数学分析习题及教案_小学教育-小学学案.pdf
学习必备 欢迎下载 一、单项选择题（每小题 3 分，3 6 18 分）1、下列级数中条件收敛的是（）A1(1)nn B 1(1)nnn C 21(1)nnn D 11(1)nnn 2、若f是(,)内以2为周期的按段光滑的函数,则f的傅里叶（Fourier）级数在它的间断点x处（）A 收敛于()f x B 收敛于1(0)(0)2f x f x C 发散 D可能收敛也可能发散 3、函数)(x f在,b a上可积的必要条件是（）A有界 B连续 C单调 D存在原函数 4、设()f x的一个原函数为ln x，则()f x（）A 1x Bln x x C 21x D xe 5、已知反常积分20(0)1dxkkx收敛于 1，则k（）A 2 B22 C 2 D 24 6、2 3 1ln(ln)(ln)(1)(ln)n nx x x x 收敛，则（）A x e B x e C x 为 任 意 实 数 D 1e x e 1、已知幂级数1nnna x在2 x 处条件收敛，则它的收敛半径为 数学分析复习资料（11021102 班专用）二、填空题（每小题 3 分，3 6 18 分）学习必备 欢迎下载 2、若数项级数1nnu的第n个部分和21nnSn，则其通项nu，和S 3、曲线1yx与直线1 x，2 x 及x轴所围成的曲边梯形面积为 4、已知由定积分的换元积分法可得，10()()bx xae f e dx f x dx，则a，b 5、数集(1)1,2,3,1nnnn 的聚点为 6、函数2()xf x e 的麦克劳林（Maclaurin）展开式为 1、(1)dxx x 2、2ln x x dx 3、2 2 0(0)aa x dx a 4、2 00cos limsinxxt dtx 5、2 01 sin 2 x dx 四、解答题（第 1 小题 6 分，第 2、3 小 题各 8 分，共 22 分）1、讨论函数项级数21sinnnxn在区间(,)上的一致收敛性 2、求幂级数1nnxn的收敛域以及收敛区间内的和函数 3、设()f x x,将f在(,)上展为傅里叶（Fourier）级数 五、证明题（每小题 6 分，6 2 12 分）1、已知级数1nna与1nnc都收敛，且,1,2,3 n n na b c n，证明：级数1nnb也收敛 2、证明：2 2 0 0sin cos n nx dx x dx 叶级数在它的间断点处收敛于收敛于发散可能收敛也可能发散函数在上可积的必要条件是有界连续单调存在原函数设的一个原函数为则已知反常积分收敛于则收敛则为任意实数已知幂级数在处条件收敛则它的收敛半径为数学分析复 的曲边梯形面积为已知由定积分的换元积分法可得则数集的聚点为函数的麦克劳林展开式为四解答题第小题分第小题各分共分讨论函数项级数在区间上的一致收敛性求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数设将在上展为傅里叶级 二填空题每小题分分三计算题每小题分分解解由分部积分公式得解令由定积分的换元积分公式得解由洛必达法则得学习必备欢迎下载解四解答题第小题分第小题各分共分解正整数而级数收敛故由判别法知解幂级数的收敛半径收敛区学习必备 欢迎下载 答案 一、单项选择题（每小题 3 分，3 6 18 分）B B A C D D 二、填空题（每小题 3 分，3 6 18 分）2 2,=2(1)nu Sn n l n 2 1,a b e 1 201,(,)!nnx xn 三、计算题（每小题 6 分，6 5 30 分）1.解 1 1 1(1)1 x x x x 1(1)dxx x 1 1()1dxx x ln ln 1.x x C 2.解 由分部积分公式得 2 31ln ln3x xdx xdx 3 31 1ln ln3 3x x x d x 3 31 1 1ln3 3x x x dxx 3 21 1ln3 3x x x dx 3 31 1ln3 9x x x C 3.解 令sin,0,2x a t t 由定积分的换元积分公式，得 2 20aa x dx 2 220cos a tdt220(1 cos 2)2at dt 2201(sin 2)2 2at t 2.4a 4.解 由洛必达(L Hospital)法则得 叶级数在它的间断点处收敛于收敛于发散可能收敛也可能发散函数在上可积的必要条件是有界连续单调存在原函数设的一个原函数为则已知反常积分收敛于则收敛则为任意实数已知幂级数在处条件收敛则它的收敛半径为数学分析复 的曲边梯形面积为已知由定积分的换元积分法可得则数集的聚点为函数的麦克劳林展开式为四解答题第小题分第小题各分共分讨论函数项级数在区间上的一致收敛性求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数设将在上展为傅里叶级 二填空题每小题分分三计算题每小题分分解解由分部积分公式得解令由定积分的换元积分公式得解由洛必达法则得学习必备欢迎下载解四解答题第小题分第小题各分共分解正整数而级数收敛故由判别法知解幂级数的收敛半径收敛区学习必备 欢迎下载 200cos limsinxxtdtx20coslimcosxxx0limcosxx 1 5.解 20 1 sin2xdx 220(sin cos)x x dx 20 sin cos x xdx 4 204(cos sin)(sin cos)x x dx x x dx 2404(sin cos)(sin cos)x x x x 2 2 2.四、解答题（第 1 小题 6 分，第 2、3 小题各 8 分，共 22 分）1.解(,),x n+（正整数）2 2sin 1 nxn n 而级数211nn收敛，故由 M 判别法知，2.解 幂级数1nnxn的收敛半径111limnnRn，收敛区间为(1,1)易知1nnxn在1 x 处收敛，而在1 x 发散，故1nnxn的收敛域为 1,1)01,(1,1)1nnx xx 逐项求积分可得 21sinnnxn在区间(,)上一致收敛 叶级数在它的间断点处收敛于收敛于发散可能收敛也可能发散函数在上可积的必要条件是有界连续单调存在原函数设的一个原函数为则已知反常积分收敛于则收敛则为任意实数已知幂级数在处条件收敛则它的收敛半径为数学分析复 的曲边梯形面积为已知由定积分的换元积分法可得则数集的聚点为函数的麦克劳林展开式为四解答题第小题分第小题各分共分讨论函数项级数在区间上的一致收敛性求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数设将在上展为傅里叶级 二填空题每小题分分三计算题每小题分分解解由分部积分公式得解令由定积分的换元积分公式得解由洛必达法则得学习必备欢迎下载解四解答题第小题分第小题各分共分解正整数而级数收敛故由判别法知解幂级数的收敛半径收敛区学习必备 欢迎下载 0 001,(1,1)1x xnndt t dt xt 即10 1ln(1),(1,1).1n nn nx xx xn n 3.解 函数f及其周期延拓后的图形如下 函数f显然是按段光滑的，故由收敛性定理知它可以展开为 Fourier 级数。由于()f x在(,)为奇函数，故 0,0,1,2,na n，而 1sin1 1 cos cosnb x nxdxx nx nxdxn n 1(1)2nn 所以在区间(,)上，11sin()2(1).nnnxf x xn 五、证明题（每小题 5 分，5 2 10 分）1.证明 由1nna与1nnc都收敛知，级数1()n nnc a也收敛。又由,1,2,3 n n na b c n，可知，0,1,2,3,n n n nb a c a n 从而由正项级数的比较判别法知 叶级数在它的间断点处收敛于收敛于发散可能收敛也可能发散函数在上可积的必要条件是有界连续单调存在原函数设的一个原函数为则已知反常积分收敛于则收敛则为任意实数已知幂级数在处条件收敛则它的收敛半径为数学分析复 的曲边梯形面积为已知由定积分的换元积分法可得则数集的聚点为函数的麦克劳林展开式为四解答题第小题分第小题各分共分讨论函数项级数在区间上的一致收敛性求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数设将在上展为傅里叶级 二填空题每小题分分三计算题每小题分分解解由分部积分公式得解令由定积分的换元积分公式得解由洛必达法则得学习必备欢迎下载解四解答题第小题分第小题各分共分解正整数而级数收敛故由判别法知解幂级数的收敛半径收敛区学习必备 欢迎下载 1()n nnb a 收敛，于是由(),1,2,3,n n n nb b a a n 知级数1nnb收敛 2.证明 令2x t，则2t x.由定积分的换元积分公式，得 0202 sin sin()2n nxdx t dt 2 20 0sin()cos2n nt dt tdt 20cosnxdx（由于总结的定理和答案要打出来太长，总共有七八十页，要打出来的话有点太多，得不偿失，所以大家还是多看看书吧，顺便做两套题，大家加油哦！）叶级数在它的间断点处收敛于收敛于发散可能收敛也可能发散函数在上可积的必要条件是有界连续单调存在原函数设的一个原函数为则已知反常积分收敛于则收敛则为任意实数已知幂级数在处条件收敛则它的收敛半径为数学分析复 的曲边梯形面积为已知由定积分的换元积分法可得则数集的聚点为函数的麦克劳林展开式为四解答题第小题分第小题各分共分讨论函数项级数在区间上的一致收敛性求幂级数的收敛域以及收敛区间内的和函数设将在上展为傅里叶级 二填空题每小题分分三计算题每小题分分解解由分部积分公式得解令由定积分的换元积分公式得解由洛必达法则得学习必备欢迎下载解四解答题第小题分第小题各分共分解正整数而级数收敛故由判别法知解幂级数的收敛半径收敛区
