广东省深圳市2023届高三二模数学试题含答案.docx

2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A 0B. 2C. 3D. 0，32. 已知函数，则（ ）A. 2B. -2C. D. -3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ）A. 0B. C. D. 4. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）A. B. C. D. 5. 已知中，与相交于点，则有序数对（ ）A. B. C. D. 6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）A B. C. D. 7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 8. 已知，且，则下列关系式恒成立的为（ ）A. B. C. D. 二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：x12345y0.50811.21.5假设经验回归方程为，则（ ）A. B. 当时，y预测值为2.2C. 样本数据y的40%分位数为0.8D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变10. 已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）A. 的定义域为B. 当时，取得最大值C. 当时，的单调递增区间为D. 当时，有且只有两个零点和11. 如图，在矩形AEFC中，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将ABE、BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）A. 三棱锥的体积为B. 直线PA与直线BC所成角的余弦值为C. 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为D. 三棱锥外接球的半径为12. 设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）A. 轴B. C. D. 三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数满足，则_.14. 若，则_(精确到0.01).参考数据：若，则，.15. 已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_.16. 足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_码时，到达最佳射门位置.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知分别为三个内角的对边，且.（1）证明:；（2）若，求AM的长度.18. 飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:性别飞盘运动合计不爱好爱好男61622女42428合计104050（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510.82819. 三棱柱中，.（1）证明:；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.20. 已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.21. 已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.（1）若点，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；（2）若点M不与B重合，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.；.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数恰有两个零点.（i）求m的取值范围；（ii）证明:.2023年深圳市高三年级第二次调研考试数学一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. 0B. 2C. 3D. 0，3【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D.2. 已知函数，则（ ）A. 2B. -2C. D. -【答案】A【解析】，因为，所以，故选：A.3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ）A. 0B. C. D. 【答案】C【解析】由等差数列的前项和的性质可得：，也成等差数列，解得故选：C.4. 设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为、和，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设正方体棱长为，正四面体棱长为，球的半径为，面积为.正方体表面积为，所以，所以；如图，正四面体，为的中点，为的中心，则是底面上的高.则，所以，所以，所以正四面体的表面积为，所以.又为的中心，所以.又根据正四面体的性质，可知，所以，所以；球的表面积为，所以，所以，.因为，所以，所以，故选：B.5. 已知中，与相交于点，则有序数对（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意、三点共线，故，所以，又、三点共线，故，则，所以，解得，所以，又，所以，所以有序数对，故选：D6. 从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，10种情况，若这三个数之积为偶数有，9种情况，它们之和大于8共有 ，5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为.故选:D.7. 设椭圆C：的左、右焦点分别为，直线l过点.若点关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且，则C的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，由已知可得，根据椭圆的定义有.又，所以.在中，由余弦定理可得，即，整理可得，等式两边同时除以可得，解得，或（舍去），所以.故选：C.8. 已知，且，则下列关系式恒成立的为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】构造，则，当时，所以在单调递增， 因为，当，时，则,所以所以，单调递增，所以;当，时,所以所以,单调递减，所以，故选：A【点睛】关键点点睛，构造函数，本题中构造进行求解，利用函数单调性比较函数值的大小，.二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据(见下表)：x12345y0.50.811.21.5假设经验回归方程为，则（ ）A. B. 当时，y的预测值为2.2C. 样本数据y的40%分位数为0.8D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不变【答案】ABD【解析】对于A选项：线性回归方程必过点，解得，所以选项A正确；对于B选项：当时，可以的出y的预测值为2.2,所以B选项正确；对于C选项：从小到大排列共有5个数据，则是整数，则第40百分位数为从小到大排列的第3个数据，即第40百分位数为3，所以C选项错误；对于D选项：因为相关系数为,5组样本数据的相关系数为：，去掉样本中心点后相关系数为， 所以相关系数r不变,所以D选项正确；故选：ABD.10. 已知是定义在闭区间上的偶函数，且在y轴右侧的图象是函数图象的一部分(如图所示)，则（ ）A. 的定义域为B. 当时，取得最大值C. 当时，的单调递增区间为D. 当时，有且只有两个零点和【答案】BCD【解析】由图得，且位于增区间上，所以，又因为，所以，则，得，所以，所以，由图可知，原点右侧的第二个零点为，所以的定义域为，故A错误；当时，因为为最大值，则当时，取得最大值，故B正确；当时，令，则，又因为，所以当时，的减区间为，因为函数为偶函数，所以当时，的单调递增区间为，故C正确；当时，令，得或，则或，因为函数为偶函数，所以当时，有且只有两个零点和，故D正确.故选：BCD.11. 如图，在矩形AEFC中，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将ABE、BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（ ）A. 三棱锥的体积为B. 直线PA与直线BC所成角的余弦值为C. 直线PA与平面PBC所成角的正弦值为D. 三棱锥外接球的半径为【答案】BD【解析】由题意可得，又平面，所以平面，在中，边上的高为，所以，故A错误；对于B，在中，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；对于C，设点到平面的距离为，由，得，解得，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；由B选项知，则，所以的外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，又因为平面，则，所以，即三棱锥外接球的半径为，故D正确，故选：BD.12. 设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）A. 轴B. C. D. 【答案】AC【解析】对于A选项：设,过点A切线为：,过点B切线为:,得化简可得，轴,A选项正确.设过A点的切线为,过B点的切线为,交点为 AB的中点为，所以不垂直,B选项错误；,所以,D选项错误;作抛物线准线的垂线 ,连接，则 显然 ,所以 又因为由抛物线定义,得,故知 是线段 的中垂线,得到则，同理可证：,，所以，即,所以 ,即.故选:AC.三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知复数满足，则_.【答案】【解析】因为，即，所以或，若，则，则，若，则，则.综上所述，.14. 若，则_(精确到0.01).参考数据：若，则，.【答案】0.82【解析】因为，根据参考数据，.15. 已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_.【答案】【解析】因为为奇函数，则，所以，在等式中，令，可得，解得，又因为，则，所以，由可得，即，所以函数为周期函数，且该函数的周期为，所以.16. 足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准足球场的底线宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点，使得最大，这时候点就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点处（，）时，根据场上形势判断，有、两条进攻线路可供选择.若选择线路，则甲带球_码时，到达最佳射门位置；若选择线路，则甲带球_码时，到达最佳射门位置.【答案】 . . 【解析】若选择线路，设，其中，则，所以，当且仅当时，即当时，等号成立，此时，所以，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置；若选择线路，以线段的中点为坐标原点，、的方向分别为、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，直线的方程为，设点，其中，所以，令，则，所以，当且仅当时，即当，即当时，等号成立，所以，当且仅当时，等号成立，此时，若选择线路，则甲带球码时，到达最佳射门位置.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知分别为三个内角的对边，且.（1）证明:；（2）若，求AM的长度.【解析】（1）由，得，则，由正弦定理和余弦定理得，化简得；（2）在中，又因为，所以，所以，所以，由，得，在中，所以.18. 飞盘运动是一项入门简单，又具有极强的趣味性和社交性的体育运动，目前已经成为了年轻人运动的新潮流.某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关，对该地区的年轻人进行了简单随机抽样，得到如下列联表:性别飞盘运动合计不爱好爱好男61622女42428合计104050（1）在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X，求X的分布列和数学期望；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为爱好飞盘运动与性别有关联？如果把上表中所有数据都扩大到原来的10倍，在相同的检验标准下，再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联性，结论还一样吗？请解释其中的原因.附:，其中.0.10.010.0012.7066.63510828【解析】（1）样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性 16 人，女性 24 人，比例为 ，按照性别采用分层抽样的方法抽取 10 人，则抽取男性 4人，女性 6人.随机变量的取值为:.,随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（2）零假设为:爱好飞盘运动与性别无关联.根据列联表重的数据，经计算得到根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为爱好飞盘运动与性别无关联.列联表中所有数据都扩大到原来的10倍后，根据小概率值的独立性检验，推断成立，即认为爱好飞盘运动与性别有关联.所以结论不一样，原因是每个数据都扩大为原来 10 倍，相当于样本量变大为原来的 10 倍，导致推断结论发生了变化.19. 在三棱柱中，.（1）证明:；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【解析】（1）设的中点为，连接因为，所以，又因为且，所以， 因为平面，且，所以平面 ,因为 平面 ，所以,又因为是的中点，所以 .（2）在中，由余弦定理求得则因为，所以，解得,在和中，可知.在中，因此.由(1)知，且平面，且，所以平面 .以 所在直线分别为x轴，y轴，z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则.所以,设平面的法向量为，则 ,即,令，得.设平面的法向量为,则 ,即 令，得 ,设平面与平面夹角为,则,所以平面与平面夹角的余弦值为.20. 已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.【解析】（1）由 ，得 ，以上两式相比，得, 由，得,所以数列是首项为3，公比4为的等比数列，,数列是首项为6，公比为4等比数列，,综上，数列的通项公式为 .（2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 .由（1）得，即,两边同时除以，得(*)(*）式左边为奇数，右边为偶数(*）等式不成立，假设不成立.所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列21. 已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.（1）若点，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；（2）若点M不与B重合，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.；.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【解析】（1）由已知可得，.因为点，直线的斜率为，所以直线的垂线的方程为，整理可得，.设点，联立直线与双曲线的方程可得，则，且，所以，.原点到直线的距离为，所以的面积为.（2）为条件，为结论令点，且，因为三点共线，所以.又，所以点的坐标为，所以直线的斜率为.又，所以.设点，因为直线的斜率，所以，所以；为条件，为结论令点，且，因为三点共线，所以.又，所以点的坐标为，又，点Q在x轴正半轴上，所以，所以.又，所以，所以，；为条件，为结论令点，且，不妨设.因为三点共线，所以，且.因为，点Q在x轴正半轴上，所以.因为，所以.又，所以，且，所以，即.【点睛】思路点睛：为条件，为结论：先得出的斜率，根据，得出.然后根据两点坐标，表示出斜率，即可推出点的坐标.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，函数恰有两个零点.（i）求m的取值范围；（ii）证明:.【解析】（1），当时，所以函数在上递减，当时，设，则，所以函数在上递增，即在上递增，令，得，当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，综上可得，当时，函数在上递减；当时，函数上递减，在上递增；（2）（i），函数的定义域为，设，则，所以函数在上递增，由（1）可知，当时，即，所以，所以，又因，由零点的存在性定理可得，存在，使得，即，（*）当时，即，为减函数，当时，即，为增函数，当时，由（*）可知，且，设，则，所以函数在上递增，因为，结合，得，又，所以，所以，即，所以当时，函数最多一个零点，与题意矛盾，当时，设，则，所以函数在上递增，所以，即，因为，所以，即，所以，则，所以，且，当时，所以由的单调性可知，且，所以当时，为减函数，当时，为增函数，所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，且，所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，所以当时，函数恰有两个零点，综上所述，m的取值范围为；（ii）因为，即，则，所以，有基本不等式可得，当且仅当，即时，取等号，由，由可得，这与矛盾，所以，所以，要证，即证，设，则所以函数在上递减，所以当时，因为，所以，所以，又，所以.【点睛】方法点睛：用导数求函数零点个数问题方法：（1）分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从函数中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；