重难点突破--高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题17圆锥曲线常考题型05——圆锥曲线中的存在性问题与面积问题含答案.docx

重难点突破-高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题17 圆锥曲线中的存在性问题与面积问题题型一 圆锥曲线中的存在性问题1已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由2已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由3已知抛物线，为坐标原点，抛物线上是否存在，两点关于点对称，若存在，求的面积；若不存在，说明理由4已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由5已知椭圆的右焦点为，点为椭圆的上顶点，过点与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，且（）求椭圆的标准方程；（）若直线的倾斜角为，且与椭圆交于，两点，问是否存在这样的直线使得？若存在，求的方程；若不存在，说明理由6已知圆，圆的弦过点，连接，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值7已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由8已知椭圆的短轴长为2，过点，的直线倾斜角为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点且斜率为的直线，使直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由9已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由10已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由11已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由12在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（）当时，分别求在点和处的切线方程（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）13如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于、两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由题型二 圆锥曲线中的面积问题14已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积15已知抛物线的焦点为，并且经过点（1）求抛物线的方程；（2）过原点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求的面积16已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且（1）求此椭圆的方程；（2）若点在第二象限，求的面积17已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（1）求实数的值；（2）求为原点）面积的最大值18已知点，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为（1）求的方程；（2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程19已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心过点的直线交抛物线与圆分别为，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程20椭圆与抛物线的公共弦长为，且椭圆的离心率为，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为椭圆的左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求直线的方程21已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，焦距为8（1）求该椭圆的标准方程；（2）若点，是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积22已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于点，点是线段的中点（）求抛物线的准线方程；（）求的面积23李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点，处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹，当笔尖运动到点处时，经测量此时，且的面积为4（1）以，所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹交于，两点，且弦的中点为，求的面积24已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值和的取值范围25已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积26已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4（1）求；（2）若点在上，为的两条切线，是切点，求面积的最大值27设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于，直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程28平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点（）求椭圆的方程；（）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点求证：点在定直线上；直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标专题17 圆锥曲线中的存在性问题与面积问题题型一 圆锥曲线中的存在性问题1已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）椭圆上是否存在关于直线对称的两点、，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（）抛物线的焦点为，可得右焦点，即，由题意可得，解得，即有椭圆的方程为；（）假设椭圆上存在关于直线对称的两点、，可设的方程为，代入椭圆方程，可得，即有，即，解得，设，可得，即有的中点坐标为，代入直线，可得，即有，则存在，且的方程为2已知椭圆的离心率为，点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程与定值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得，解得：，所以椭圆的方程为：；（2）结论：存在符合条件的圆，且此圆的方程为：，证明如下：假设存在符合条件的圆，且此圆为，当直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，整理可得：，因为直线与椭圆有且仅有一个公共点，所以，即，由方程组得，则，设，则，设直线，直线的斜率为，所以，将，代入上式得，要使得以为定值，则，即，所以当圆的方程为时，圆与的斜率不存在时，由题意知的方程为，此时圆与的交点，也满足以为定值，综上，当圆的方程为时，圆与的交点，满足定值3已知抛物线，为坐标原点，抛物线上是否存在，两点关于点对称，若存在，求的面积；若不存在，说明理由【解答】解：设存在满足题意的点，其点的坐标为：，由中点坐标公式可得，点在抛物线上，则：，解方程可得：，由对称性，不妨取，则：，直线的方程为，即，坐标原点到直线的距离：，易知4已知中心在坐标原点的椭圆经过点，且点为其右焦点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆有公共点，且直线与的距离等于4？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（1）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得，又，所以，故椭圆的方程为（2）假设存在符合题意的直线，其方程为，由得，因为直线与椭圆有公共点，所以有，解得，另一方面，由直线与的距离，从而，由于，所以符合题意的直线不存在5已知椭圆的右焦点为，点为椭圆的上顶点，过点与轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，且（）求椭圆的标准方程；（）若直线的倾斜角为，且与椭圆交于，两点，问是否存在这样的直线使得？若存在，求的方程；若不存在，说明理由【解答】解：（）设椭圆的标准方程为，根据题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为；（）由题及（）知，假设存在直线满足题意，设直线的方程为，联立方程组，可得，由，解得，由题意可知点为的重心，所以，即，解得，当时，不满足，所以不存在直线，使得6已知圆，圆的弦过点，连接，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线（1）求的方程；（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值【解答】解：（1）因为，所以，因为，所以，又因为，由椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，则，所以，所以的方程为，（2）假设存在点，满足题意，设直线的方程为：，联立方程，消去整理可得：，所以，所以，所以，因为为定值，所以与无关，所以，解得，此时，所以存在点，使得为定值7已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由【解答】解：（1）由的面积为，则，得，所以，又点在椭圆上，因为是椭圆的焦点，所以由解得：，所以椭圆的方程为：；（2）假设存在直线满足题意，因为的斜率，设的方程为，联立方程组，整理得，解得，设，两点的坐标为，则，以为直径的圆的方程为，该圆经过原点，所以，又，所以，解得，经检验满足题意，所以存在直线满足题意，此时直线的方程为8已知椭圆的短轴长为2，过点，的直线倾斜角为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点且斜率为的直线，使直线交椭圆于，两点，以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题意可得，所以，所以，所以椭圆的方程为：；（2）假设存在这样的直线，设直线的方程为：，设，联立直线与椭圆，整理可得：，即，以为直径的圆过点，则，即，所以，整理可得：，即，解得：符合判别式大于0，所以直线的方程为：9已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上（1）求的方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点，试问：在轴上是否在点，当变化时，总有？若存在求出点的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）由题可知，解得，所求的方程为；（2）设存在定点，并设，由，消可得，即，整理为可得即，存在定点满足题意10已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴，长轴长为，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）经过椭圆的左焦点作直线，且直线交椭圆于，两点，问轴上是否存在一点，使得为常数，若存在，求出坐标及该常数，若不存在，说明理由【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，由题意可得，解得，所以，故椭圆的方程为；（2）由（1）可知，假设在轴上存在一点，使得恒为常数当直线与轴不垂直时，设其方程为，设，联立方程组，可得，所以，故，因为是与无关的常数，则有，即，此时；当直线与轴垂直时，此时点、的坐标分别为，当时，亦有综上所述，在轴上有在定点，使得恒为常数，这个常数为11已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点（1）若直线垂直于轴，求；（2）当时，在轴上方时，求、的坐标；（3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）依题意，当轴时，则，得；（2）设，又在椭圆上，满足，即，解得，即直线，联立，解得，；（3）设，直线，则，联立，得则，由直线的方程：，得纵坐标；由直线的方程：，得的纵坐标若，即，代入根与系数的关系，得，解得存在直线或满足题意12在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点（）当时，分别求在点和处的切线方程（）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？（说明理由）【解答】解：联立，不妨取，由曲线可得：，曲线在点处的切线斜率为，其切线方程为：，化为同理可得曲线在点处的切线方程为：存在符合条件的点，下面给出证明：设满足，直线，的斜率分别为：，联立，化为，当时，直线，的倾斜角互补，点符合条件13如图，椭圆的离心率是，点在短轴上，且（）求椭圆的方程；（）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于、两点是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（）根据题意，可得，又，且，解得，椭圆的方程为：；（）结论：存在常数，使得为定值理由如下：对直线斜率的存在性进行讨论：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去并整理得：，从而当时，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线即为直线，此时；故存在常数，使得为定值题型二 圆锥曲线中的面积问题14已知椭圆焦点为，且过点，椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积【解答】解：（1）根据题意，椭圆焦点为，则椭圆的焦点在轴上，且；又由椭圆经过点，则，即，则，又由椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为；（2）根据题意，由（1）的结论：椭圆的标准方程为，则，又由椭圆上一点到两焦点，的距离之差为2，设，则有，解可得：，又由，则为直角三角形，其面积；故的面积为615已知抛物线的焦点为，并且经过点（1）求抛物线的方程；（2）过原点作倾斜角为的直线交抛物线于，两点，求的面积【解答】解：（1）把点代入抛物线，可得，解得，所以抛物线的方程为；（2）抛物线的焦点为，过原点作倾斜角为的直线方程为，联立，解得或不妨设，则的面积为，所以所求的面积为216已知椭圆的两焦点为、，为椭圆上一点，且（1）求此椭圆的方程；（2）若点在第二象限，求的面积【解答】解：（1）依题意得，又，所求椭圆的方程为（3分）（2）设点坐标为，所在直线的方程为，即（4分）解方程组并注意到，可得（6分）（8分）17已知椭圆的下焦点为、上焦点为，其离心率过焦点且与轴不垂直的直线交椭圆于、两点（1）求实数的值；（2）求为原点）面积的最大值【解答】解：（1）由题意可得，因为离心率，所以，因为，所以，解得（2）由（1）知，椭圆，上焦点，设，直线的方程为：，联立，得，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以为原点）面积的最大值为18已知点，动点满足与的斜率之积等于，记的轨迹为（1）求的方程；（2）设过坐标原点的直线与交于，两点，且四边形的面积为，求的方程【解答】解：（1）设，由题意可得，化为，可得的方程为；（2）当直线的斜率不存在，即直线方程为，可得四边形的面积为，不符题意，舍去；设直线方程为，代入方程，可得，由，关于原点对称，可得四边形的面积为，解得，即有直线的方程为19已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心过点的直线交抛物线与圆分别为，（从上到下）（1）求抛物线方程并证明是定值；（2）若，的面积比是，求直线的方程【解答】解：（1）由题知，故，抛物线方程为，设直线的方程为，得，（2），由（1）知，可求得，故，的方程为，即20椭圆与抛物线的公共弦长为，且椭圆的离心率为，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为椭圆的左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求直线的方程【解答】解：（1）由椭圆和抛物线的对称性可设、交点的坐标为，和，由两曲线的公共弦长为，可得，代入抛物线 得，将点 代入椭圆方程得，离心率为 可得，联立，可得，即椭圆方程为：（2）由题意可知，且点不是长轴端点，因此可设直线的方程为：，联立直线方程和椭圆方程可得：，恒成立，原点到直线的距离，则点到直线的距离为，解得或 （舍去），即直线的方程为21已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，焦距为8（1）求该椭圆的标准方程；（2）若点，是该椭圆上的一点，且它位于第一象限，点是椭圆的下顶点，求四边形的面积【解答】解：（1）由题意，解得，则该椭圆的标准方程为；（2）点的坐标为，又点的坐标轴为，22已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，与圆交于点，点是线段的中点（）求抛物线的准线方程；（）求的面积【解答】解：（）因为抛物线，所以抛物线的准线方程为；（）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，即，可得，设，所以，故，所以，将点坐标带入圆方程可得，解得，根据抛物线的对称性，不妨设，联立方程组，可得，则，所以，又点到直线的距离为，故23李华找了一条长度为8的细绳，把它的两端固定于平面上两点，处，套上铅笔，拉紧细绳，移动笔尖一周，这时笔尖在平面上留下了轨迹，当笔尖运动到点处时，经测量此时，且的面积为4（1）以，所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求李华笔尖留下的轨迹的方程（铅笔大小忽略不计）；（2）若直线1与轨迹交于，两点，且弦的中点为，求的面积【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义知，故在中，假设，又的面积为，故，椭圆的标准方程为（2）设，弦的中点为， 且又，均在椭圆上，得，即，故直线的方程为：联立，整理得得， 的面积为424已知，是椭圆的两个焦点，为上的点，为坐标原点（1）若为等边三角形，求的离心率；（2）如果存在点，使得，且的面积等于16，求的值和的取值范围【解答】解：（1）连接，由为等边三角形可知在中，于是，故曲线的离心率（2）由题意可知，满足条件的点存在当且仅当：，即，由及得，又由知，故，由得，所以，从而，故，当，时，存在满足条件的点所以，的取值范围为，25已知曲线，为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别为，（1）证明：直线过定点；（2）若以为圆心的圆与直线相切，且切点为线段的中点，求四边形的面积【解答】解：（1）证明：的导数为，设切点，即有，切线的方程为，即为，切线的方程为，联立两切线方程可得，可得，即，直线的方程为，即为，可化为，可得恒过定点；（2）法一：设直线的方程为，由（1）可得，中点，由为切点可得到直线的距离即为，可得，解得或，即有直线的方程为或，由可得，四边形的面积为；由，可得，此时到直线的距离为；到直线的距离为，则四边形的面积为；法二：（2）由（1）得直线的方程为由，可得于是，设，分别为点，到直线的距离，则，因此，四边形的面积设为线段的中点，则由于，而，与向量平行，所以解得或当时，；当时，综上，四边形的面积为3或26已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为4（1）求；（2）若点在上，为的两条切线，是切点，求面积的最大值【解答】解：（1）点到圆上的点的距离的最小值为，解得；（2）由（1）知，抛物线的方程为，即，则，设切点，则易得，从而得到，设，联立抛物线方程，消去并整理可得，即，且，又点在圆上，故，代入得，而，当时，27设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为（）求椭圆的方程和抛物线的方程；（）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于，直线与轴相交于点若的面积为，求直线的方程【解答】（）解：设的坐标为依题意可得，解得，于是所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为（）解：直线的方程为，设直线的方程为，联立方程组，解得点，故联立方程组，消去，整理得，解得，或，直线的方程为，令，解得，故，又的面积为，整理得，解得，直线的方程为，或28平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，抛物线的焦点是的一个顶点（）求椭圆的方程；（）设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点求证：点在定直线上；直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标【解答】解：由题意可得，抛物线的焦点为，即有，解得，可得椭圆的方程为；（）证法一：设，可得，由的导数为，即有切线的斜率为，则切线的方程为，可化为，代入椭圆方程，可得，可得设，可得，即有中点，直线的方程为，可令，可得即有点在定直线上；证法二、如图：设，切线的方程为，设，则，两式相减可得，可得，则，即直线，再令，可得，所以点在定直线上；直线的方程为，令，可得，则；，则，令，则，则当，即时，取得最大值，此时点的坐标为，专题18 圆锥曲线选填中档题汇编(1)一选择题（共10小题）1已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为ABCD2已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为ABCD3若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为ABCD4已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，且交轴于点，则的取值范围为ABCD5设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点若，且，则双曲线的渐近线方程是ABCD6已知，是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为A5B4C2D17已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于A4BC2D38已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为ABCD9过双曲线的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是ABC2D10已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为ABCD二多选题（共13小题）11已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是参考数据A椭圆的离心率B双曲线的离心率C椭圆上不存在点使得D双曲线上存在不同的四个点，2，3，使得垂直12已知曲线的方程为，则下列结论正确的是A当，曲线为椭圆B当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为C“或”是“曲线为双曲线”的充要条件D不存在实数使得曲线为离心率为的双曲线13如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，为椭圆的顶点，为右焦点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率可能为ABCD14设，是抛物线上两点，是坐标原点，若，下列结论正确的为A为定值B直线过抛物线的焦点C最小值为16D到直线的距离最大值为415已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，椭圆的上顶点为，且的面积为双曲线和椭圆焦点相同，且双曲线的离心率为，是椭圆与双曲线的一个公共点，若，则下列说法正确的是ABCD16已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是A的方程为B的离心率为C曲线经过的一个焦点D直线与有两个公共点17已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，分别为，在上的射影，且，为中点，则下列结论正确的是AB为等腰直角三角形C直线的斜率为D线段的长为18在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，抛物线的准线过双曲线的左焦点，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则下列说法正确的是A双曲线的渐近线方程为B双曲线的方程为C为定值D存在点，使得19我们通常称离心率是的椭圆为“黄金椭圆”如图，已知椭圆，分别为左、右、上、下顶点，分别为左、右焦点，为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆为“黄金椭圆”的是ABC轴，且D四边形的内切圆过焦点，20已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，以线段为直径的圆交轴于、两点，则A若抛物线上存在一点到焦点的距离等于3，则抛物线的方程为B若，则直线的斜率为C若直线的斜率为，则D设线段的中点为，若点到抛物线准线的距离为2，则的最小值为21已知，分别为双曲线的左、右焦点，分别为其实轴的左、右端点，且，点为双曲线右支一点，为的内心，则下列结论正确的有A离心率B点的横坐标为定值C若成立，则D若垂直轴于点，则22已知椭圆的左、右焦点分别为，其长轴长是短轴长的，若点是椭圆上不与，共线的任意点，且的周长为16，则下列结论正确的是A的方程为B的离心率为C双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为D点是圆上一点，点，是的左、右顶点不与，重合），设直线，的斜率分别为，若，三点共线，则23发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数已知：曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A曲线过坐标原点B曲线关于坐标原点对称C曲线关于坐标轴对称D若点在曲线上，则的面积不大于三填空题（共10小题）24已知椭圆的上焦点为，是椭圆上一点，点，当点在椭圆上运动时，的最大值为25设为椭圆的左焦点，为上第一象限的一点若，则椭圆的离心率为26在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为，若的面积为，则直线的斜率为27已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点相同，则双曲线的方程为，过点分别作两条直线，直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线交于，两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为28汽车前照灯的反射镜为一个抛物面它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过透镜的折射等作用达到照亮路面的效果如图，从灯泡发出的光线经抛物线反射后，沿平行射出，的角平分线所在的直线方程为，则抛物线方程为29如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则直线的方程为30设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线交于，两点，为坐标原点，则的面积为31已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，抛物线的准线与轴交于点，当最大时，弦长度是32以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点已知，则的焦点到准线的距离为33已知是抛物线与双曲线上有一个公共的焦点，点为抛物线上任意一点，则的最小值是专题18 圆锥曲线选填中档题汇编(1)一选择题（共10小题）1已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为ABCD【解答】解：设双曲线的标准方程为，由题意知，设，则有：，两式作差得：，又的斜率是，所以将代入，解得，所以双曲线的标准方程是故选：2已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的右支上一点，连接与轴交于点，若为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为ABCD【解答】解：在中，由双曲线的定义知，即，即，即，双曲线的渐近线方程为故选：3若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为ABCD【解答】解：设，或，由题意可得，则，或，当时，取最小值为故选：4已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，且交轴于点，则的取值范围为ABCD【解答】解：因为为的中垂线，所以，又为的中点，所以，设点，因为，所以，同理可得，所以，则，又由已知椭圆方程可得，所以，则，所以，因为，所以，因为，且在上单调递增，当时，当时，所以，故选：5设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点若，且，则双曲线的渐近线方程是ABCD【解答】解：由双曲线的定义知，即，在中，由余弦定理知，化简得，双曲线的渐近线方程为，即故选：6已知，是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为A5B4C2D1【解答】解：是焦点为、的椭圆上一点，为的外角平分线，设的延长线交的延长线于点，由题意知是的中位线，点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，当点与轴重合时，与短轴端点取最近距离故选：7已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于A4BC2D3【解答】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，在双曲线的右支上，根据椭圆及双曲线的定义可得，可得，设，四边形是平行四边形，所以，在中由余弦定理得，化简得，该式可化为：，结合，则故选：8已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与圆相切于点，交双曲线的右支于点，且点是线段的中点，则双曲线的渐近线方程为ABCD【解答】解：如图，连接，过点的直线与圆相切于点，依题意可得，双曲线的渐近线方程为故选：9过双曲线的右焦点作圆的切线，交轴于点，切圆于点，若，则双曲线的离心率是ABC2D【解答】解：若，可得，且，由，可得，在中，由直角三角形的射影定理可得，则，即，则，故选：10已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若，则双曲线的离心率为ABCD【解答】解：，设，则，根据双曲线的定义，得，即，解得，即，中，在三角形中，可得，因此，该双曲线的离心率故选：二多选题（共13小题）11已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交