2014广东考研数学一真题及答案.pdf

12014 广东考研数学一真题及答案广东考研数学一真题及答案一、选择题18 小题每小题 4 分，共 32 分下列曲线有渐近线的是（A）xxysin （B）xxysin 2（C）xxy1sin （D）xxy12sin 【分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以【详解详解】对于xxy1sin ，可知1 xyxlim且01 xxyxxsinlim)(lim，所以有斜渐近线xy 应该选（C）2 2设函数设函数)(xf具有二阶导数，具有二阶导数，xfxfxg)()()(110 ，则在，则在,10上（上（）（A A）当）当0)(xf时，时，)()(xgxf（B B）当）当0)(xf时，时，)()(xgxf（C C）当）当0 )(xf时，时，)()(xgxf（D D）当）当0 )(xf时，时，)()(xgxf【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法【详解详解 1 1】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断如果对区间上任意两点21xx,及常数10 ，恒有 )()()()(212111xfxfxxf ，则曲线是凸的显然此题中xxx ,1021，则 )()()(211xfxf )()()(xgxfxf 110，而，而 )()(xfxxf 211 ，故当0 )(xf时，时，曲线是凸的，即 )()()()(212111xfxfxxf ，也就是)()(xgxf，应该选（C）【详解详解 2 2】如果对曲线在区间,ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令xfxfxfxgxfxF)()()()()()(110 ，则010 )()(FF，且2)()(xfxF，故当0 )(xf时，时，曲线是凸的，从而010 )()()(FFxF，即0 )()()(xgxfxF，也就是)()(xgxf，应该选（C）3设)(xf是连续函数，则 yydyyxfdy11102),(（）210011010 xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(（）0101110102xxdyyxfdxdyyxfdx),(),(）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020drrrfddrrrfd（）sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd【分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图【详解详解】积分区域如图所示如果换成直角坐标则应该是 xxdyyxfdxdyyxfdx101010012),(),(，（A），（B）两个选择项都不正确；如果换成极坐标则为 sincossincos)sin,cos()sin,cos(1021020rdrrrfdrdrrrfd应该选（D）若函数 dxxbxaxdxxbxaxRba2211)sincos(min)sincos(,，则 xbxasincos11（）xsin2（）xcos2（）xsin 2（）xcos 2【详解详解】注意3232 dxx，222 dxxdxxsincos，0 dxxxdxxx sincoscos，3 2 dxxxsin，所以bbadxxbxax 42322232 )()sincos(所以就相当于求函数bba422 的极小值点，显然可知当20 ba,时取得最小值，所以应该选（A）5行列式dcdcbaba00000000等于（A）2)(bcad （B）2)(bcad （C）2222cbda（D）2222cbda 【详解详解】20000000000000000)()()(bcadbcadbcbcadaddcbabcdcbaaddccbabdcdbaadcdcbaba 应该选（B）6设321 ,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量31 k，32 l 线性无关是向量321 ,线性无关的（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件【详解详解】若向量321 ,线性无关，则（31 k，32 l）Klk),(),(3213211001 ，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等于 2，所以向量31 k，32 l 一定线性无关4而当 000010001321 ,时，对任意的常数lk,，向量31 k，32 l 线性无关，但321 ,线性相关；故选择（A）7 7设事件设事件 A A，B B 想到独立，想到独立，3050.)(,.)(BAPBP则则 )(ABP（）（A A）0.10.1（B B）0.20.2（C C）0.30.3（D D）0.40.4【详解详解】)(.)(.)()()()()()(.)(APAPAPBPAPAPABPAPBAP505030 所以60.)(AP，)(ABP205050.)(.)()(APABPBP故选择（B）8设连续型随机变量21XX,相互独立，且方差均存在，21XX,的概率密度分别为)(),(xfxf21，随 机 变 量1Y的 概 率 密 度 为)()()(yfyfyfY21211 ，随 机 变 量)(21221XXY ，则（A）2121DYDYEYEY ,（B）2121DYDYEYEY ,（C）2121DYDYEYEY ,（D）2121DYDYEYEY ,【详解详解】)()()(2212112121YEEXEXdyyfyfyEY ，222121221212121EXEXdyyfyfyEY )()(，2212212121221222211221141414141412141412121DYXDXDXXEXDXDXEXEXEXEEXEXYEYEDY )()()()()()()()()()(故应该选择（D）二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分.把答案填在题中横线上）9 9曲面曲面)sin()sin(xyyxz 1122在点在点),(101处的切平面方程为处的切平面方程为5【详 解详 解】曲 面】曲 面)sin()sin(xyyxz 1122在 点在 点),(101处 的 法 向 量 为处 的 法 向 量 为 ),(|,),(1121101 yxzz，所以切平面方程为，所以切平面方程为0110112 )()()(zyx，即即012 zyx10 设)(xf为 周 期 为 4 的 可 导 奇 函 数，且 2012,),()(xxxf，则)(7f【详解详解】当 20,x时，Cxxdxxxf 2122)()(，由00 )(f可知0 C，即xxxf22 )(；)(xf为周期为 4 奇函数，故1117 )()()(fff11微分方程0 )ln(lnyxyxy满足31ey)(的解为【详解详解】方程的标准形式为xyxydxdyln，这是一个齐次型方程，设xyu ，得到通解为1 Cxxey，将初始条件31ey)(代入可得特解为12 xxey12设L是柱面122 yx和平面0 zy的交线，从z轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分 Lydzzdx【详解详解】由斯托克斯公式 RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxL可知 xyDLdxdydxdydzdxdydzydzzdx其中 1022yxzy:取上侧，122 yxyxDxy|),(13设二次型3231222132142xxxaxxxxxxf ),(的负惯性指数是 1，则a的取值范围是【详解详解】由配方法可知232232231323122213214242xaxxaxxxxxaxxxxxxf)()()(),(由于负惯性指数为 1，故必须要求042 a，所以a的取值范围是 22,614 设 总 体 X 的 概 率 密 度 为 其它其它,),(02322 xxxf，其 中 是 未 知 参 数，nXXX,21是 来 自 总 体 的 简 单 样 本，若 niiXC12是2 的 无 偏 估 计，则 常 数C=【详解详解】22222532 dxxxXE)(，所以21225 CnXCEnii ，由于 niiXC12是2 的无偏估计，故125 Cn，nC52 三、解答题15（本题满分 10 分）求极限)ln()(limxxdttetxtx1112112 【分析】先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限【详解详解】21121111111222121122112 xxoxxxxexxdttetxxdttetxxxxtxxtx)(lim)(lim)(lim)ln()(lim16（本题满分 10 分）设函数)(xfy 由方程06223 yxxyy确定，求)(xf的极值【详解详解】解：在方程两边同时对x求导一次，得到0223222 )()(xyyyxxyy，（）即222232xxyyxyydxdy 7令0 dxdy及06223 yxxyy，得到函数唯一驻点21 yx,在（）式两边同时对x求导一次，得到（0223424622 yyxxyyyxxyyyy)()(把0121 )(,yyx代入，得到0941 )(y，所以函数)(xfy 在1 x处取得极小值2 y17（本题满分 10 分）设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx 满足xxeyezyzxz222224)cos(若0000 )(,)(ff，求)(uf的表达式【详解详解】设yeuxcos，则)cos()(yefufzx ，yeufyeufxzeufxzxxyxcos)(cos)(,)(cos 2222;yeufyeufyzyeufyzxxxcos)(sin)(,sin)(2222；xxxeyefeufyzxz222222)cos()(由条件xxeyezyzxz222224)cos(，可知uufuf )()(4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程对应齐次方程的通解为：uueCeCuf2221 )(其中21CC,为任意常数对应非齐次方程特解可求得为uy41 *故非齐次方程通解为ueCeCufuu412221 )(8将初始条件0000 )(,)(ff代入，可得16116121 CC,所以)(uf的表达式为ueeufuu4116116122 )(18（本题满分 10 分）设曲面)(:122 zyxz的上侧，计算曲面积分：dxdyzdzdxydydzx)()()(11133 【详解详解】设 11221yxz:取下侧，记由1 ,所围立体为，则高斯公式可得 47373366733113131111210202222223321 rdzrrdrddxdydzyxdxdydzyxyxdxdydzyxdxdyzdzdxydydzx)()()()()()()()(在 11221yxz:取下侧上，0111111133 dxdydxdyzdzdxydydzx)()()()(，所以dxdyzdzdxydydzx)()()(11133 =4111133 dxdyzdzdxydydzx)()()(19（本题满分 10 分）设数列 nnba,满足2020 nnba,，nnnbaacoscos 且级数 1nnb收敛（1）证明0 nnalim；9（2）证明级数 1nnnba收敛【详解详解】（1）证明：由nnnbaacoscos ，及2020 nnba,可得20 nnnbaacoscos，所以20 nnba，由于级数 1nnb收敛，所以级数 1nna也收敛，由收敛的必要条件可得0 nnalim（2）证明：由于2020 nnba,，所以2222nnnnnnnnababbaba sin,sin222222222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbbbbabbabbababbabbaba sinsincoscos由于级数 1nnb收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数 1nnnba收敛20（本题满分 11 分）设 302111104321A，E 为三阶单位矩阵（1）求方程组0 AX的一个基础解系；（2）求满足EAB 的所有矩阵【详解详解】（1）对系数矩阵 A 进行初等行变换如下：310020101001310011104321134011104321302111104321A，10得到方程组0 AX同解方程组 43424132xxxxxx得到0 AX的一个基础解系 13211（2）显然 B 矩阵是一个34 矩阵，设 444333222111zyxzyxzyxzyxB对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下：141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵 B 对应的三列分别为 1321011214321cxxxx，1321043624321cyyyy，1321011134321czzzz，即满足EAB 的所有矩阵为 321321321321313431212321162ccccccccccccB其中321ccc,为任意常数21（本题满分 11 分）11证明n阶矩阵 111111111与 n00200100相似【详解详解】证明：设 A 111111111，B n00200100分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111 nnAE )(，所以 A 的n个特征值为0321 nn ,；而且 A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化且 00 A；1002010 nnnBE )(所以 B 的n个特征值也为0321 nn ,；对于1 n重特征值0 ，由于矩阵BBE )(0的秩显然为 1，所以矩阵 B 对应1 n重特征值0 的特征向量应该有1 n个线性无关，进一步矩阵 B 存在n个线性无关的特征向量，即矩阵 B 一定可以对角化，且 00 B从而可知n阶矩阵 111111111与 n00200100相似22（本题满分 11 分）12设随机变量 X 的分布为2121 )()(XPXP，在给定iX 的条件下，随机变量Y服从均匀分布210,),(iiU（1）求Y的分布函数；（2）求期望).(YE【详解详解】（1）分布函数 )/()/()()/()()/(),(),()()(2121221121 XyYPXyYPXPXyYPXPXyYPXyYPXyYPyYPyF当0 y时，0)(yF；当10 y时，yyyyF4322121 )(；当21 y时，214122121 yyyF)(；当2 y时，1)(yF所以分布函数为 2121421104300yyyyyyyF,)(（2）概率密度函数为 其它其它,)()(021411043yyyFyf，434432110 dyyydyYE)(23（本题满分 11 分）13设总体 X 的分布函数为 00012xxexFx,),(，其中 为未知的大于零的参数，nXXX,21是来自总体的简单随机样本，（1）求)(),(2XEXE；（2）求的极大似然估计量（）是否存在常数a，使得对任意的0 ，都有0 aPnnlim【详解详解】（）先求出总体 X 的概率密度函数 00022xxexxfx,),(，dxexedexdxexEXxxxx0000222222|；;dttedxexdxexEXtxx020203211222（）极大似然函数为 其它其它,),()(0021211ixininninixexxfLnii 当所有的观测值都大于零时，niiniixnxnLnL12112 lnlnln)(，令0 dLd)(ln，得的极大似然估计量为nxnii 12；（）因为nXXX,21独立同分布，显然对应的22221nXXX,也独立同分布，又有（）个可知 2iEX，由辛钦大数定律，可得0112 niiinEXxnPlim，由前两问可知，nxnii 12，2iEX，所以存在常数 a，使得对任意的0 ，都有140 aPnnlim