数学北师大版八年级下册因式分解_中学教育-中考.pdf

-.-.word.zl.因式分解 一、概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。学习它，既可以复习的整式四那么运算，又为学习分式打好根底；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。分解因式与整式乘法互为逆变形。二、因式分解的方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。注意三原那么 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正例如：-32x+x=-x(3x-1)根本方法 1】提取公因式 这种方法比拟常规、简单，必须掌握。有时提公因式后再用公式法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等 例 1：22x-3x 解：=x(2x-3)针对性练习：提公因式法 1.用提取公因式法分解因式正确的选项是 A.12abc 9a 2b2=3abc(4 3ab)B.3x2y 3xy+6y=3y(x2 x+2y)C.a 2+ab ac=a(a b+c)D.x2y+5xy y=y(x2+5x)2.以下多项式中,能用提公因式法分解因式的是()A.x2-y B.x2+2x C.x2+y 2 D.x 2-xy+y 2 3.如果 b a=6，ab=7，那么 a 2b ab 2 的值是()A.42 B.42 C.13 D.13 4.将下面各式进展因式分解(1)c b a c ab b a 2 3 3 2 36 12 8(2)ab ab b a 7 14 212 2-.-.word.zl.(3)ma 2-4ma+4a(4)-28y 4-21y 3+7y 2 5.2x y=81，xy=2，求 2x4y3 x3y4 的值.6.(4x-2 y-1)2+2 xy=0，求 4x2y-4 x2y2-2 xy 2 的值.【随堂练习】1、分解因式：2、分解因式：；3.分解因式：2】公式法 将式子利用公式来分解，也是比拟简单的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等。注意：使用公式法前，建议先提取公因式。例 2：2x-4分解因式 分析：此题较为简单，可以看出 4=2 2，适用平方差公式 a 2-b 2=(a+b)(a-b)2 解：原式=(x+2)(x-2)【随堂练习】1、以下多项式中，能用公式法分解因式的是 A B C D 2.分解因式：3.分解因式：意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.针对性练习：一、平方差公式：)(2 2b a b a b a 1.填空 22 221 1_()()4 411(_)(_)91 1_(2)(2)2 2x x xa bx x y x y 2.将以下各式因式分解(1)2 29n m(2)416 1 m(3)4 5 2 32 2 a b c a b c(4)n nb a b a)()(2(5)()(2 2x y b y x a(6)2 2)(16)(49 n m n m 二完全平方公式：2 2 2)(2 b a b ab a 1、以下多项式，能用完全平方公式分解因式的是()A、x2+xy+y 2 B、x2 2x 1 C、-x 2-2x-1 D、x2+4y 2 2、多项式 4a2+ma+25 是完全平方式，那么 m 的值是()A.10 B.20 C.20 D.20 3、x2+2xy y2 的一个因式是 x y，那么另一个因式是 _.4、假设 x2+2(a+4)x+25 是完全平方式，那么 a 的值是 _.5将以下更是进展因式分解(1)x2+6ax+9a 2(2)4 4 2 n ny y 3 4 2 2 44 n n m m(4)2x3y216x2y+32x；(5)3ax2+6axy+3ay 2;(6)249 1 14 x x(7)1)(2)(2 q p q p(8)1)1(2)1(2 4 x x 意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.【课后练习】1、将以下各式进展因式分解：(1)12 x3y-2xy 3；(2)(5a2-2b 2)2-2a2-5b 2 2。2、将以下各式因式分解：1 1-16x 2；(2)25x2y2-49a 2；(3)-x 4+9121 y2。3、把以下各式进展因式分解：(1)(3x+2y)2-x-y 2；(2)-(x+2)2+16(x-1)2。4、因式分解 4b2-4ab+a 2 正确的选项是 A 4b(b-a)+a 2 B(2b-a)2 C(2b-a)(2b-a)D(2b+a)2 5、x y=1，xy=2，求 x3y 2x2y2+xy 3 的值.意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.因式分解 识点 1：分解因式的定义 1分解因式：把一个多项式化成几个整式的乘的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法互为逆运算。如：判断以下从左边到右边的变形是否为分解因式：8)3)(3(8 9 2 x x x x)4 9)(4 9(4 9 2 2y x y x y x 9)3)(3(2 x x x)2(2 2 2y x xy xy xy y x 知识点 2：公因式 公因式的定义：我们把多项式各项都含有的一样因式，叫做这个多项式各项的公因式。公因式确实定：1符号:假设第一项为哪一项负号那么先把负号提出来 提出负号后括号里每一项都要变号 2系数：取系数的最大公约数；3字母：取字母或多项式的指数最低的；4所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1.的公因式是 多项式 9 6 3ab-aby abx _ 2.多项式 3 2 2 3 28 16 24 a b c a b ab c 分解因式时，应提取的公因式是 A 24ab c B38ab C32ab D3 324a b c 3.3 4 2)()()(n m m n y n m x 的公因式是 _ 知识点 3：用提公因式法分解因式 提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。例如：1.可以直接提公因式的类型：13 4 4 2 2 312 6 9 b a b a b a=_；21 1 n n na a a=_ 35 4 2)()()(b a b a y b a x=_ 4解方程组2 35 3 2x yx y，求代数式()()()2 2 3 3 2 x y x y x x y 的值 意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.2.式子的第一项为负号的类型：13 3 2 2 28 6 4 y x y x y x=_ _ 2 4 3)(12)(8)(4 n m n m n m=_ _ 22 218 8 y x=_ _ 练习：1多项式:aby abx ab 24 18 6 的一个因式是ab 6,那么另一个因式是()y x A 4 3 1.y x B 4 3 1.C y x 4 3 1 D.y x 4 3 1 2.分解因式 5(y x)3 10y(y x)3 3.公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的，要先确定取哪个因式为公因式，然后把另外的只相差符号的因式的负号提出来，使其统一于之前确定的那个公因式。假设同时含奇数次和偶数次那么一般直接调换偶数次里面的字母的位置，如）（）（）（）（1-x-y x-y x-y-x-y)(-)(5 5 6 5 6 x y y x 例：(1)b a 2+a a b+b b a(2)a+b c a b+c+b a+c b a c 3a a b a b a ab b a()()()3 2 22 2 练习：1把多项式 m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于(A)(a-2)(m2+m)(B)(a-2)(m2-m)(C)m(a-2)(m-1)(D)m(a-2)(m+1)意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.2多项式)3()3(3y x y x 的分解因式结果 A)(3(3x x y B)(3(3x x y C)1)(3(2x y x D)1)(3(x y x 3分解因式：1)()()(y x x y n y x m _)2 6(x y)4 3y(y x)5 知识点 4 公式法分解因式 公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法。一、平方差公式分解因式法 平方差公式：两个数的平方差，等于这两个的和与这两个数的差的积。即 a2-b 2=(a+b)(a-b)特点：a.是一个二项式，每项都可以化成整式的平方.b.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型 1 以下多项式中不能用平方差公式分解的是(A)-a 2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16m4-25 n2p2 2 以下各式中，能用平方差分解因式的是 A 2 2y x B2 2y x C2 2xy x D21 y 2、直接用平方差的类型 1 2 29 16 y x 21 252 x 314 x 3、整体的类型：12 2)(n n m 22 2)3 2()(y x y x 4、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m34m=(2)a a 3 练习：将以下各式分解因式 1 2224 1 x x(2)100 x2 81y 2；(3)9(a b)2(x y)2；意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.45a a 5x x 93 6)()(3n m n m 二、完全平方式分解因式法 完全平方公式：两个数的平方和，加上或减去这两数的乘积的 2 倍，等于这两个数的和或差的平方。即 a2+2ab+b 2=(a+b)2;a2-2ab+b 2=(a-b)2 特点：1多项式是三项式；2其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；3另一项为哪一项这两数或两式乘积的 2 倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进展因式分解 如：以下多项式能分解因式的是 Ay x 2 B 2 2y x Cy y x 2 2 D9 6 2 x x 2、关于求式子中的未知数的问题 如：1假设多项式16 2 kx x是完全平方式，那么 k 的值为 A 4 B 4 C 8 D 4 2假设k x x 6 9 2是关于 x 的完全平方式，那么 k=3.假设49)3(2 2 x m x是关于 x 的完全平方式那么 m=_ 3、直接用完全平方公式分解因式的类型(1)28 16 x x；(2)2 24 12 9 x xy y；(3)224xxy y；(4)2 24 49 3m mn n 4、整体用完全平方式的类型(1)(x 2)2 12(x 2)36；2 2)()(6 9 b a b a 5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型(1)-4x 3+16x 2-16x；(2)21ax2y2+2axy+2a 3：2,1 y x ab，求xyab aby abx 6 3 3 2 2 的值 意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.练习：分解因式 14 4 2 x x 2 64 162 2 ax x a 3 4 2 2 416 8 b b a a 449)(14)(2 y x y x 52)()(6 9 b a b a 62 2 312 12 3 xy y x x 7212 22 x x 知识点 5、十字相乘法分解因式 十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：x+a x+b=ab x b a x)(2，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做十字相乘法。如:分解因式：(1)10 7 2 x x(2)3 5 22 x x(3)a2+6ab+5 b2(4)x2+5x+6(5)x2-5 x+6(6)x2-5 x-6 练习：(1)x2+7x+12(2)x2-8 x+12(3)x2-x-12(4)x2+4x-12(5)y 2+23y+22(6)x2-8 x-20(7)x2+9x y-36 y 2 知识点 6、分组的方法分解因式 如(1)m m m 20 5 44 3(2)1 4 42 2 4 x y x 意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式-.-.word.zl.练习：12 2 24 4 9 c bc b a 212 4 32 3 x x x 32 29 6 2 y y x x 44 4 9 2 2 y y x 54 2 22 y xy xy 意义它是中学数学中最重要的恒等变形之一它被广泛地应用于初等数学之中是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活技巧性强学习这些方法与技巧不仅是掌握因式分解内容所必需的而且对于培养学生的解题技能开展学 养学生的观察注意运算能力又可以提高学生综合分析和解决问题的能力分解因式与整式乘法互为逆变形二因式分解的方法因式分解没有普的方法初中数学教材中主要介绍了提公因式法公式法而在竞赛上又有拆项和添减项法分组分解 等注意三原那么分解要彻底最后结果只有小括号最后结果中多项式首项系数为正例如根本方法提取公因式这种方法比拟常规简单必须掌握有时提公因式后再用公式法常用的公式有完全平方公式平方差公式等例解针对性练习提公因式