重难点突破--高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题01通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）含答案.docx

重难点突破-高二数学上册常考题专练（人教A版2019选修一）专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一 直线与平面所成的角1（2020海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值2（2020山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值3（2020天津）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值4（2021浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为，的中点，（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值5（2018浙江）如图，已知多面体，均垂直于平面，（）证明：平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值题型二 二面角的平面角及求法6（2021新高考）在四棱锥中，底面是正方形，若，（）求证：平面平面；（）求二面角的平面角的余弦值7（2020新课标）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值8（2019新课标）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值9（2021天津）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值10（2021北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求11（2021乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值12（2021甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？13（2019新课标）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值14（2021新高考）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积15（2020江苏）在三棱锥中，已知，为的中点，平面，为中点（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值16（2020新课标）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值17（2019天津）如图，平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长18（2019新课标）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小19（2018新课标）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值20（2018新课标）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值21（2019北京）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点在上，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由专题01 通过空间向量解决立体几何中的角度问题（高考真题专练）题型一 直线与平面所成的角1（2020海南）如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面，平面，又，平面，平面；（2）解：如图，以为坐标原点，直线，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，为上的点，则，0，0，1，0，1，作，则为平面与平面的交线为，因为，是等腰直角三角形，所以，0，则，0，1，1，设平面的法向量为，则，取，可得，0，与平面所成角的正弦值为2（2020山东）如图，四棱锥的底面为正方形，底面设平面与平面的交线为（1）证明：平面；（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值【解答】解：（1）证明：过在平面内作直线，由，可得，即为平面和平面的交线，平面，平面，又，平面，平面；（2）如图，以为坐标原点，直线，所在的直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，1，0，1，设，0，0，1，1，设平面的法向量为，则，取，可得，0，与平面所成角的正弦值为，当且仅当取等号，与平面所成角的正弦值的最大值为3（2020天津）如图，在三棱柱中，平面，点，分别在棱和棱上，且，为棱的中点（）求证：；（）求二面角的正弦值；（）求直线与平面所成角的正弦值【解答】解：以为原点，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，0，2，0，0，2，0，0，1，（）证明：依题意，1，；（）依题意，0，是平面的一个法向量，2，0，设，为平面的法向量，则，即，不妨设，则，二面角的正弦值；（）依题意，2，由（）知，为平面的一个法向量，直线与平面所成角的正弦值为4（2021浙江）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为，的中点，（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值【解答】（）证明：在平行四边形中，由已知可得，由余弦定理可得，则，即，又，平面，而平面，；（）解：由（）知，平面，又平面，平面平面，且平面平面，且平面，平面，连接，则，在中，可得，又，在中，求得，取中点，连接，则，可得、两两互相垂直，以为坐标原点，分别以、为、轴建立空间直角坐标系，则，2，0，又为的中点，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，则故直线与平面所成角的正弦值为5（2018浙江）如图，已知多面体，均垂直于平面，（）证明：平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值【解答】证明：平面，平面，又，同理可得：，又，平面解：取中点，过作平面的垂线，交于，以为原点，以，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则，0，0，0，设平面的法向量为，则，令可得，1，设直线与平面所成的角为，则直线与平面所成的角的正弦值为题型二 二面角的平面角及求法6（2021新高考）在四棱锥中，底面是正方形，若，（）求证：平面平面；（）求二面角的平面角的余弦值【解答】（）证明：中，所以，所以；又，平面，平面，所以平面；又平面，所以平面平面（）解：取的中点，在平面内作，以为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则，0，1，0，因为平面，所以平面的一个法向量为，0，设平面的一个法向量为，由，2，得，即，令，得，所以，2，；所以，所以二面角的平面角的余弦值为7（2020新课标）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，是底面的内接正三角形，为上一点，（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值【解答】解：（1）不妨设圆的半径为1，在中，故，同理可得，又，故平面；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则有，1，故，设平面的法向量为，则由，得，取，则，所以平面的法向量为，由（1）可知平面，不妨取平面的法向量为，故，即二面角的余弦值为8（2019新课标）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值【解答】证明：（1）长方体中，平面，平面解：（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面，则，1，1，1，0，0，面，故取平面的法向量为，0，设平面的法向量，由，得，取，得，二面角的正弦值为9（2021天津）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值【解答】（1）证明：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，0，1，2，故，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又，2，2，所以，则，又平面，故平面；（2）解：由（1）可知，则，故直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，所以，故二面角的正弦值为10（2021北京）已知正方体，点为中点，直线交平面于点（1）求证：点为中点；（2）若点为棱上一点，且二面角的余弦值为，求【解答】（1）证明：连结，在正方体中，平面，平面，则平面，因为平面平面，所以，则，故，又因为，所以四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，所以，而点为的中点，所以，故，则点为的中点；（2）解：以点为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方体边长为2，设点，0，且，则，2，1，1，故，设平面的法向量为，则，即，所以，故，设平面的法向量为，则，即，所以，故，因为二面角的余弦值为，则，解得，又，所以，故11（2021乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【解答】解：（1）连结，因为底面，且平面，则，又，平面，所以平面，又平面，则，所以，又，则有，所以，则，所以，解得；（2）因为，两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，0，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，所以，设二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为12（2021甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的点，（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小？【解答】（1）证明：连接，分别为直三棱柱的棱和的中点，且，即，故以为原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，2，1，2，设，则，0，2，1，即（2）解：平面，平面的一个法向量为，0，由（1）知，1，1，设平面的法向量为，则，即，令，则，当时，面与面所成的二面角的余弦值最大，此时正弦值最小，故当时，面与面所成的二面角的正弦值最小13（2019新课标）如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是，的中点（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值【解答】（1）证明：如图，过作，则，且，又，四边形为平行四边形，则，由，为中点，得为中点，而为中点，则四边形为平行四边形，则，平面，平面，平面；（2）解：以为坐标原点，以垂直于的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，1，设平面的一个法向量为，由，取，得，又平面的一个法向量为，二面角的正弦值为14（2021新高考）如图，在三棱锥中，平面平面，为的中点（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积【解答】解：（1）证明：因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；（2）方法一：取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，所以，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，1，设，0，则，因为平面，故平面的一个法向量为，设平面的法向量为，又，所以由，得，令，则，故，因为二面角的大小为，所以，解得，所以，又，所以，故方法二：过作，交于点，过作于点，连结，由题意可知，又平面所以平面，又平面，所以，又，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，即，又，所以，则，故，所以，因为，则，所以，则，所以，则，所以15（2020江苏）在三棱锥中，已知，为的中点，平面，为中点（1）求直线与所成角的余弦值；（2）若点在上，满足，设二面角的大小为，求的值【解答】解：（1）如图，连接，为的中点，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，0，0，2，0，是的中点，1，设直线与所成角为，则，即直线与所成角的余弦值为；（2），设，则，设平面的一个法向量为，由，取，得；设平面的一个法向量为，由，取，得16（2020新课标）如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值【解答】（1）证明：在上取点，使得，连接，在长方体中，有，且又，四边形和四边形都是平行四边形，且，且又在长方体中，有，且，且，则四边形为平行四边形，且，又，且，且，则四边形为平行四边形，点在平面内；（2）解：在长方体中，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，1，0，1，1，则，设平面的一个法向量为则，取，得；设平面的一个法向量为则，取，得设二面角为，则二面角的正弦值为17（2019天津）如图，平面，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若二面角的余弦值为，求线段的长【解答】（）证明：以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可得，0，0，2，1，0，设，则，2，则是平面的法向量，又，可得又直线平面，平面；（）解：依题意，设为平面的法向量，则，令，得直线与平面所成角的正弦值为；（）解：设为平面的法向量，则，取，可得，由题意，解得经检验，符合题意线段的长为18（2019新课标）图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，将其沿，折起使得与重合，连结，如图2（1）证明：图2中的，四点共面，且平面平面；（2）求图2中的二面角的大小【解答】证明：（1）由已知得，确定一个平面，四点共面，由已知得，面，平面，平面平面解：（2）作，垂足为，平面，平面平面，平面，由已知，菱形的边长为2，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系，则，1，0，0， ，0，设平面的法向量，则，取，得，6，又平面的法向量为，1，二面角的大小为19（2018新课标）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点（1）证明：平面平面；（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值【解答】解：（1）证明：在半圆中，正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，平面，则，平面，平面，平面平面（2）的面积为定值，要使三棱锥体积最大，则三棱锥的高最大，此时为圆弧的中点，建立以为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图正方形的边长为2，1，0，则平面的法向量，0，设平面的法向量为，则，2，1，由，令，则，即，0，则，则面与面所成二面角的正弦值20（2018新课标）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：连接，是的中点，且，又，则，则，平面；（2）建立以坐标原点，分别为，轴的空间直角坐标系如图：，0，2，0，2，设，则，则平面的法向量为，0，设平面的法向量为，则，则，令，则，即，二面角为，即，解得或（舍，则平面的法向量，2，与平面所成角的正弦值，21（2019北京）如图，在四棱锥中，平面，为的中点，点在上，且（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）设点在上，且判断直线是否在平面内，说明理由【解答】证明：（）平面，平面解：（）以为原点，在平面内过作的平行线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，1，0，1，平面的法向量，0，设平面的法向量，则，取，得，1，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为（）直线在平面内，理由如下：点在上，且，平面的法向量，1，故直线在平面内专题02 立体几何中存在性问题的向量解法题型一 与平行有关的存在性问题1如图，在正方体中，是棱的中点（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明2如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由3已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由4如图：平面，四边形为直角梯形，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由5如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，是线段的中点，连结（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由6中国古代数学名著九章算术中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼刍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，（1）求二面角的大小；（2）求三棱锥的体积；（3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由题型二 与垂直有关的存在性问题7如图，在直角梯形中，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面（1）求二面角的正弦值；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由8如图所示，在长方体中，分别是，的中点，（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由9如图，在直三棱柱中、，是中点（）求证：平面；（）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值10如图，在长方体中，为中点，为中点（1）求证：平面；（2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值11如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点已知，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值；（）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由12如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为等腰直角三角形，是的中点，二面角的大小为，设平面与平面的交线为（1）在线段上是否存在点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由；（2）若点在上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长题型三 与距离有关的存在性问题13如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰三角形，侧棱，是的中点，试问在线段上是否存在一点（不与端点重合），使得点到平面的距离为？14如图，长方体中，为棱中点，为棱中点（1）求二面角平面角的大小；（2）线段上是否存在点，使得到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由15如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，是的中点（1）求平面和平面夹角的余弦值；（2）在线段（含端点）上是否存在点，使点到平面的距离为？请说明理由题型四 与角度有关的存在性问题16如图，已知在四棱锥中，底面为等腰梯形，为棱上一点，与交于点，且，（1）证明：；（2）是否存在点，使二面角的余弦值为？若存在，求出点位置，若不存在，请说明理由17如图1，在直角梯形中，将沿折起，折起后点的位置为点，得到三棱锥如图2所示，平面平面，直线与平面所成角的正切值为（1）求线段的长度；（2）试判断在线段上是否存在点，使二面角的平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由18如图，在四棱锥中，底面为正方形，为线段的中点，为线段上的动点（1）求证：平面；（2）是否存在点，使平面与平面所成的锐二面角为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由19如图，在棱长为2的正方体中，分别是，的中点（1）证明：，三线共点；（2）线段上是否存在一点，使得直线与平面，所成角的正弦值为，若存在，请旨出点的位置，并求二面角的平面角的余弦值大小；若不存在，请说明理由20如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，与平行并且相等，（1）证明：；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的平面角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由21如图，在四棱锥中，平面平面，（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由22如图，在四棱锥中，（1）证明：平面；（2）设平面平面，平面，在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明由23如图，在棱长为2的正方体中，、分别是和的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求异面直线与之间的距离；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长，若不存在，请说明理由24如图，三棱柱所有的棱长为2，是棱的中点（）求证：平面；（）在线段是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由25如图，四棱锥的底面为菱形，平面，且，分别为，的中点，点为棱上一动点（1）证明：平面平面；（2）若，在线段上是否存在一点，使得二面角的正弦值为？若存在，试确定的位置；若不存在，说明理由26如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，点为棱的中点（1）求证：；（2）棱（除两端点外）上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由专题02 立体几何中存在性问题的向量解法题型一 与平行有关的存在性问题1如图，在正方体中，是棱的中点（1）求二面角的余弦值；（2）在棱（包含端点）上是否存在点，使平面，给出你的结论，并证明【解答】（1）解：设正方体的边长为单位长度，建立如图直角坐标系， 则，0，1，所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，又因为平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为；（2）棱（包含端点）上不存在点，使平面证明如下：设的坐标为，1，因为的坐标为，1，所以，若在棱（包含端点）上存在点，使平面，则，所以，即，这与矛盾，所以棱（包含端点）上不存在点，使平面2如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点（1）若平面，求二面角的大小；（2）在（1）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由【解答】解：（1）连接，设交点为，连接，为正方形，点为与的中点，由题意可知，故，同理，且，平面，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，平面，所以平面的一个法向量为，平面，所以平面的一个法向量为，设平面的平面角为锐角，则，则，二面角的大小为；（2），设，故，于是，平面的一个法向量为，且平面，解得，即点为线段的三等分点且靠近点3已知在六面体中，平面，平面，且，底面为菱形，且（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，试问：在线段上是否存在点，使二面角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：连接，四边形为菱形，又平面，平面，又，平面，又平面，平面平面；（2）解：平面，为在平面上的射影，为直线与平面所成角，则，得，令，则，又四边形为菱形，为等边三角形，得，取的中点，连接，可得，且，以为原点，分别以，所在直线为，建立空间直角坐标系，如图所示，则，2，0，2，设，三点共线，则，解得，由（1）知平面，平面的法向量，取，令平面的法向量为，则，令，则，二面角为，解得，当时，点与点重合，存在点即为点时，二面角为4如图：平面，四边形为直角梯形，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值；（）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由【解答】（）证明：取中点，连接，因为四边形为直角梯形，所以四边形为正方形，因为平面，平面，所以，又因为，、平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，于是平面平面（）解：因为平面，所以、，又因为，所以、两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，1，设平面的法向量为，令，1，平面的法向量为，0，所以二面角的余弦值为（）解：不存在，理由如下：假设在棱上存在点，使得平面，令，则，0，0，由（）知平面的法向量为，1，因为平面，所以，解得，与，矛盾，所以在棱上不存在点，使得平面5如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，是线段的中点，连结（）求证：；（）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【解答】解：（）证明：因为四边形为菱形，所以，又因为，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以（）连结因为，为的中点，所以由（）可知平面，所以，设，则如图，以为原点，、所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系则所以，因为平面，所以是平面的一个法向量设平面的法向量为，则，所以令，则，得，所以由题知，二面角为钝角，所以二面角的余弦值为（）当点是线段的中点时，平面理由如下：因为点平面，所以在线段上存在点，使得平面，等价于假设线段上存在点使得平面设，则所以由，解得所以当点是线段的中点时，平面，且6中国古代数学名著九章算术中记载：“刍chú甍méng者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼刍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，（1）求二面角的大小；（2）求三棱锥的体积；（3）点在直线上，满足，在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）过点分别作，分别交，于，连接，则为二面角的平面角，因为四边形为正方形，所以，由已知得，所以（2）过点作，垂足为因为，平面，平面，所以平面因为，所以因为，所以平面因为平面，所以因为，平面，所以平面，所以为三棱锥的高，因为，所以（3）方法一：假设存在点当点在线段上时，连接交于，则，所以因为平面，平面，平面平面，所以，所以当点在延长线上时，连接交于，则，所以因为平面，平面，平面平面，所以，所以综上，在直线上存在点，使平面，的值为或方法二：当点在线段上时，过点作交于，连接，过点作交于点，因为，所以平面平面因为平面，所以平面因为平面，平面平面，所以因为，所以，所以，所以，所以当点在线段延长线上时，过点作交于，连接，过点作交于点因为，所以平面平面因为平面，所以平面因为平面，平面平面，所以因为，所以，所以，所以所以综上，在上存在点使得平面，此时或题型二 与垂直有关的存在性问题7如图，在直角梯形中，且，是的中点，将沿折起到的位置，使平面平面（1）求二面角的正弦值；（2）在直线上是否存在点，使平面？若存在，请求出点所在的位置；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）在图1中，设，是的中点，则四边形为正方形，在图2中，设中点为，平面平面，平面，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，0，0，则有，0，设平面的法向量，则，取，1，设平面的法向量，则，取，1，则二面角的正弦值为（2）假设在直线上是存在点，使平面，且，则，0，平面的法向量，1，方程无解，假设不成立，在直线上不存在点，使平面8如图所示，在长方体中，分别是，的中点，（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：以为原点，以，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，0，1，0，2，1，2，又平面，平面，平面（2）解：，2，2，设平面的法向量为，则，即，令可得，1，又，0，是平面的一个法向量，平面与平面的夹角的余弦值为（3）解：假设线段上是否存在点，使得平面，则，不妨设，则，又，0，故存在实数使得，方程组无解，故线段上不存在点，使得平面9如图，在直三棱柱中、，是中点（）求证：平面；（）在棱存在一点，满足，求平面与平面夹角的余弦值【解答】（）证明：连接交于，四边形是平行四边形，是的中点，又是的中点，又平面，平面，平面（）解：以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系，设，则，0，0，2，1，0，即，故，0，设平面的法向量为，则，即，令可得，又，1，为平面的一个法向量，平面与平面夹角的余弦值为10如图，在长方体中，为中点，为中点（1）求证：平面；（2）若线段上存在点使得，求与平面所成角的正弦值【解答】（1）证明：因为为的中点，则，又，故，可得，则有，即，由为的中点，为的中点，可得底面，又平面，所以，又，平面，所以平面；（2）解：在长方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，所以，设，则，又，则，因为，解得，所以，故，设平面的法向量为，则有，即，令，则，故，所以，故与平面所成角的正弦值11如图所示，在四棱锥中，底面，底