2015年辽宁高考文科数学真题及答案.pdf

-1-20152015 年辽宁高考文科数学真题及答案年辽宁高考文科数学真题及答案第一卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 A=BAxxBxx则,30,21A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)(2)若 a 实数，且aiiai则,312A.-4B.-3C.3D.4(3)根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是?27002700?26002600?25002500?24002400?23002300?22002200?21002100?20002000?19001900?20132013(年年)?20122012?20112011?20102010?20092009?20082008?20072007?20062006?20052005?20042004A.逐年比较，2008 年减少二氧化碳排放量的效果最显著；B.2007 年我国治理二氧化碳排放显现成效；C.2006 年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；D.2006 年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。（4）已知向量ababa）则（2),2,1(),1,0(A.-1B.0C.1D.2(5)设 项和，的前是等差数列naSnn若5531,3Saaa则A.5B.7C.9D.11(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为A.81B.71C.61D.51(7)已知三点)32()30(),01(，CBA,则ABC外接圆的圆心到原点的距离为A.35B.321C.352D.34-2-(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的 a,b 分别为 14,18，则输出的 a 为是否是否A.0B.2C.4D.14(9)已知等比数列 24531),1(4,41aaaaaan则满足CA.2B.1C.21D.81（10）已知 A,B 是球 O 的球面上两点，为该球面上动点，CAOB,90若三棱锥 O-ABC体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为A.36B.64C.144D.256(11)如图，长方形的边 AB=2，BC=1,O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC,CD,与 DA 运动，记的图像大致为则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,xfxfBAPxBOP?x x?P P?O O?D D?C C?B B?A A?D D?C C?B B?A A?3 3?4 4?2 2?4 4?3 3?4 4?4 4?2 2?3 3?4 4?2 2?2 2?2 2?2 2?2 2?4 4?3 3?4 4?2 2?4 4?X X?O O?Y Y?X X?Y Y?O O?X X?O O?Y Y?Y Y?X X?O O开始输入 a,babb=b-aa=a-b输出 a结束ab-3-（12）设函数的范围是成立的则使得xxfxfxxxf)12()(,11)1ln()(2A.)1,31(B.),1()31,(C.)31,31(D.),31()31,(第二卷二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分（13）已知函数axaxxf），则的图像过点（4,1-2)(3。（14）若 x,y 满足约束条件的最大值为则yxzyxyxyx2,012,012,05。（15）已知双曲线过点），（3,4，且渐近线方程为xy21，则该双曲线的标准方程为。（16）已 知 曲 线xxyln在 点（1,1）处 的 切 线 与 曲 线axaaxy相切，则1)2(2。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）.2,DCBDBACADBCDABC平分上的点，是中，（）求;sinsinCB（）若.,60BBAC求18.（本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了 40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.-4-?4040?0 0.005005?0 0.010010?0 0.035035?A A地区用户满意度评分的频率分布直方图地区用户满意度评分的频率分布直方图?0 0.040040?0 0.030030?0 0.025025?0 0.020020?0 0.015015?100100?9090?8080?7070?6060?5050?O O?满意度评分满意度评分?频率频率?组距组距B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数2814106（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）?0 0.005005?0 0.010010?0 0.035035?B B地区用户满意度评分的频率分布直方图地区用户满意度评分的频率分布直方图?0 0.040040?0 0.030030?0 0.025025?0 0.020020?0 0.015015?100100?9090?8080?7070?6060?5050?O O?满意度评分满意度评分?频率频率?组距组距（II）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19.（本小题满分 12 分）如图,长方体1111ABCDABC D中AB=16,BC=10,18AA,点E,F分别在1111,AB DC上,114.AED F过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一-5-个正方形.?F F?E E?D D?1 1?C C?1 1?B B?1 1?A A?1 1?D D?C C?B B?A A（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（II）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为22,点2,2在C上.（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明：直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.21.（本小题满分 12 分）已知 ln1f xxax.（I）讨论 f x的单调性；（II）当 f x有最大值,且最大值大于22a时,求a的取值范围.请考生在请考生在 2222、2323、2424 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,作答时请写清作答时请写清题号题号-6-22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC 内一点,O 与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.（I）证明EFBC.（II）若AG等于O 的半径,且2 3AEMN,求四边形EDCF的面积.23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数,且0t）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:2 3cos.CC（I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲设,a b c d均为正数,且abcd.证明：（I）若abcd,则abcd；（II）abcd是abcd的充要条件.2015 普通高等学校招生全国统一考试卷文科数学答案一、选择题1、选 A2、解：因为.4,42)1)(3(2aiiiai所以故选 D?N N?M M?G G?O O?F F?E E?D D?C C?B B?A A-7-3、选 D4、选 B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531AaaaSaaaa故选所以6、解：如图所示，选 D.7、解：根据题意，三角形 ABC 是等边三角形，设外接圆的圆心为 D，则 D（1，332）所以，.32137341OD故选 B.8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2,所以 a=b=2，故选 B.9、解：因为),1(4,414531aaaaan满足所以，.21241,2,2),1(4123144424qaaqqaaaaa所以，所以又解得故 选C.10、解：因为 A,B 都在球面上，又为该球面上动点，CAOB,90所以三棱锥的体积的最大值为3661213132RRR，所以 R=6，所以球的表面积为S=14442R，故选 C.11、解：如图，当点 P 在 BC 上时，,tan4tan,tan4,tan,22xxPBPAxPAxPBxBOP当4x时取得最大值51，以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB51.又函数)(xf不是一次函数，故选 B.12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0,11)1ln()(2xxxxf.131,)12(,12)12()(22xxxxxxfxf解得故选 A.二、填空题13、答：a=-214、解：当 x=3,y=2 时，z=2x+y 取得最大值 8.?x x?P P?O O?D D?C C?B B?A A-8-15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422kkkyx）代入方程，解得，点（1422yx双曲线的标准方程为16、解：.122,11xyxy，切线方程为切线的斜率为.8120.08,08,021)2(12222axyaaaaaaxaxxaaxyxy所以与切线平行，不符。时曲线为或解得由联立得与将四、解答题17、解：（）由正弦定理得,sinsinABACCB再由三角形内角平分线定理得，21BDDCABAC.21sinsinCB（）120,60CBBAC.30,33tan,sin2)120sin(,sin2sin.21sinsin1BBBBBCCB展开得）得由（18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示?0 0.005005?0 0.010010?0 0.035035?B B地区用户满意度评分的频率分布直方图地区用户满意度评分的频率分布直方图?0 0.040040?0 0.030030?0 0.025025?0 0.020020?0 0.015015?100100?9090?8080?7070?6060?5050?O O?满意度评分满意度评分?频率频率?组距组距比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。（2）A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6，B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19、解：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得 AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面。?F F?E E?D D?1 1?C C?1 1?B B?1 1?A A?1 1?D D?C C?B B?A A-9-（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121EMBBAMEASSVV20、解、（I）如图所示，由题设得,22ac又点的坐标满足椭圆的方程，所以12422ba，联立解得：.148,4,82222yxCba的方程为：所以切线（II）设 A,B 两点的坐标为.,2211mnknmMyxyxom）的坐标为（点），（,82,8222222121yxyx则上面两个式子相减得：.2222121.0)()(22121121221222122nmnmyyxxxxyyxxyy变形得.21)2(1212mnnmmnxxyykkoml（定值）21、解：已知 ln1f xxax.),1()1,0)(00)(0.1)()1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当aaxfaxfaaxxf（II）由（1）知，当.ln1)1(1)(0aaafaxxfa时取得最大值在时，函数.01ln,22ln1aaaaa整理得由.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(,00,11,1ln)(）即上述不等式即函数。又）是增，在（）（则设aagaggxgxgxaxxgxxxg选做题：22、（I）证明：由切线的性质得 AE=AF，所以AEF 是等腰三?C C(2 2,?2 2?)?Y Y?X X?O O?M M?B B?A A?N N?M M?G G?O O?F F?E E?D D?C C?B B?A A-10-角形，又 AB=AC,所以EFABCAEFACAFABAE,.BC（II）解：,ROGOEAGAEOEOE则连接22)32(4,2222OMRRRROA，.,6030,.31030cos,5121,321都是等边三角形，AEFABCBACBADABOEADABRADODMNMD.331660sin322160sin3102122EBCFS四边形23.在直角坐标系xOy中,曲线1cos,:sin,xtCyt（t为参数,且0t）,其中0,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin,:2 3cos.CC（I）求2C与3C交点的直角坐标；（II）若1C与2C相交于点A,1C与3C相交于点B,求AB最大值.解：（I）曲线23:2sin,:2 3cos.CC的直角坐标方程是.032:;0:222221xyxCyyxC.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得CCyxyx（II）曲线.001），（的极坐标方程为RC.465.)3sin(4cos32sin2,cos32,sin2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点ABABBA24、证明：（I）因为,2,222cddcdcabbaba）（-11-由题设知.,dcbacdabdcba（II）（必要性）.4)(4)(,)()(,2222cddcabbadcbadcba变形得则若.1,dcbacdabdcba）得由（充分性）若22,dcbadcba则.444.,2222222dcbadccddcabdcabbabacdabdcbacddcabba成立的充要条件。是所以，dcbadcba