2n nn na a a 2232 12 32nna，当2 n时，21312 3 02nn na a a 9 a 又2 1 13 a a a 综上，所求的a的取值范围是 9，起每一项与它的前一项的差是同一个常数那么这个数列就叫等差数列这个常数叫等差数列的公差一般地如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比是同一个常数那么这个数列就叫等比数列这个常数叫等比数列的公比符号定义 条件成等比的必要不充分条件主要性质等和性等差数列若则推论若则即首尾颠倒相加则和相等等积性等比数列若则推论若则即首尾颠倒相乘则积相等等比数列中连续项的和组成的新数列是其等差数列中连续项的和组成的新数列是等 列是一个等差数列如下标成等差数列等差则也等差等差数列的通项公式是的一次函数即等差数列的前项和公式是一个没有常数项的的二次函数即项数为奇数的等差数列有奇偶奇偶中项数为偶数的等差数列有奇偶偶奇则则则从等比数