数列求和的基本方法与技巧(高一)_中学教育-高考.pdf

学习必备 欢迎下载 数列求和的基本方法与技巧（高一）数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧。一、公式求和法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列求和公式：dn nnaa a nSnn2)1(2)(11 2、等比数列求和公式：)1(1 1)1()1(1 11qqq a aqq aq naSnnn 3、111 2 3.(1)2nnkS k n n n 2 2 2 2 2111 2 3.(1)(2 1)6nnkS k n n n n 3 3 3 3 3 2 2111 2 3.(1 2 3.)(1)2nnkS k n n n n 练习：21 2 2.2 _n（注意：等比数列，共有 n+1 项）1 2 3.2 _n（注意：等差数列，共有2n项）已知21 2 2.2nna，100na 则数列 的前 项和为 _ 数列 7，77，777，7777,，的一个通项公式为 _ 例 1、求和：nx x x x 3 2 解：当 x=0 时，,0 nS 当 x=1 时，,n Sn 当 x0,且 x1 时，xx xxx xSn nn1 111.例 2、已知3 log1log23 x，求nkkx1。解：由212 log log3 log1log3 323 x x x 由等比数列求和公式得 nkknx S1 nnnxx x211211)211(211)1(练习：设1 2 3.,nS n n N，求1()(32)nnSf nn S的最大值.二、分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或学习必备 欢迎下载 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例 3、求和:nnyxyxyx1 1 122 1,1,0 y x x 解:原式=nx x x x 3 2 ny y y1 1 12=yy yxx xnn1111111=n nn ny yyxx x 1111 注意：若条件中未给出参数的条件，则应对 x=0,x=1,y=1 进行讨论。例 4、已知11 2 3 4 5.(1).nnS n 设，求17 30 512 s s s 分析：注意1 2 3 4 5 6.1 解：17 30 502 8(1)17 2 15(1)25(1)51 47 s s s 例 5、求数列的前n项和：2 11 1 11 1,4,7,.,3 2,.nna a a 解：设)2 31()71()41()1 1(1 2 na a aSnn 2 11 1 1(1)(1 4 7 3 2)nna a a 当1 a时，2)1 3(n nn Sn 2)1 3(n n 当1 a时，2)1 3(1111n naaSnn2)1 3(11n naa an 例 6 求数列)2)(1(n n n的前n项和。解：设k k k k k k ak 2 33 2)1 2)(1(nknk k k S1)1 2)(1()3 2(2 31k k knk 将其每一项拆开再重新组合得 k k k Snknknkn 121313 2)2 1()2 1(3)2 1(22 2 2 3 3 3n n n 2)1(2)1 2)(1(2)1(2 2 n n n n n n n 各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧一公式求和法利用下列常用求和公式求 有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时当且时例已知求解由由等比数列求和公式得练习设求的最大值二分组求和法有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差等 应对进行讨论例已知设求分析注意解例求数列的前项和解设当时当时例求数列的前项和解设将其每一项拆开再重新组合得学习必备欢迎下载三裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项学习必备 欢迎下载 2)2()1(2 n n n 三、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解为(1)()na f n f n 的形式，然后相互抵消，最终达到求和的目的。通常有以下情形：（1）11 1)1(1 n n n nan（2）1 1 1 1()(2 1)(2 1)2 2 1 2 1nan n n n（3）1 1 1 1(1)(2)2(1)(1)(2)nan n n n n n n（4）111na n nn n 例 7、求和：113 212 11 n n 分析：由 1111 n nn nn nan=1 11n nnn nn=11 1n n 解：原式=11 1 1113121211n n n n=111n=1 nn 例 9、求数列1 1 1,.,.1 2 2 3 1 n n 的前n项和。解：设n nn nan 111 则 113 212 11 n nSn)1()2 3()1 2(n n 1 1 n 例 9、在数列 na中，1 1211 nnn nan，又12n nna ab，求数列 nb的前n项的和.解：2 1 1211 nnnn nan)11 1(82122 n nn nbn 数列 nb的前n项和 各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧一公式求和法利用下列常用求和公式求 有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时当且时例已知求解由由等比数列求和公式得练习设求的最大值二分组求和法有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差等 应对进行讨论例已知设求分析注意解例求数列的前项和解设当时当时例求数列的前项和解设将其每一项拆开再重新组合得学习必备欢迎下载三裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项学习必备 欢迎下载)11 1()4131()3121()211(8 n nSn)111(8n 18 nn 1 1 n 四、错位相减求和法 例 10、求和：nn21242313 2 分析：原式等价于 n nn n211212142132121 3 2 1 其中 11.2nna n，象这种通项公式由等差与等比的积组成的数列（混合积数列）的前 n 项和，联系课本中等比数列前 n 项和公式的推导过程，可采用错位相减法求得.解：令nS 1 2 3 11 1 1 1 12 3 4 12 2 2 2 2n nn n nS21 2 3 4 11 1 1 1 12 3 4 12 2 2 2 2n nn n 得：2 3 11 1 1 1 112 2 2 2 2nn nnS n nnnS212121212121 3 2 11 112 2121212nnn 2 12 12 2n nn 332nn 练习：求和：2 32 3nx x x nx（注意分类讨论）求和：1 3 2)1 2(7 5 3 1 nnx n x x x S（注意分类讨论）例 11、求和：.0 1 2 7 5 3 11 3 2 a a n a a an 解：当 a=1 时，1 2 5 3 1 n Sn 221 2 1nn n 当 a1 时，2 3 11 3 5 7.2 1nnS a a a n a naS 2 3 13 5.2 3 2 1n na a a n a n a 得：2 11 1 2 2 2 2 1n nna S a a a n a 各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧一公式求和法利用下列常用求和公式求 有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时当且时例已知求解由由等比数列求和公式得练习设求的最大值二分组求和法有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差等 应对进行讨论例已知设求分析注意解例求数列的前项和解设当时当时例求数列的前项和解设将其每一项拆开再重新组合得学习必备欢迎下载三裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项学习必备 欢迎下载 111 2 2 11nna an aa aa naa aSn nn 11 2 1122 五、对称项求和法（高斯法）这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是找到数列各项相应的对称项，两两结合相加。有时可将原数列反序排列后再与原数列相加，称为反序相加法。例 12、已知 1()1f xx，求 1 1 1(1)(2)(3).(2008)(1)()().()2 3 2008f f f f f f f f 分析：1 1 1 1()()111 1 11xf x fx x x xx 解：原式1 1 1(1)(1)(2)()(3)().(2008)()2 3 2008f f f f f f f f 1 1 1.1 2008 12008（个 相加）各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一除了等差数列和等比数列有求和公式外大部分数列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧一公式求和法利用下列常用求和公式求 有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时当且时例已知求解由由等比数列求和公式得练习设求的最大值二分组求和法有一类数列既不是等差数列也不是等比数列若将这类数列适当拆开可分为几个等差等 应对进行讨论例已知设求分析注意解例求数列的前项和解设当时当时例求数列的前项和解设将其每一项拆开再重新组合得学习必备欢迎下载三裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项