2014年湖北高考理科数学真题及答案.pdf

20142014 年湖北高考理科数学真题及答案年湖北高考理科数学真题及答案一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.i为虚数单位，则2)11(ii（）A.1B.1C.iD.i2.若二项式7)2(xax的展开式中31x的系数是 84，则实数a（）A.2B.54C.1D.423.设U为全集，BA,是集合，则“存在集合C使得CCBCAU,是“BA”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.根据如下样本数据x345678y4.02.55.00.50.20.3得到的回归方程为abxy，则（）A.0,0baB.0,0baC.0,0baD.0.0ba5.在如图所示的空间直角坐标系xyzO中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A.和B.和C.和D.和6.若函数1,1)(),(,0)()()(),(11为区间则称满足xgxfdxxgxfxgxf上的一组正交函数，给出三组函数：xxgxxf21cos)(,21sin)(；1)(,1)(xxgxxf；2)(,)(xxgxxf其中为区间 1,1的正交函数的组数是（）A.0B.1C.2D.37.由不等式0200 xyyx确定的平面区域记为1，不等式21yxyx，确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为（）A.81B.41C.43D.878.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一。该术相当于给出了有圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式21.36vL h它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3.那么近似公式2275vL h相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）A.227B.258C.15750D.3551139.已知12,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123FPF,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A.4 33B.2 33C.3D.210.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，)32(21)(222aaxaxxf.若Rx,f(x-1)f(x),则实数 a 的取值范围为A61,61B66,66C31,31D33,33二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（1114 题）11.设向量(3,3)a，(1,1)b，若abab，则实数_.12.直线1l：y=x+a和2l：y=x+b将单位圆22:1C xy分成长度相等的四段弧，则22ab_.13.设a是一个各位数字都不是 0 且没有重复数字的三位数.将组成a的 3 个数字按从小到大排成的三位数记为 I a，按从大到小排成的三位数记为 D a（例如815a，则 158I a，851D a）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b _.14.设 xf是定义在,0上的函数，且 0 xf，对任意0,0ba，若经过点 bfbafa,的直线与x轴的交点为0,c，则称c为ba,关于函数 xf的平均数，记为),(baMf，例如，当)0(1xxf时，可得2),(bacbaMf，即),(baMf为ba,的算术平均数.（1）当)0_(xxf时，),(baMf为ba,的几何平均数；（2）当当)0_(xxf时，),(baMf为ba,的调和平均数baab2；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修 4-1：几何证明选讲）如图，P为O的两条切线，切点分别为BA,，过PA的中点Q作割线交O于DC,两点，若,3,1CDQC则_PB16.（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C的参数方程是33tytx为参数t，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是2，则1C与2C交点的直角坐标为_17.（本小题满分 11 分）某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；()103cossin,0,24)1212f ttt t（）求实验室这一天的最大温差；（）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？18.（本小题满分 12 分）已知等差数列满足：=2，且，成等比数列.（）求数列的通项公式.（）记为数列的前 n 项和，是否存在正整数 n，使得若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.19.(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD 中，NMFE,分别是棱1111,DABAADAB的中点，点QP,分别在棱1DD,1BB上移动，且20BQDP.（）当1时，证明：直线1BC平面EFPQ;（）是否存在，使平面EFPQ与面PQMN所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分 12 分）计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站，过去 50 年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和。单位：亿立方米）都在 40 以上。其中，不足80 的年份有 10 年，不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年，超过 120 的年份有 5 年。将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立。（）求未来 4 年中，至多 1 年的年入流量超过 120 的概率；（）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X4080X80120X120X 发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为 5000 万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损 800 万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21.（满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，点 M 到点1,0F的距离比它到y轴的距离多 1，记点 M 的轨迹为 C.（）求轨迹为 C 的方程（）设斜率为 k 的直线l过定点2,1p，求直线l与轨迹 C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时 k 的相应取值范围。参考答案参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.B5.D6.C7.D8.B9.A10.B二、填空题11.312.213.49514.（）x；（）x（或填（）1kx；（）2k x，其中12,k k为正常数均可）15.416.（3，1）三、解答题17.解：（）因为31()102(cossin)102sin()212212123f tttt，又024t，所以7,1sin()131233123tt 当2t 时，sin()1123t；当14t 时，sin()1123t 于是()f t在0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8故实验室这一天最高温度为 12，最低温度为 8，最大温差为 4。（）依题意，当()11f t 时实验室需要降温由（）得()102sin()123f tt，故有102sin()11123t，即1sin()1232t 又024t，因此71161236t，即1018t 在 10 时至 18 时实验室需要降温18.解：（）设数列na的公差为d，依题意，2,2,24dd成等比数列，故有2(2)2(24)dd，化简得240dd，解得0d 或4d 当0d 时，2na；当4d 时，2(1)442nann，从而得数列na的通项公式为2na 或42nan（）当2na 时，2nSn，显然260800nn，此时不存在正整数n，使得60800Sn成立当42nan时，22(42)22nnnSn令2260800nn，即2304000nn，解得40n 或10n （舍去），此时存在正整数n，使得60800nSn成立，n的最小值为 41综上，当2na 时，不存在满足题意的n；当42nan时，存在满足题意的n，其最小值为 41.19.几何方法：（）证明：如图 1，连接1AD，由1111ABCDABC D是正方体，知11/BCAD当1时，P是1DD的中点，又F是AD的中点，所以1/FPAD，所以1/BCFP而FP 平面EFPQ，且1BC 平面EFPQ，故直线1/BC平面EFPQ。（）如图 2，连接 BD,因为 E，F 分别是 AB，AD 的中点，所以 EF/BD，且12EFBD，又,/DPBQ DPBQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故/PQBD，且PQBD，从而/EFPQ，且12EFPQ在Rt EBQ和Rt FDP中，因为,1BQDPBEDF，于是21DQFP,所以四边形EFPQ是等腰梯形。同理可证四边形PQMN是等腰梯形。分别取,EF PQ MN的中点为,H O G，连接,OH OG，则,GOPQ HOPQ，而GOHOO，故GOH是面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角的平面角若存在,使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角，则90GOH连接 EM，FN，则由 EF/MN，且 EF=MN，知四边形 EFNM 是平行四边形连接 GH，因为 H，G 是 EF,MN 的中点，所以2GHME在GOH中，22222214,1()22GHOH 2222211(2)()(2)22OG，由222OGOHGH，得2211(2)422，解得212，故存在212，使面 EFPQ 与面 PQMN 所成的二面角为直二面角。向量方法：以D为原点，射线1,DA DC DD分别为,x y z轴的正半轴建立如图 3 所示的空间直角坐标系Dxyz，由已知得(2,2,0)B，1(0,2,2)C，(2,1,0)E，(1,0,0)F，(0,0,)P，(2,0,2)BC ，(1,0,)FP，(1,1,0)FE（）证明：当1时，(1,0,1)FP ，因为1(2,0,2)BC ，所以12BCFP ，即1/BCFP而FP 平面EFPQ，且1BC 平面EFPQ，故直线1/BC平面EFPQ（）设平面EFPQ的一个法向量为(,)nx y z，则由0,0FE nFP n 可得0,0 xyxz 于是可取(,1)n同理可得平面MNPQ的一个法向量为(2,2,1)m若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则(2,2,1)(,1)0m n，即(2)(2)10 ，解得212 故存在212，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角。20.解：（）依 题 意，110(4080)0.250pPX，235(80120)0.750pPX，35(120)0.150pP X由二项分布，在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为04134343433991(1)(1)()4()()0.9477101010pCpCpp（）记水电站年总利润为Y（单位：万元）（1）安装 1 台发电机的情形由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概率为 1，对应的年利润5000,()5000 15000YE Y（2）安装 2 台发电机的情形依题意，当4080X时，一台发电机运行，此时50008004200Y，因此1(4200)(4080)0.2P YPXp；当80X 时，两 台 发 电 机 运 行，此 时5000 210000Y，因 此23(10000)(80)0.8P YP Xpp；由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，()4200 0.2 10000 0.88840E Y（3）安装 3 台发电机的情形依题意，当4080X时，一台发电机运行，此时5000 16003400Y，因此1(3400)(4080)0.2P YPXp；当80120X时，两 台 发 电 机 运 行，此 时5000 28009200Y，因 此2(9200)(80120)0.7P YPXp；当120X 时，三 台 发 电 机 运 行，此 时5000 315000Y，因 此3(15000)(120)0.1P YP Xp，由此得Y的分布列如下：Y3400920015000P0.20.70.1所以，()3400 0.29200 0.7 15000 0.18620E Y 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机 2 台。21.解：（）设点(,)M x y，依题意得|1MFx，即22(1)|1xyx，化简整理得22(|)yxx故点M的轨迹C的方程为24,0,0,0 x xyx（）在点M的轨迹C中，记212:4,:0(0)Cyx Cyx依题意，可设直线l的方程为1(2)yk x 由方程组21(2),4,yk xyx 可得244(21)0kyyk（1）当0k 时，此时1y，把1y 代入轨迹C的方程，得14x 故此时直线:1l y 与轨迹C恰好有一个公共点1(,1)4（2）当0k 时，方程的判别式为216(21)kk 设直线l与x轴的交点为0(,0)x，则由1(2)yk x，令0y，得021kxk（）若00,0,x 由解得1k ，或12k 即当1(,1)(,)2k 时，直线l与1C没有公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点。（）若00,0,x 或00,0,x 由解得1 1,2k ，或102k即当1 1,2k 时，直线l与1C只有一个公共点，与2C有一个公共点，当1,0)2k 时，直线l与1C有两个公共点，与2C没有公共点，故当11,0)1,22k 时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点。（）若00,0,x 由解得112k ，或102k即当11(1,)(0,)22k 时，直线l与1C有两个公共点，与2C有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点。综合（1）（2）可知，当1(,1)(,)02k 时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当11,0)1,22k 时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当11(1,)(0,)22k 时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点。22.解：（）函数()f x的定义域为(0,)，因为ln()xf xx，所以21 ln()xfxx当()0fx，即0 xe时，函数()f x单调递增；当()0fx，即xe时，函数()f x单调递减。故函数()f x的单调递增区间为(0,)e，单调递减区间为(,)e（）因为3e，所以ln33ln,lnln3ee，即ln3ln,lnln3eee于是根据函数ln,xxyx yey在定义域上单调递增，可得333,3eeee故这 6 个数的最大数在3与3之中，最小数在3e与3e之中。由3e及（）的结论，得()(3)()fff e，即lnln3ln3ee由lnln33，得3lnln3，所以33；由ln3ln3ee，得3ln3lnee，所以33ee综上，6 个数中最大数是3，最小数是3e（）由（）知，3333,3eeee，又由（）知，lnlnee，得ee，故只需比较3e与e和e与3的大小由（）知，当0 xe时，1()()f xf ee，即ln1xxe在上式中，令2ex，又2ee，则2lnee，从而2lne，即得ln2e由得，2.72ln(2)2.7(2)2.7(20.88)3.02433.1eee，即ln3e，亦即3lnlnee，所以3ee又由得，33ln66ee，即3ln，所以3e综上可得，3333eeee，即 6 个数从小到大的顺序为333,3eeee