20241_5.1　三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式（十年高考）.docx

2024版新高考新教材版高考总复习数学第五章三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考点1.任意角和弧度制、三角函数的概念1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CDAB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD2OA.当OA=2,AOB=60°时,s=()A.11332B.11432C.9332D.9432答案B连接OC,如图.C是AB的中点,OA=OB=2,OCAB.又CDAB,D,C,O三点共线.AOB=60°,AB=2,OC=3,CD=2-3,s=2+(23)22=11432,故选B.2.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4+4cos B.4+4sin C.2+2cos D.2+2sin 答案B本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为PAB的面积与弓形的面积之和.作PDAB于D点,由APB=,知DOB=(O为圆心).所以|OD|=2cos ,|PD|=2+2cos ,|AB|=4sin .所以SPAB=12·|AB|·|PD|=4sin (1+cos ).S弓形=S扇形OAB-SOAB=12·2·22-12·4sin ·2cos =4-4sin ·cos .故阴影部分的面积为SPAB+S弓形=4sin +4sin cos +4-4sin cos =4+4sin .故选B.思路分析本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.3.(2014课标文,2,5分)若tan >0,则()A.sin >0B.cos >0C.sin 2>0D.cos 2>0答案C由tan >0得是第一或第三象限角,若是第三象限角,则A,B错;由sin 2=2sin cos 知sin 2>0,C正确;取3时,cos 2=2cos2-1=2×122-1=-12<0,D错.故选C.评析本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角的终边经过点(-4,3),则cos =()A.45B.35C.-35D.-45答案D由三角函数的定义知cos =4(4)2+32=-45.故选D.5.(2023北京,13,5分,易)已知命题p:若,为第一象限角,且>,则tan >tan .能说明p为假命题的一组,的值为=,=. 答案136;3(答案不唯一)解析第一象限角的集合是2k<<2+2k,kZ,函数y=tan x的单调递增区间是k-2,k+2(kZ),取=136,=3即可符合题意.6.(2011江西文,14,5分)已知角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴.若P(4,y)是角终边上一点,且sin =-255,则y=. 答案-8解析P(4,y)是角终边上一点,由三角函数的定义知sin =y16+y2,又sin =-255,y16+y2=-255,解得y=-8.评析本题主要考查任意角三角函数的定义,考查运算求解能力,由题意得y16+y2=-255是本题求解的关键考点2.同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2015福建文,6,5分)若sin =-513,且为第四象限角,则tan 的值等于()A.125B.-125C.512D.-512答案Dsin =-513,为第四象限角,cos =1sin2=1213,tan =sincos=-512.故选D.2.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案Cb=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,b>a.又c=tan 35°=sin35°cos35°>sin 35°=cos 55°=b,c>b.c>b>a.故选C.3.(2013浙江理,6,5分)已知R,sin +2cos =102,则tan 2=()A.43B.34C.-34D.-43答案C(sin +2cos )2=52,展开得3cos2+4sin cos =32,再由二倍角公式得32cos 2+2sin 2=0,故tan 2=sin2cos2=-322=-34,选C.评析本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系.4.(2013大纲全国文,2,5分)已知是第二象限角,sin =513,则cos =()A.-1213B.-513C.513D.1213答案A是第二象限角,cos <0.cos =-1sin2=-1213.故选A.评析本题考查三角函数值在各象限的符号,同角三角函数关系,属容易题.5.(2013广东文,4,5分)已知sin52+=15,那么cos =()A.-25B.-15C.15D.25答案Csin52+=sin2+=cos ,cos =15.故选C.6.(2023全国乙文，14） 若，则_【答案】【解析】因为，则，又因为，则，且，解得或（舍去），所以.7.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin =13,则sin =. 答案13解析本题考查三角函数的诱导公式.由角与角的终边关于y轴对称,可得=(2k+1)-,kZ,sin =13,sin =sin(2k+1)-=sin =13.8.(2016四川文,11,5分)sin 750°=. 答案12解析sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=12.解后反思利用诱导公式把大角化为小角.评析本题考查了三角函数的诱导公式.9.(2013课标理,15,5分)设为第二象限角,若tan+4=12,则sin +cos =. 答案-105解析tan =tan+44=1211+12=-13,sin =-13cos ,将其代入sin2+cos2=1得109cos2=1,cos2=910,又易知cos <0,cos =-31010,sin =1010,故sin +cos =-105.第五章三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式及诱导公式五年高考考点1任意角和弧度制、三角函数的概念1.(2020课标理,2,5分,易)若为第四象限角,则()A.cos 2>0B.cos 2<0C.sin 2>0D.sin 2<0答案D2. 数学文化(2022全国甲理,8,5分,中)沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,AB是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在AB上,CDAB.“会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+CD2OA.当OA=2,AOB=60°时,s=()A.11-332B.11-432C.9-332D.9-432答案B3.(2021北京,14,5分,中)若点A(cos ,sin )关于y轴的对称点为Bcos+6,sin+6,则的一个取值为. 答案512(答案不唯一)3. (2012山东,16,4分,中)如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为. 答案(2-sin 2,1-cos 2)考点2同角三角函数的基本关系式及诱导公式1.(2019课标文,7,5分,易)tan 255°=()A.-2-3B.2+3C.23D.2+3答案D2.(2014大纲全国,3,5分,易)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C3.(2018课标文,11,5分,中)已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2=23,则|a-b|=()A.15B.55C.255D.1答案B4.(2021新高考,6,5分,中)若tan =-2,则sin(1+sin2)sin+cos=()A.-65B.25C.25D.65答案C5.(2023全国乙文,14,5分,中)若0,2,tan =13,则sin -cos =. 答案-1056.(2018课标理,15,5分,中)已知sin +cos =1,cos +sin =0,则sin(+)=. 答案-12三年模拟 一、单项选择题1.(2023湖北武汉四调,3,易)已知sin+3=35,则sin2+6=()A.2425B.2425C.725D.725答案D2.(2023广东惠州一模,5,易)若tan =cos3-sin,则sin2+2=()A.23B.13C.89D.79答案D3.(2023山西太原、大同二模,5,易)已知sin +cos =63,0<<,则sin -cos =()A.-233B.233C.33D.33答案B4. 学科融合(2023浙江嘉兴二模,易)相传早在公元前3世纪,古希腊天文学家厄拉多塞内斯就首次测出了地球半径.厄拉多塞内斯选择在夏至这一天利用同一子午线(经线)的两个城市(赛伊城和亚历山大城)进行观测,当太阳光直射赛伊城某水井S时,亚历山大城某处A的太阳光线与地面成角=82.8°,又知某商队旅行时测得A与S的距离即劣弧AS的长为5 000 古希腊里,若圆周率取3.125,则可估计地球半径为()A.35 000古希腊里B.40 000古希腊里C.45 000古希腊里D.50 000古希腊里答案B5.(2022河北邯郸一模,4,易)已知tan =-3,则sin3-sinsin+2=()A.-34B.34C.310D.310答案C6.(2022福建名校联盟全国优质校大联考,7,易)若cos 2=1+2cos ,则sin2+sin4的值为()A.51B.5-12C.1D.2答案C二、多项选择题7.(2022河北仿真模拟卷(二),9,易)已知tan =2,则下列结论正确的是()A.tan(-)=-2B.tan(+)=-2C.sin-3cos2sin+3cos=17D.sin 2=45答案ACD8.(2022重庆西南大学附中模拟,中)已知,0,2,且+=2,则()A.若sin +cos =2,则tan =1B.若tan =2,则sin(+)=55C.tan ,tan 可能是方程x2-6x+7=0的两根D.tan tan +tan tan +tan tan =1答案ABD9. (2022山东济南模拟,中)如图所示,设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作锐角,-,它们的终边分别与单位圆相交于点P1,A1,P,则下列说法正确的是()A.AP的长度为-B.扇形OA1P1的面积为-C.当A1与P重合时,AP1=2sin D.当=3时,四边形OAA1P1面积的最大值为12答案ACD三、填空题10.(2022广东韶关一模,易)已知(0,),且1-cos2sin2=-2,则cos(-)=. 答案55