2014年上海高考文科数学真题及答案.pdf

2 0 1 4 年 上 海 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案一、填 空 题（本 大 题 共 1 4 题,满 分 5 6 分）考 生 应 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内 直 接 填 写 结 果,每 个 空 格 填 对 得 4 分,否 则 一 律 得 零 分.1（4 分）函 数 y=1 2 c o s2（2 x）的 最 小 正 周 期 是 2（4 分）若 复 数 z=1+2 i,其 中 i 是 虚 数 单 位,则（z+）=3（4 分）设 常 数 a R,函 数 f（x）=|x 1|+|x2 a|,若 f（2）=1,则 f（1）=4（4 分）若 抛 物 线 y2=2 p x 的 焦 点 与 椭 圆 的 右 焦 点 重 合,则 该 抛 物 线 的 准 线 方程 5（4 分）某 校 高 一、高 二、高 三 分 别 有 学 生 1 6 0 0 名,1 2 0 0 名,8 0 0 名 为 了 解 该 校 高 中 学生 的 牙 齿 健 康 状 况,按 各 年 级 的 学 生 数 进 行 分 层 抽 样,若 高 三 抽 取 2 0 名 学 生,则 高 一、高 二 共 需 抽 取 的 学 生 数为 6（4 分）若 实 数 x,y 满 足 x y=1,则 x2+2 y2的 最 小 值 为 7（4 分）若 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3 倍,则 其 母 线 与 轴 所 成 角 的 大 小 为（结 果 用 反三 角 函 数 值 表 示）8（4 分）在 长 方 体 中 割 去 两 个 小 长 方 体 后 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示,则 切 割 掉 的 两 个 小长 方 体 的 体 积 之 和 等 于 9（4 分）设 f（x）=,若 f（0）是 f（x）的 最 小 值,则 a 的 取 值 范 围 为 1 0（4 分）设 无 穷 等 比 数 列 an 的 公 比 为 q,若 a1=（a3+a4+an）,则 q=1 1（4 分）若 f（x）=,则 满 足 f（x）0 的 x 的 取 值 范 围 是 1 2（4 分）方 程 s i n x+c o s x=1 在 闭 区 间 0,2 上 的 所 有 解 的 和 等 于 1 3（4 分）为 强 化 安 全 意 识,某 商 场 拟 在 未 来 的 连 续 1 0 天 中 随 机 选 择 3 天 进 行 紧 急 疏 散 演练,则 选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 是（结 果 用 最 简 分 数 表 示）1 4（4 分）已 知 曲 线 C:x=,直 线 l:x=6,若 对 于 点 A（m,0）,存 在 C 上 的 点 P 和 l上 的 Q 使 得+=,则 m 的 取 值 范 围 为 二、选 择 题（共 4 题,满 分 2 0 分）每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案,选 对 得 5 分,否 则 一 律 得 零分1 5（5 分）设 a,b R,则“a+b 4”是“a 2 且 b 2”的（）A 充 分 非 必 要 条 件 B 必 要 非 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件1 6（5 分）已 知 互 异 的 复 数 a,b 满 足 a b 0,集 合 a,b=a2,b2,则 a+b=（）A 2 B 1 C 0 D 11 7（5 分）如 图,四 个 边 长 为 1 的 小 正 方 形 排 成 一 个 大 正 方 形,A B 是 大 正 方 形 的 一 条 边,Pi（i=1,2,7）是 小 正 方 形 的 其 余 顶 点,则（i=1,2,7）的 不 同 值 的 个 数 为（）A 7 B 5 C 3 D 11 8（5 分）已 知 P1（a1,b1）与 P2（a2,b2）是 直 线 y=k x+1（k 为 常 数）上 两 个 不 同 的 点,则 关于 x 和 y 的 方 程 组 的 解 的 情 况 是（）A 无 论 k,P1,P2如 何,总 是 无 解B 无 论 k,P1,P2如 何,总 有 唯 一 解C 存 在 k,P1,P2,使 之 恰 有 两 解D 存 在 k,P1,P2,使 之 有 无 穷 多 解三、解 答 题（共 5 小 题,满 分 7 4 分）1 9（1 2 分）底 面 边 长 为 2 的 正 三 棱 锥 P A B C,其 表 面 展 开 图 是 三 角 形 P1P2P3,如 图,求 P1P2P3的 各 边 长 及 此 三 棱 锥 的 体 积 V 2 0（1 4 分）设 常 数 a 0,函 数 f（x）=（1）若 a=4,求 函 数 y=f（x）的 反 函 数 y=f 1（x）；（2）根 据 a 的 不 同 取 值,讨 论 函 数 y=f（x）的 奇 偶 性,并 说 明 理 由 2 1（1 4 分）如 图,某 公 司 要 在 A、B 两 地 连 线 上 的 定 点 C 处 建 造 广 告 牌 C D,其 中 D 为 顶 端,A C长 3 5 米,C B 长 8 0 米,设 点 A、B 在 同 一 水 平 面 上,从 A 和 B 看 D 的 仰 角 分 别 为 和（1）设 计 中 C D 是 铅 垂 方 向,若 要 求 2,问 C D 的 长 至 多 为 多 少（结 果 精 确 到 0.0 1 米）？（2）施 工 完 成 后,C D 与 铅 垂 方 向 有 偏 差,现 在 实 测 得=3 8.1 2,=1 8.4 5,求 C D 的 长（结果 精 确 到 0.0 1 米）2 2（1 6 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中,对 于 直 线 l:a x+b y+c=0 和 点 P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,记=（a x1+b y1+c）（a x2+b y2+c）,若 0,则 称 点 P1,P2被 直 线 l 分 隔,若 曲 线 C 与 直 线 l 没有 公 共 点,且 曲 线 C 上 存 在 点 P1、P2被 直 线 l 分 隔,则 称 直 线 l 为 曲 线 C 的 一 条 分 隔 线（1）求 证:点 A（1,2）,B（1,0）被 直 线 x+y 1=0 分 隔；（2）若 直 线 y=k x 是 曲 线 x2 4 y2=1 的 分 隔 线,求 实 数 k 的 取 值 范 围；（3）动 点 M 到 点 Q（0,2）的 距 离 与 到 y 轴 的 距 离 之 积 为 1,设 点 M 的 轨 迹 为 E,求 E 的 方 程,并 证 明 y 轴 为 曲 线 E 的 分 隔 线 2 3（1 8 分）已 知 数 列 an 满 足 an an+1 3 an,n N*,a1=1（1）若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的 取 值 范 围；（2）若 an 是 等 比 数 列,且 am=,求 正 整 数 m 的 最 小 值,以 及 m 取 最 小 值 时 相 应 an 的 公比；（3）若 a1,a2,a1 0 0成 等 差 数 列,求 数 列 a1,a2,a1 0 0的 公 差 的 取 值 范 围 2 0 1 4 年 上 海 市 高 考 数 学 试 卷（文 科）参 考 答 案 与 试 题 解 析一、填 空 题（本 大 题 共 1 4 题,满 分 5 6 分）考 生 应 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内 直 接 填 写 结 果,每 个 空 格 填 对 得 4 分,否 则 一 律 得 零 分.1（4 分）（2 0 1 4 上 海）函 数 y=1 2 c o s2（2 x）的 最 小 正 周 期 是【分 析】由 二 倍 角 的 余 弦 公 式 化 简,可 得 其 周 期【解 答】解:y=1 2 c o s2（2 x）=2 c o s2（2 x）1=c o s 4 x,函 数 的 最 小 正 周 期 为 T=故 答 案 为:【点 评】本 题 考 查 二 倍 角 的 余 弦 公 式,涉 及 三 角 函 数 的 周 期,属 基 础 题 2（4 分）（2 0 1 4 上 海）若 复 数 z=1+2 i,其 中 i 是 虚 数 单 位,则（z+）=6【分 析】把 复 数 代 入 表 达 式,利 用 复 数 代 数 形 式 的 混 合 运 算 化 简 求 解 即 可【解 答】解:复 数 z=1+2 i,其 中 i 是 虚 数 单 位,则（z+）=（1+2 i）（1 2 i）+1=1 4 i2+1=2+4=6 故 答 案 为:6【点 评】本 题 考 查 复 数 代 数 形 式 的 混 合 运 算,基 本 知 识 的 考 查 3（4 分）（2 0 1 4 上 海）设 常 数 a R,函 数 f（x）=|x 1|+|x2 a|,若 f（2）=1,则 f（1）=3【分 析】利 用 f（x）=|x 1|+|x2 a|,f（2）=1,求 出 a,然 后 求 解 f（1）即 可【解 答】解:常 数 a R,函 数 f（x）=|x 1|+|x2 a|,若 f（2）=1,1=|2 1|+|22 a|,a=4,函 数 f（x）=|x 1|+|x2 4|,f（1）=|1 1|+|12 4|=3,故 答 案 为:3【点 评】本 题 考 查 函 数 值 的 求 法,基 本 知 识 的 考 查 4（4 分）（2 0 1 4 上 海）若 抛 物 线 y2=2 p x 的 焦 点 与 椭 圆 的 右 焦 点 重 合,则 该 抛 物线 的 准 线 方 程 x=2【分 析】由 题 设 中 的 条 件 y2=2 p x（p 0）的 焦 点 与 椭 圆 的 右 焦 点 重 合,故 可 以 先求 出 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标,根 据 两 曲 线 的 关 系 求 出 p,再 由 抛 物 线 的 性 质 求 出 它 的 准 线 方 程【解 答】解:由 题 意 椭 圆,故 它 的 右 焦 点 坐 标 是（2,0）,又 y2=2 p x（p 0）的 焦 点 与 椭 圆 右 焦 点 重 合,故=2 得 p=4,抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=2 故 答 案 为:x=2【点 评】本 题 考 查 圆 锥 曲 线 的 共 同 特 征,解 答 此 类 题,关 键 是 熟 练 掌 握 圆 锥 曲 线 的 性 质 及 几 何特 征,熟 练 运 用 这 些 性 质 与 几 何 特 征 解 答 问 题 5（4 分）（2 0 1 4 上 海）某 校 高 一、高 二、高 三 分 别 有 学 生 1 6 0 0 名,1 2 0 0 名,8 0 0 名 为 了解 该 校 高 中 学 生 的 牙 齿 健 康 状 况,按 各 年 级 的 学 生 数 进 行 分 层 抽 样,若 高 三 抽 取 2 0 名 学 生,则 高 一、高 二 共 需 抽 取 的 学 生 数 为7 0【分 析】根 据 分 层 抽 样 的 定 义,建 立 比 例 关 系,即 可 得 到 结 论【解 答】解:高 一、高 二、高 三 分 别 有 学 生 1 6 0 0 名,1 2 0 0 名,8 0 0 名,若 高 三 抽 取 2 0 名 学 生,设 共 需 抽 取 的 学 生 数 为 x,则,解 得 x=9 0,则 高 一、高 二 共 需 抽 取 的 学 生 数 为 9 0 2 0=7 0,故 答 案 为:7 0【点 评】本 题 主 要 考 查 分 层 抽 样 的 应 用,比 较 基 础 6（4 分）（2 0 1 4 上 海）若 实 数 x,y 满 足 x y=1,则 x2+2 y2的 最 小 值 为 2【分 析】由 已 知 可 得 y=,代 入 要 求 的 式 子,由 基 本 不 等 式 可 得【解 答】解:x y=1,y=x2+2 y2=x2+2=2,当 且 仅 当 x2=,即 x=时 取 等 号,故 答 案 为:2【点 评】本 题 考 查 基 本 不 等 式,属 基 础 题 7（4 分）（2 0 1 4 上 海）若 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3 倍,则 其 母 线 与 轴 所 成 角 的 大 小 为a r c s i n（结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示）【分 析】由 已 知 中 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3 倍,可 得 圆 锥 的 母 线 是 圆 锥 底 面 半 径 的 3 倍,在 轴 截 面 中,求 出 母 线 与 轴 所 成 角 的 正 弦 值,进 而 可 得 母 线 与 轴 所 成 角【解 答】解:设 圆 锥 母 线 与 轴 所 成 角 为,圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3 倍,=3,即 圆 锥 的 母 线 是 圆 锥 底 面 半 径 的 3 倍,故 圆 锥 的 轴 截 面 如 下 图 所 示:则 s i n=,=a r c s i n,故 答 案 为:a r c s i n【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 旋 转 体,其 中 根 据 已 知 得 到 圆 锥 的 母 线 是 圆 锥 底 面 半 径 的 3 倍,是 解 答 的 关 键 8（4 分）（2 0 1 4 上 海）在 长 方 体 中 割 去 两 个 小 长 方 体 后 的 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示,则 切割 掉 的 两 个 小 长 方 体 的 体 积 之 和 等 于 2 4【分 析】由 已 知 中 的 三 视 图,分 别 判 断 切 割 前 后 几 何 体 的 形 状,并 分 别 计 算 出 切 割 前 后 几 何 体的 体 积,相 减 可 得 答 案【解 答】解:由 已 知 中 的 三 视 图,可 知:大 长 方 体 的 长,宽,高 分 别 为:3,4,5,故 大 长 方 体 的 体 积 为:6 0,切 去 两 个 小 长 方 体 后 的 几 何 体 是 一 个 以 主 视 图 为 底 面,高 为 3 的 柱 体,其 底 面 面 积 为 4 5 2 2 2 2=1 2,故 切 去 两 个 小 长 方 体 后 的 几 何 体 的 体 积 为:1 2 3=3 6,故 切 割 掉 的 两 个 小 长 方 体 的 体 积 之 和 为:6 0 3 6=2 4,故 答 案 为:2 4【点 评】本 题 考 查 的 知 识 点 是 由 三 视 图 求 体 积,其 中 根 据 已 知 中 的 三 视 图 分 析 出 几 何 体 的 形状 是 解 答 的 关 键 9（4 分）（2 0 1 4 上 海）设 f（x）=,若 f（0）是 f（x）的 最 小 值,则 a 的 取值 范 围 为（,2【分 析】分 别 由 f（0）=a,x 2,a x+综 合 得 出 a 的 取 值 范 围【解 答】解:当 x=0 时,f（0）=a,由 题 意 得:a x+,又 x+2=2,a 2,故 答 案 为:（,2【点 评】本 题 考 察 了 分 段 函 数 的 应 用,基 本 不 等 式 的 性 质,是 一 道 基 础 题 1 0（4 分）（2 0 1 4 上 海）设 无 穷 等 比 数 列 an 的 公 比 为 q,若 a1=（a3+a4+an）,则 q=【分 析】由 已 知 条 件 推 导 出 a1=,由 此 能 求 出 q 的 值【解 答】解:无 穷 等 比 数 列 an 的 公 比 为 q,a1=（a3+a4+an）=（a1 a1q）=,q2+q 1=0,解 得 q=或 q=（舍）故 答 案 为:【点 评】本 题 考 查 等 比 数 列 的 公 比 的 求 法,是 中 档 题,解 题 时 要 认 真 审 题,注 意 极 限 知 识 的 合理 运 用 1 1（4 分）（2 0 1 4 上 海）若 f（x）=,则 满 足 f（x）0 的 x 的 取 值 范 围 是（0,1）【分 析】直 接 利 用 已 知 条 件 转 化 不 等 式 求 解 即 可【解 答】解:f（x）=,若 满 足 f（x）0,即,y=是 增 函 数,的 解 集 为:（0,1）故 答 案 为:（0,1）【点 评】本 题 考 查 指 数 不 等 式 的 解 法,指 数 函 数 的 单 调 性 的 应 用,考 查 计 算 能 力 1 2（4 分）（2 0 1 4 上 海）方 程 s i n x+c o s x=1 在 闭 区 间 0,2 上 的 所 有 解 的 和 等 于【分 析】由 三 角 函 数 公 式 可 得 s i n（x+）=,可 知 x+=2 k+,或 x+=2 k+,k Z,结 合 x 0,2,可 得 x 值,求 和 即 可【解 答】解:s i n x+c o s x=1,s i n x+c o s x=,即 s i n（x+）=,可 知 x+=2 k+,或 x+=2 k+,k Z,又 x 0,2,x=,或 x=,+=故 答 案 为:【点 评】本 题 考 查 两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式,属 基 础 题 1 3（4 分）（2 0 1 4 上 海）为 强 化 安 全 意 识,某 商 场 拟 在 未 来 的 连 续 1 0 天 中 随 机 选 择 3 天 进行 紧 急 疏 散 演 练,则 选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 是（结 果 用 最 简 分 数 表 示）【分 析】要 求 在 未 来 的 连 续 1 0 天 中 随 机 选 择 3 天 进 行 紧 急 疏 散 演 练,选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续3 天 的 概 率,须 先 求 在 1 0 天 中 随 机 选 择 3 天 的 情 况,再 求 选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3 天 的 情 况,即 可 得 到 答 案【解 答】解:在 未 来 的 连 续 1 0 天 中 随 机 选 择 3 天 共 有 种 情 况,其 中 选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3 天 的 情 况 有 8 种,分 别 是（1,2,3）,（2,3,4）,（3,4,5）,（4,5,6）,（5,6,7）,（6,7,8）,（7,8,9）,（8,9,1 0）,选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 是,故 答 案 为:【点 评】本 题 考 查 古 典 概 型 以 及 概 率 计 算 公 式,属 基 础 题 1 4（4 分）（2 0 1 4 上 海）已 知 曲 线 C:x=,直 线 l:x=6,若 对 于 点 A（m,0）,存 在 C上 的 点 P 和 l 上 的 Q 使 得+=,则 m 的 取 值 范 围 为 2,3【分 析】通 过 曲 线 方 程 判 断 曲 线 特 征,通 过+=,说 明 A 是 P Q 的 中 点,结 合 x 的 范 围,求出 m 的 范 围 即 可【解 答】解:曲 线 C:x=,是 以 原 点 为 圆 心,2 为 半 径 的 圆,并 且 xP 2,0,对 于 点 A（m,0）,存 在 C 上 的 点 P 和 l 上 的 Q 使 得+=,说 明 A 是 P Q 的 中 点,Q 的 横 坐 标 x=6,m=2,3 故 答 案 为:2,3【点 评】本 题 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系,函 数 思 想 的 应 用,考 查 计 算 能 力 以 及 转 化 思 想 二、选 择 题（共 4 题,满 分 2 0 分）每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案,选 对 得 5 分,否 则 一 律 得 零分1 5（5 分）（2 0 1 4 上 海）设 a,b R,则“a+b 4”是“a 2 且 b 2”的（）A 充 分 非 必 要 条 件 B 必 要 非 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 非 充 分 又 非 必 要 条 件【分 析】根 据 不 等 式 的 性 质,利 用 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 定【解 答】解:当 a=5,b=0 时,满 足 a+b 4,但 a 2 且 b 2 不 成 立,即 充 分 性 不 成 立,若 a 2 且 b 2,则 必 有 a+b 4,即 必 要 性 成 立,故“a+b 4”是“a 2 且 b 2”的 必 要 不 充 分 条 件,故 选:B【点 评】本 题 主 要 考 查 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 判 断,根 据 不 等 式 的 性 质 是 解 决 本 题 的 关 键,比 较 基 础 1 6（5 分）（2 0 1 4 上 海）已 知 互 异 的 复 数 a,b 满 足 a b 0,集 合 a,b=a2,b2,则 a+b=（）A 2 B 1 C 0 D 1【分 析】根 据 集 合 相 等 的 条 件,得 到 元 素 关 系,即 可 得 到 结 论【解 答】解:根 据 集 合 相 等 的 条 件 可 知,若 a,b=a2,b2,则 或,由 得,a b 0,a 0 且 b 0,即 a=1,b=1,此 时 集 合 1,1 不 满 足 条 件 由 得,若 b=a2,a=b2,则 两 式 相 减 得 a2 b2=b a,即（a b）（a+b）=（a b）,互 异 的 复 数 a,b,a b 0,即 a+b=1,故 选:D【点 评】本 题 主 要 考 查 集 合 相 等 的 应 用,根 据 集 合 相 等 得 到 元 素 相 同 是 解 决 本 题 的 关 键,注 意要 进 行 分 类 讨 论 1 7（5 分）（2 0 1 4 上 海）如 图,四 个 边 长 为 1 的 小 正 方 形 排 成 一 个 大 正 方 形,A B 是 大 正 方 形的 一 条 边,Pi（i=1,2,7）是 小 正 方 形 的 其 余 顶 点,则（i=1,2,7）的 不 同 值 的个 数 为（）A 7 B 5 C 3 D 1【分 析】建 立 适 当 的 平 面 直 角 坐 标 系,利 用 坐 标 分 别 求 出 数 量 积,由 结 果 可 得 答 案【解 答】解:如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,则 A（0,0）,B（0,2）,P1（0,1）,P2（1,0）,P3（1,1）,P4（1,2）,P5（2,0）,P6（2,1）,P7（2,2）,=（0,1）,=（1,0）,=（1,1）,=（1,2）,=（2,0）,=（2,1）,=（2,2）,=2,=0,=2,=4,=0,=2,=4,（i=1,2,7）的 不 同 值 的 个 数 为 3,故 选 C【点 评】本 题 考 查 平 面 向 量 的 数 量 积 运 算,属 基 础 题 1 8（5 分）（2 0 1 4 上 海）已 知 P1（a1,b1）与 P2（a2,b2）是 直 线 y=k x+1（k 为 常 数）上 两 个不 同 的 点,则 关 于 x 和 y 的 方 程 组 的 解 的 情 况 是（）A 无 论 k,P1,P2如 何,总 是 无 解B 无 论 k,P1,P2如 何,总 有 唯 一 解C 存 在 k,P1,P2,使 之 恰 有 两 解D 存 在 k,P1,P2,使 之 有 无 穷 多 解【分 析】判 断 直 线 的 斜 率 存 在,通 过 点 在 直 线 上,推 出 a1,b1,P2,a2,b2的 关 系,然 后 求 解 方 程 组的 解 即 可【解 答】解:P1（a1,b1）与 P2（a2,b2）是 直 线 y=k x+1（k 为 常 数）上 两 个 不 同 的 点,直 线 y=k x+1的 斜 率 存 在,k=,即 a1 a2,并 且 b1=k a1+1,b2=k a2+1,a2b1 a1b2=k a1a2 k a1a2+a2 a1=a2 a1,b2 b1得:（a1b2 a2b1）x=b2 b1,即（a1 a2）x=b2 b1 方 程 组 有 唯 一 解 故 选:B【点 评】本 题 考 查 一 次 函 数 根 与 系 数 的 关 系,直 线 的 斜 率 的 求 法,方 程 组 的 解 和 指 数 的 应 用 三、解 答 题（共 5 小 题,满 分 7 4 分）1 9（1 2 分）（2 0 1 4 上 海）底 面 边 长 为 2 的 正 三 棱 锥 P A B C,其 表 面 展 开 图 是 三 角 形 P1P2P3,如 图,求 P1P2P3的 各 边 长 及 此 三 棱 锥 的 体 积 V【分 析】利 用 侧 面 展 开 图 三 点 共 线,判 断 P1P2P3是 等 边 三 角 形,然 后 求 出 边 长,利 用 正 四 面 体的 体 积 求 出 几 何 体 的 体 积【解 答】解:根 据 题 意 可 得:P1,B,P2共 线,A B P1=B A P1=C B P2,A B C=6 0,A B P1=B A P1=C B P2=6 0,P1=6 0,同 理 P2=P3=6 0,P1P2P3是 等 边 三 角 形,P A B C 是 正 四 面 体,P1P2P3的 边 长 为 4,VP A B C=【点 评】本 题 考 查 空 间 想 象 能 力 以 及 逻 辑 推 理 能 力,几 何 体 的 侧 面 展 开 图 和 体 积 的 求 法 2 0（1 4 分）（2 0 1 4 上 海）设 常 数 a 0,函 数 f（x）=（1）若 a=4,求 函 数 y=f（x）的 反 函 数 y=f 1（x）；（2）根 据 a 的 不 同 取 值,讨 论 函 数 y=f（x）的 奇 偶 性,并 说 明 理 由【分 析】（1）根 据 反 函 数 的 定 义,即 可 求 出,（2）利 用 分 类 讨 论 的 思 想,若 为 偶 函 数 求 出 a 的 值,若 为 奇 函 数,求 出 a 的 值,问 题 得 以 解 决【解 答】解:（1）a=4,调 换 x,y 的 位 置 可 得,x（,1）（1,+）（2）若 f（x）为 偶 函 数,则 f（x）=f（x）对 任 意 x 均 成 立,=,整 理 可 得 a（2x 2 x）=0 2x 2 x不 恒 为 0,a=0,此 时 f（x）=1,x R,满 足 条 件；若 f（x）为 奇 函 数,则 f（x）=f（x）对 任 意 x 均 成 立,=,整 理 可 得 a2 1=0,a=1,a 0,a=1,此 时 f（x）=,满 足 条 件；当 a 0 且 a 1 时,f（x）为 非 奇 非 偶 函 数综 上 所 述,a=0 时,f（x）是 偶 函 数,a=1 时,f（x）是 奇 函 数 当 a 0 且 a 1 时,f（x）为 非奇 非 偶 函 数【点 评】本 题 主 要 考 查 了 反 函 数 的 定 义 和 函 数 的 奇 偶 性,利 用 了 分 类 讨 论 的 思 想,属 于 中 档题 2 1（1 4 分）（2 0 1 4 上 海）如 图,某 公 司 要 在 A、B 两 地 连 线 上 的 定 点 C 处 建 造 广 告 牌 C D,其中 D 为 顶 端,A C 长 3 5 米,C B 长 8 0 米,设 点 A、B 在 同 一 水 平 面 上,从 A 和 B 看 D 的 仰 角 分 别 为 和（1）设 计 中 C D 是 铅 垂 方 向,若 要 求 2,问 C D 的 长 至 多 为 多 少（结 果 精 确 到 0.0 1 米）？（2）施 工 完 成 后,C D 与 铅 垂 方 向 有 偏 差,现 在 实 测 得=3 8.1 2,=1 8.4 5,求 C D 的 长（结果 精 确 到 0.0 1 米）【分 析】（1）设 C D 的 长 为 x,利 用 三 角 函 数 的 关 系 式 建 立 不 等 式 关 系 即 可 得 到 结 论（2）利 用 正 弦 定 理,建 立 方 程 关 系,即 可 得 到 结 论【解 答】解:（1）设 C D 的 长 为 x 米,则 t a n=,t a n=,0,t a n t a n 2 0,t a n,即=,解 得 0 2 8.2 8,即 C D 的 长 至 多 为 2 8.2 8 米（2）设 D B=a,D A=b,C D=m,则 A D B=1 8 0=1 2 3.4 3,由 正 弦 定 理 得,即 a=,m=2 6.9 3,答:C D 的 长 为 2 6.9 3 米【点 评】本 题 主 要 考 查 解 三 角 形 的 应 用 问 题,利 用 三 角 函 数 关 系 式 以 及 正 弦 定 理 是 解 决 本 题的 关 键 2 2（1 6 分）（2 0 1 4 上 海）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中,对 于 直 线 l:a x+b y+c=0 和 点 P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,记=（a x1+b y1+c）（a x2+b y2+c）,若 0,则 称 点 P1,P2被 直 线 l 分 隔,若 曲 线 C 与直 线 l 没 有 公 共 点,且 曲 线 C 上 存 在 点 P1、P2被 直 线 l 分 隔,则 称 直 线 l 为 曲 线 C 的 一 条 分 隔线（1）求 证:点 A（1,2）,B（1,0）被 直 线 x+y 1=0 分 隔；（2）若 直 线 y=k x 是 曲 线 x2 4 y2=1 的 分 隔 线,求 实 数 k 的 取 值 范 围；（3）动 点 M 到 点 Q（0,2）的 距 离 与 到 y 轴 的 距 离 之 积 为 1,设 点 M 的 轨 迹 为 E,求 E 的 方 程,并 证 明 y 轴 为 曲 线 E 的 分 隔 线【分 析】（1）把 A、B 两 点 的 坐 标 代 入=（a x1+b y1+c）（a x2+b y2+c）,再 根 据 0,得 出 结 论（2）联 立 可 得（1 4 k2）x2=1,根 据 此 方 程 无 解,可 得 1 4 k2 0,从 而 求 得 k的 范 围（3）设 点 M（x,y）,与 条 件 求 得 曲 线 E 的 方 程 为 x2+（y 2）2 x2=1 由 于 y 轴 为 x=0,显 然 与 方 程 联 立 无 解 把 P1、P2的 坐 标 代 入 x=0,由=1（1）=1 0,可 得 x=0 是 一条 分 隔 线【解 答】解:（1）把 点（1,2）、（1,0）分 别 代 入 x+y 1 可 得=（1+2 1）（1 1）=4 0,点（1,2）、（1,0）被 直 线 x+y 1=0 分 隔（2）联 立 可 得（1 4 k2）x2=1,根 据 题 意,此 方 程 无 解,故 有 1 4 k2 0,|k|当|k|时,对 于 直 线 y=k x,曲 线 x2 4 y2=1 上 的 点（1,0）和（1,0）满 足=k2 0,即 点（1,0）和（1,0）被 y=k x 分 隔 故 实 数 k 的 取 值 范 围 是（,+）（3）设 点 M（x,y）,则|x|=1,故 曲 线 E 的 方 程 为 x2+（y 2）2 x2=1 对 任 意 的 y0,（0,y0）不 是 上 述 方 程 的 解,即 y 轴 与 曲 线 E 没 有 公 共 点 又 曲 线 E 上 的 点（1,2）、（1,2）对 于 y 轴（x=0）满 足=1（1）=1 0,即 点（1,2）和（1,2）被 y 轴 分 隔,所 以 y 轴 为 曲 线 E 的 分 隔 线【点 评】本 题 主 要 考 查 新 定 义,直 线 的 一 般 式 方 程,求 点 的 轨 迹 方 程,属 于 中 档 题 2 3（1 8 分）（2 0 1 4 上 海）已 知 数 列 an 满 足 an an+1 3 an,n N*,a1=1（1）若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的 取 值 范 围；（2）若 an 是 等 比 数 列,且 am=,求 正 整 数 m 的 最 小 值,以 及 m 取 最 小 值 时 相 应 an 的 公比；（3）若 a1,a2,a1 0 0成 等 差 数 列,求 数 列 a1,a2,a1 0 0的 公 差 的 取 值 范 围【分 析】（1）由 题 意 可 得:,代 入 解 出 即 可；（2）设 公 比 为 q,由 已 知 可 得,由 于,可 得 而,可 得,再 利 用 对 数 的 运 算 法 则 和 性 质 即 可 得 出（3）设 公 差 为 d,由 已 知 可 得 3 1+（n 2）d,其 中 2 n 1 0 0,即,解 出 即 可【解 答】解；（1）由 题 意 可 得:,；又,3 x 2 7 综 上 可 得:3 x 6（2）设 公 比 为 q,由 已 知 可 得,又,因 此,m=1 l o gq1 0 0 0=1=7.2 9 m 的 最 小 值 是 8,因 此 q7=,=（3）设 公 差 为 d,由 已 知 可 得 1+n d 3 1+（n 1）d 即,令 n=1,得 当 2 n 9 9 时,不 等 式 即,综 上 可 得:公 差 d 的 取 值 范 围 是【点 评】本 题 综 合 考 查 了 等 差 数 列 与 等 比 数 列 的 通 项 公 式、不 等 式 的 性 质、对 数 的 运 算 法 则等 基 础 知 识 与 基 本 技 能 方 法,考 查 了 推 理 能 力 和 计 算 能 力,属 于 难 题