专题一：求函数值域十六法_中学教育-高考.pdf

精品资料 欢迎下载 求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一，也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题，而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容，技巧性强，有很高的难度，因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法，仅作抛砖引玉吧。一、基本知识 1 定义：因变量 y 的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2 函数值域常见的求解思路：划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。反解函数，将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数 y 的不等式，解不等式即可获解。可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数()y f x 看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值0y，0y对应的自变量0 x一定为方程()y f x 在定义域中的一个解，即方程()y f x 在定义域内有解；另一方面，若y取某值0y，方程()y f x 在定义域内有解0 x，则0y一定为0 x对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程()y f x 在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。可以用函数的单调性求值域。其他。3 函数值域的求法（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出()y f x 的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例 1：求函数 1 1,1 y x x x 的值域。2,例 2：求函数26 10 y x x 的值域。1,例 3：求函数1 y x 的值域。解：0 x，1 1 x，函数1 y x 的值域为1,)。（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2()()()F x af x bf x c 的函数的值域问题，均可使用配方法。例 1：求函数24 2 y x x（1,1 x）的值域。解：2 24 2(2)6 y x x x，精品资料 欢迎下载 1,1 x，2 3,1 x，21(2)9 x 23(2)6 5 x，3 5 y 函数24 2 y x x（1,1 x）的值域为 3,5。（3）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例 1 求函数 y=3-2x-x2 的值域。解：由 3-2x-x2 0，解出定义域为-3，1。函数 y 在-3，1内是连续的，在定义域内由 3-2x-x2 的最大值为 4，最小值为 0。函数的值域是 0,2 例 2：求函数2xy，2,2 x 的值域。1,44 例 3：求函数22 5 6 y x x 的值域。73,8（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 1：求函数1 21 2xxy的值域。解：由1 21 2xxy解得121xyy，2 0 x，101yy，1 1 y 函数1 21 2xxy的值域为(1,1)y。（5）、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。小结：已知分式函数)0(cd cxb axy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cay y；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bc add cxcadbcay，用复合函数法来求值域。例 1：求函数12 5xyx的值域。解：1 7 7(2 5)1 12 2 22 5 2 5 2 2 5xxyx x x，的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 7202 5 x，12y，函数 12 5xyx 的值域为1|2y y。（6）、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b cx d（a、b、c、d均为常数，且0 a）的函数常用此法求解。例 1：求函数2 1 2 y x x 的值域。解：令1 2 t x（0 t），则212tx，2 21 51()2 4y t t t 当12t，即38x 时，max54y，无最小值。函数2 1 2 y x x 的值域为5(,4。（7）、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程(,)0 F x y；通过方程有实数根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如21 1 122 2 2a x b x cya x b x c（1a、2a不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。例 1：求函数2231x xyx x 的值域。解：由2231x xyx x 变形得2(1)(1)3 0 y x y x y，当1 y 时，此方程无解；当1 y 时，x R，2(1)4(1)(3)0 y y y，解得1113y，又1 y，1113y 函数2231x xyx x 的值域为11|1 3y y（8）、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例 1：求函数1 2 y x x 的值域。解：当x增大时，1 2x 随x的增大而减少，1 2x 随x的增大而增大，函数1 2 y x x 在定义域1(,2上是增函数。的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 1 1 11 22 2 2y，函数 1 2 y x x 的值域为1(,2。例 2求函数xx y1 在区间,0 x上的值域。分析与解答：任取,0,2 1x x，且2 1x x，则 2 12 1 2 12 11x xx x x xx f x f，因为2 10 x x，所以：0,02 1 2 1 x x x x，当2 11 x x 时，0 12 1 x x，则 2 1x f x f；当1 02 1 x x时，0 12 1 x x，则 2 1x f x f；而当1 x时，2min y 于是：函数xx y1 在区间,0 x上的值域为),2。构造相关函数，利用函数的单调性求值域。例 3：求函数 x x x f 1 1的值域。分析与解答：因为1 10 10 1 xxx，而x 1与x 1在定义域内的单调性不一致。现构造相 关 函 数 x x x g 1 1，易 知)(x g在 定 义 域 内 单 调 增。2 1max g g，2 1min g g，2 x g，2 02 x g，又 42 2 x g x f，所以：4 22 x f，2 2 x f。（9）、基本不等式法 利用基本不等式ab b a 22 2 和)0,(2 b a ab b a是求函数值域的常用技巧之一,利用此法求函数的值域,要合理地添项和拆项,添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量,同时,利用此法时应注意取 成立的条件.例 1 求函数12 xx y的值域.解答:2 11112 x xx x y,当且仅当1 x时 成立.故函数的值域为),2 y.此法可以灵活运用,对于分母为一次多项式的二次分式,当然可以运用判别式法求得其值域,但是若能变通地运用此法,可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例 2 求函数12 22 xx x y的值域.的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 解答:此题可以利用判别式法求解,这里考虑运用基本不等式法求解此题,此时关键是在分子中分解出)1(x项来,可以一般的运用待定系数法完成这一工作,办法是设:2 2)(1(2 x x c b x x,(2)将上面等式的左边展开,有:)()1(2c b x b x,故而2 1 b,2 c b.解得1 b,1 c.从而原函数1111)1)(1()1(x xx xx y;)当1 x时,0 1 x,011 x,此时2 y,等号成立,当且仅当0 x.)当1 x时,0)1(x,011 x,此时有 211)1(11)1(11)1)(1(xxxxxx xy,等号成立,当且仅当2 x.综上,原函数的值域为:),2 2,(y.不等式法 利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 3.求函数 的值域。解：原函数变形为：当且仅当 即当 时，等号成立 故原函数的值域为：的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 例 4.求函数 的值域。解：当且仅当，即当 时，等号成立。由 可得：故原函数的值域为：（10）、有界性法：利用某些函数有界性求得原函数的值域。例 1：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得 2(1)(1)y x y，1 y，211yxy（x R，1 y），101yy，1 1 y，函数2211xyx的值域为|1 1 y y 形如2),(sin x y f 0,1 sin),(2 x y g 因为 可解出 Yr 范围,从而求出其值域或最值。例 2求函数1 21 2xxy 的值域 解析：函数的有界性 的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 由 1 21 2 xxy 得 112 yyx 1 1 011,0 22 y yyy或 例 3：求函数2cos 13cos 2xyx的值域。1,3,5 例 4：求函数2 sin2 sinxyx的值域。1,33（11）、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。例 1：求函数|3|5|y x x 的值域。解：2 2|3|5|82 2xy x xx(3)(3 5)(5)xxx，|3|5|y x x 的图像如图所示，由图像知：函数|3|5|y x x 的值域为8,)以上是我们学习函数之后，关于求函数值域的一些方法，随着以后学习的进一步深入，我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例 2：求函数2 24 5 4 8 y x x x x 的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为2 2 2()(2)1(2)2 f x x x 作一个长为 4、宽为 3 的矩形 ABCD，再切割成 12 个单位 正方形。设 HK=x,则 EK=2x,KF=2x,AK=2 2(2)2 x,KC=2(2)1 x。由三角形三边关系知，AK+KC AC=5。当 A、K、C 三点共 线时取等号。原函数的知域为 y|y 5。例 3如例 4 求函数x x y 1 1的值域。分析与解答：令x u 1，x v 1，则0,0 v u，22 2 v u，y v u，原问题转化为：当直线y v u 与圆22 2 v u在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直85-3oyx的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 线的截距的取值范围。由图 1 知：当y v u 经过点)2,0(时，2m in y；当直线与圆相切时，2 2 22max OC OD y。所以：值域为2 2 y 2 2OVUABCDE 例 4.求函数 的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 到点 的距离之差。即：由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有 即：（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 综上所述，可知函数的值域为：注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载（12）、复合函数法：对函数(),()y f u u g x，先求()u g x 的值域充当()y f u 的定义域，从而求出()y f u 的值域的方法。例 1、求函数1 33xxy 的值域（复合函数法）设tx 1 3，则 1111 3111 31 1 3 ttyx xx 1 0 110 1 ytt 01 原函数的值域为 例 2：求函数212log(2 5 3)y x x 的值域。49,8（13）、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例 1、(1)求函数216 x y 的值域。(2)求函数1322xxy 的值域。解析：(1)16 16 02 x，4 16 02 x 故 所求函数的值域为 4 0，y。(2)0 12 x，原函数可化为 3)1(2 2 x x y，即 3)1(2 y y x，当 1 y 时，yyx132，02 x，013yy，解得 1 3 y 又 1 y，所以 1 3 y，故 所求函数的值域为），1 3 y。（不等式性质法）例 2：求下列函数的值域：（1）y=262 x；（2）y=222 4 102 2x xx x；（3）y=62sin 1 x（4）y=10-216 x；（2）y=13()4(1)2xx；（3）y=221 1log()()4 2x x 的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载（14）、导数法 若函数f在),(b a内可导,可以利用导数求得f在),(b a内的极值,然后再计算f在a,b点的极限值.从而求得f的值域.例 1：求函数x x x f 3)(3 在)1,5(内的值域.分析:显然f在)3,5(可导，且3 3)(2 x x f.由0)(x f得f的极值点为1,1 x x.,2)1(f 2)0 1(f.140)0 5(f.所以,函数f的值域为)140,2(.（15）、“平方开方法”求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合采用“平方开方法”的函数特征 设()f x（x D）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）()f x 的值总是非负，即对于任意的 x D，()0 f x 恒成立；（2）()f x 具有两个函数加和的形式，即1 2()()()f x f x f x（x D）；（3）()f x 的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即 2 21 2()()()()f x f x f x c g x（x D，c 为常数），其中，新函数()g x（x D）的值域比较容易求得.2.“平方开方法”的运算步骤 若函数()f x（x D）具备了上述的三个特征，则可以将()f x 先平方、再开方，从而得到()()f x c g x（x D，c 为常数）.然后，利用()g x 的值域便可轻易地求出()f x 的值域.例如(),g x u v，则显然(),f x c u c v.3.应用“平方开方法”四例 能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.例 1 求函数()f x b x x a（,x a b，a b）的值域.解：首先，当,x a b 时，()0 f x；其次，()f x 是函数1()f x b x 与2()f x x a 的和；最后，2 2()2()()2()f x b a b x x a b a x a b x ab 可 见，函 数()f x 满 足 了 采 用“平 方 开 方 法”的 三 个 特 征.于 是，对()f x 平 方、开 方 得2()2()f x b a x a b x ab（,x a b）.这里，2()2()g x x a b x ab（,x a b）.对()g x的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 根 号 下 面 的 二 次 函 数 采 用“配 方 法”，即 可 求 得()g x 的 值 域 为 0,b a.于 是，()f x 的 值 域 为,2()b a b a.例 2 求函数()f x b kx kx a（,a bxk k，a b，0 k）的值域.解：显然，该题就是例 1 的推广，且此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x平方、开方得2 2()2()f x b a k x k a b x ab（,a bxk k）.这里，2 2()2()g x k x k a b x ab（,a bxk k）.对()g x 根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得()g x 的值域仍为 0,b a.于是，()f x的值域也仍为,2()b a b a.例 3 求函数()|sin|cos|f x x x（x R）的值域.解：参照例 1 的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x平方、开方得()1|sin 2|f x x（x R）.这里，()|sin 2|g x x（x R）.易知，()g x 的值域为 0,1.于是，()f x 的值域为 1,2.例 4 求函数()|sin cos|sin cos|f x x x x x（x R）的值域.解：参照例 1 的验证步骤，显然，此题的()f x 也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对()f x平方、开方得()2 2|cos 2|f x x（x R）.这里，()2|cos2|g x x（x R）.易知，()g x 的值域为 0,2.于是，()f x 的值域为 2,2.例 5 求函数x x y 5 3 的值域 解：（平方法）函数定义域为：5,3 x 2,24,21,0 15 8,5,315 8 2)5()3(222 2原函数值域为得 由 yx x xx x x x y 平方法）函数定义域为：5,3 x 2,24,21,0 15 8,5,315 8 2)5()3(222 2原函数值域为得 由 yx x xx x x x y（16）.一一映射法 原理：因为 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。1 0 x y 的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 例 1.求函数 的值域。解：定义域为 由 得 故 或 解得 故函数的值域为 多种方法综合运用 例 1 求函数 的值域。解：令，则（1）当 时，当且仅当 t=1，即 时取等号，所以（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法 例 2.求函数 的值域。解：令，则 的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载 当 时，当 时，此时 都存在，故函数的值域为 例 3.求函数)0(2 x yx 的值域 解：（图象法）如图，值域为 1,0 例 4.求函数x xy2231 的值域 解：（复合函数法）令1)1(22 2 x x x t，则)1(31 t yt 由指数函数的单调性知，原函数的值域为,31 例 5.求函数21 x x y 的值域 解：（三角代换法）1 1 x 设,0 cos x 2,12,1)4sin(2 sin cos sin cos 原函数的值域为 y 小结：（1）若题目中含有1 a，则可设)0,cos(2 2,sin a a 或设（2）若题目中含有12 2 b a 则可设 sin,cos b a，其中 2 0（3）若题目中含有21 x，则可设 cos x，其中 0（4）若题目中含有21 x，则可设 tan x，其中2 2 t2 的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载（5）若题目中含有)0,0,0(r y x r y x，则可设 2 2sin,cos r y r x 其中 2,0 例 6、求函数1122xxy 的值域 解法一：（逆求法）1 1 0112 yyyx 11 原函数的值域为 解法二：（复合函数法）设t x 12，则)1(211212 tt xy 1,11 1 220 1 原函数值域为ytt 解法三：（判别式法）原函数可化为 0 1 0)1(2 y x x y 1）1 y时 不成立 2）1 y时，1 1 0)1)(1(4 0 0 y y y 1 1 y 综合 1）、2）值域 1 1|y y 解法四：（三角代换法）R x 设 2,2tan x，则 1,1 2 cos,2 2 costan 1tan 122 y 原函数的值域为 1 1|y y 小结：已知分式函数)0(2 222 d af ex dxc bx axy，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为 2 的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用精品资料 欢迎下载)(二次式一次式或一次式二次式 y y的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数)0(xxax y的单调性去解。注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。的是教材中仅有少量求定义域的例题习题而求值域或最值的例题习题则是少得屈指可数原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容技巧性强有很高的难度因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步 集合函数值域常见的求解思路划归为几类常见函数利用这些函数的图象和性质求解反解函数将自变量用函数的数式形式表示出来利用定义域建立函数的不等式解不等式即可获解可以从方程的角度理解函数的值域如果我们将函数看作 一方面若取某值方程在定义域内有解则一定为对应的函数值从方程的角度讲函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围特别地若函数可看成关于的一元二次方程则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件利用