江苏省南京师范大学附属中学2023届高三下学期5月模拟数学试题含答案.docx

南京师大附中2023届高三年级模拟考试数学2023.5（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第卷（选择题 共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，则中元素个数为（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个2. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 3. 将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（ ）A. B. C. D. 4. 已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ）A. 5B. 7C. 9D. 115. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，构成等比数列的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分条件也不必要条件7. 已知实数，满足，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示已知成绩在区间内的学生人数为2人则（ ） A. 的值为0.015，的值为40B. 平均分为72，众数为75C. 中位数为75D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人10. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）A. 最小正周期为B C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D. 函数在上有且仅有一个零点11. 如图，由正四棱锥和正方体组成多面体的所有棱长均为2则（ ） A. 平面B. 平面平面C. 与平面所成角的余弦值为D. 点到平面的距离为12. 点是直线上的一个动点，是圆上的两点则（ ）A. 存，使得B. 若，均与圆相切，则弦长的最小值为C. 若，均与圆相切，则直线经过一个定点D. 若存在，使得，则点的横坐标的取值范围是第卷（非选择题 共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，的展开式中存在常数项，则的最小值为_14. 某班有45名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上在85分到90分的人数约是_（按四舍五入法保留整数）附：，15. 已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则_16. 已知，设，其中k是整数 若对一切，都是区间上的严格增函数则的取值范围是 _ 四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知、分别为的三个内角、的对边长，且（1）求角的值；（2）求面积的取值范围18. 设为数列的前项和，已知，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，当时，若对于任意，有，求的取值范围19. 甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%（1）当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差；（2）现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率20. 如图（1），平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置（如图（2），且满足平面平面 （1）证明：平面；（2）若点满足，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值21. 已知椭圆，椭圆点为椭圆上的动点，直线与椭圆交于，两点，且（1）求椭圆标准方程；（2）以点为切点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点，问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围22. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，若，求证：；（3）求证：对于任意都有南京师大附中2023届高三年级模拟考试数学2023.5（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上第卷（选择题 共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集，则中元素个数为（ ）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个【答案】B【解析】，中元素个数为4个，故选：B2. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为，所以，故，故选：C.3. 将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】将一枚质地均匀的骰子投掷两次，该试验的样本空间，共36种；设事件=“第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除”，则共14种，所以，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率，故选：A.4. 已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】D【解析】因为，边的中点为，所以，因为，所以，所以，所以，即，因为，所以，故，故选：D5. 圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，则该双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】在平面直角坐标系中，如图， 反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点，由，可得，.记双曲线的焦距为2c，长轴长为2a，在直角三角形中，由双曲线的定义，可得，所以，即，所以离心率，故选：C6. 等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，构成等比数列的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分条件也不必要条件【答案】C【解析】先证明：若，则对任意的，构成等比数列.若，则，可得对任意的，构成等比数列，公比为.再证明：若对任意的，构成等比数列，则.若，则n为偶数时，此时，不能构成等比数列，与已知矛盾，故成立，故选：C.7. 已知实数，满足，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由可得，即，也即，由可得，所以，即，构造函数，在恒成立，所以函数在定义域上单调递减，所以，即，又因为，所以，所以，解得，故选:B.8. 在三棱锥中，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设内接圆柱的底面半径为r，圆柱体的高为h.是圆柱上底面与三棱锥侧面的切点,是连接直线与棱锥下底面的交点，是圆柱上底面所在平面与的交点， 则由与相似，可得,可得，可得.内接圆柱体积.因为，单调递增,单调递减,所以有最大值，此时，故选:A.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示已知成绩在区间内的学生人数为2人则（ ） A. 值为0.015，的值为40B. 平均分为72，众数为75C. 中位数为75D. 已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人【答案】AB【解析】由图可知，由频率之和为1可得，故；因为，所以；由图可知，众数为75；平均数为；，所以中位数位于区间，设中位数为，则，解得；综上所述，AB正确，而C错误；样本可以估计总体，但是不能通过样本直接确定总体，样本与总体之间总是存在一定的偏差，故选项D错误，故选：AB10. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）A. 的最小正周期为B. C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D. 函数在上有且仅有一个零点【答案】ACD【解析】因为函数在上单调，所以的最小正周期满足，即，所以.因为的图象关于点对称，所以，得，由，得，因为，所以，.所以.对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，所以，故B不正确；对于C，将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为为偶函数，故C正确；对于D，令，得，令，由，得，作出函数与直线的图象如图： 由图可知，函数与直线的图象有且只有一个交点，所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确.故选：ACD11. 如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2则（ ） A. 平面B. 平面平面C. 与平面所成角的余弦值为D. 点到平面的距离为【答案】BD【解析】以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接，与交点为，连接，则平面，因为正四棱锥和正方体的所有棱长均为2，所以，点坐标为，所以，对于A：，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因为，所以与平面不平行，故A错误；对于B：由A得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，即，取得，因，所以平面平面，故B正确；对于C：由A得平面的一个法向量为，设与平面所成角为，则，所以，故C错误； 对于D：由A得平面的一个法向量为，因为，所以点到平面的距离为，故D正确；故选：BD 12. 点是直线上的一个动点，是圆上的两点则（ ）A. 存在，使得B. 若，均与圆相切，则弦长的最小值为C. 若，均与圆相切，则直线经过一个定点D. 若存在，使得，则点的横坐标的取值范围是【答案】BCD【解析】 由图可知，当直线，与圆相切且点在轴上时最大，此时，所以最大时是锐角，故A错；，所以，则当最小时，弦长最小，所以，故B正确；设点，是以为直径的圆上的两点，圆的方程为，即，又，是圆上的两点，所以直线的方程为-：，过定点，故C正确；若存在，使得，则，当直线，与圆相切时，最大，对应的余弦值最小，当直线，与圆相切，且时，因为，所以，则，故D正确，故选：BCD.第卷（非选择题 共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，的展开式中存在常数项，则的最小值为_【答案】4【解析】易得的通项，又展开式中存在常数项，则有解，即，因为，故，又，故正整数必须是的整数倍，故的最小值.14. 某班有45名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上在85分到90分的人数约是_（按四舍五入法保留整数）附：，【答案】6【解析】由题意知，所以，所以理论上在85分到90分的人数约是.15. 已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则_【答案】【解析】设曲线在处的切线与曲线相切于处，故曲线在处的切线方程为，整理得.，故曲线在处切线方程为，整理得.故由(1)再结合知，将(1)代入(2) ，得，解得且，将代入(1) ，解得且，即且，令，则，.令，则在区间单调递增，在区间单调递减，且，又两曲线有且只有一条公切线，所以只有一个根，由图和知.16. 已知，设，其中k是整数 若对一切，都是区间上的严格增函数则的取值范围是 _ 【答案】【解析】，令，则，因为，所以，令得或，令得，故在和上单调递增，在上单调递减，因为，其中，令，解得，令，解得，故在上单调递减，在上单调递增，且在和内下凹，在内上凸，的几何意义是点和点连线的斜率，当在内下凹时，可满足都是区间上严格递增，因此当时，严格递增，而当时，唯一可能使不严格递增的区间可能在，曲线须在直线下方，曲线须在直线上方，故需使点都在处的切线上或切线上方即可，从图象可知，只需在处的切线上或切线上方即可，故曲线在处的切线方程为，令，化简得，因此，即，令，则，即，其中，画出及的图象，如下：由图可知，即故答案为：【点睛】方法点睛：若函数在区间上有定义，若，则称为在区间上的凸函数，反之则称为在区间上的凹函数，其性质为：若为在区间上的凸函数，则，则，反之，.四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知、分别为的三个内角、的对边长，且（1）求角的值；（2）求面积的取值范围【解析】（1）由条件，可得，由正弦定理，得，所以，所以，因为，所以（2）由正弦定理，可知，.18. 设为数列的前项和，已知，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，当时，若对于任意，有，求的取值范围【解析】（1），当时，；当时，也符合上式，（2），当时，满足，当时，存在，（其中，表示不超过的最大整数），使得，则，不满足条件，19. 甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%（1）当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差；（2）现从三个厂家生产手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率【解析】（1）设“该手机充电器由甲厂生产”为事件，“该手机充电器由乙厂生产”为事件，“该手机充电器由丙厂生产”为事件，“该手机充电器是合格品”为事件，“该手机充电器是不合格品”为事件，则，的取值为0，1，2，所以分布列为0123且，故，答：的期望是，方差是（2） 答：它是由甲厂生产的概率是20. 如图（1），平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置（如图（2），且满足平面平面 （1）证明：平面；（2）若点满足，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值【解析】（1）证明：取的中点，连结，在正三角形中，有，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以，在等腰直角三角形中，有，又因为，且平面，所以平面 （2）取的中点，连结，在正三角形中，有，由（1）可知平面，又因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面取的中点，连结，因为点是的中点，所以，又因为，所以， 因为平面，平面，所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，所以，.因为，所以，所以，所以，设平面的法向量为，则，令，则，则设平面的法向量为，则，令，则，所以，由题意可知， 整理得，所以，又因为，所以 21. 已知椭圆，椭圆点为椭圆上的动点，直线与椭圆交于，两点，且（1）求椭圆的标准方程；（2）以点为切点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点，问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围【解析】（1）设，因为，所以，因为点为椭圆上的动点，所以，从而即，故椭圆的标准方程； （2）法一：设，当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即，即，代入得直线的方程为 联立 ，消去得注意到化简得 又，所以点到直线的距离为 所以点到直线的距离为 故 当直线的斜率不存在时，即，若，则：，则，所以同理可得，若，综上，四边形的面积为定值 法二：设，当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 注意到化简得， 原点到直线的高为， 又因为，点是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，由对称性可知，所以点到直线的距离等于点到直线的距离的三倍，故 当斜率不存在时，同法一【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，起到了重要的作用.22. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，若，求证：；（3）求证：对于任意都有【解析】（1）函数的定义域是由已知得，当时，当时，单调递减；当时，单调递增；当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增；当时，当时，单调递增；当时，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增综上，当时，函数在上单调递减，上单调递增； 当时，函数在单调递增上单调递减，上单调递增； 当时，函数在单调递增； 当时，函数在单调递增，上单调递减，上单调递增（2）当时，.由（1）知，函数在单调递增且；令，令，令，解得；令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以.令，则，所以恒成立， 不妨设，则 ，所以，所以，所以，所以.（3）由（2）知，时，即，故在时恒成立， 所以，相加得.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理。