专题06 三角函数及解三角形-学易金卷：五年（2019-2023）高考数学真题分项汇编（新高考通用）含答案.docx

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题06 三角函数及解三角形考点一 同角三角函数间的基本关系1（2021新高考）若tan2，则sin(1+sin2)sin+cos=（）A65B25C25D65考点二 正弦函数的图象2（2022新高考）记函数f（x）sin（x+4）+b（0）的最小正周期为T若23T，且yf（x）的图像关于点（32，2）中心对称，则f（2）（）A1B32C52D3考点三 三角函数的周期性3（2023新高考）已知函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有3个零点，则的取值范围是 4（2022上海）函数f（x）cos2xsin2x+1的周期为 5（2020上海）函数ytan2x的最小正周期为6（2020上海）已知函数f（x）sinx，0（1）f（x）的周期是4，求，并求f（x）=12的解集；（2）已知1，g（x）f2（x）+3f（x）f（2x），x0，4，求g（x）的值域考点四 三角函数的最值7（2023上海）已知aR，记ysinx在a，2a的最小值为sa，在2a，3a的最小值为ta，则下列情况不可能的是（）Asa0，ta0Bsa0，ta0Csa0，ta0Dsa0，ta08（2021上海）已知f（x）3sinx+2，对任意的x10，2，都存在x20，2，使得f（x1）2f（x2+）+2成立，则下列选项中，可能的值是（）A35B45C65D759（2021浙江）已知，是互不相同的锐角，则在sincos，sincos，sincos三个值中，大于12的个数的最大值是（）A0B1C2D3考点五 三角函数的单调性10（2021新高考）下列区间中，函数f（x）7sin（x6）单调递增的区间是（）A（0，2）B（2，）C（，32）D（32，2）考点六 三角函数的奇偶性和对称性11（2019浙江）设函数f（x）sinx，xR（）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（）求函数yf（x+12）2+f（x+4）2的值域考点七 函数yAsin（x+）的图象变换12（2022浙江）为了得到函数y2sin3x的图象，只要把函数y2sin（3x+5）图象上所有的点（）A向左平移5个单位长度B向右平移5个单位长度C向左平移15个单位长度D向右平移15个单位长度考点八 由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式13【多选】（2020海南）如图是函数ysin（x+）的部分图象，则sin（x+）（）Asin（x+3）Bsin（32x）Ccos（2x+6）Dcos（562x）14（2023新高考）已知函数f（x）sin（x+），如图，A，B是直线y=12与曲线yf（x）的两个交点，若|AB|=6，则f（）考点九 三角恒等变换15（2023新高考）已知sin（）=13，cossin=16，则cos（2+2）（）A79B19C19D7916（2022新高考）若sin（+）+cos（+）22cos（+4）sin，则（）Atan（）1Btan（+）1Ctan（）1Dtan（+）117（2019上海）已知tantantan（+）有下列两个结论：存在在第一象限，在第三象限；存在在第二象限，在第四象限；则（）A均正确B均错误C对错D错对18（2022浙江）若3sinsin=10，+=2，则sin，cos219（2023上海）已知tan3，则tan220（2020浙江）已知tan2，则cos2，tan（4）21（2023新高考）已知为锐角，cos=1+54，则sin2=（）A358B1+58C354D1+5422（2021浙江）设函数f（x）sinx+cosx（xR）（）求函数yf（x+2）2的最小正周期；（）求函数yf（x）f（x4）在0，2上的最大值考点十 正余弦定理的应用23（2023上海）已知ABC中，角A，B，C所对的边a4，b5，c6，则sinA24（2021浙江）在ABC中，B60°，AB2，M是BC的中点，AM23，则AC；cosMAC25（2019上海）在ABC中，AC3，3sinA2sinB，且cosC=14，则AB26（2021新高考）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，ba+1，ca+2（1）若2sinC3sinA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由27（2021上海）在ABC中，已知a3，b2c（1）若A=23，求SABC（2）若2sinBsinC1，求CABC28（2021新高考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC（1）证明：BDb；（2）若AD2DC，求cosABC29（2020浙江）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2bsinA3a0（）求角B的大小；（）求cosA+cosB+cosC的取值范围30（2020山东）在ac=3，csinA3，c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB，C=6，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分31（2023新高考）已知在ABC中，A+B3C，2sin（AC）sinB（1）求sinA；（2）设AB5，求AB边上的高32（2022新高考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA1+sinA=sin2B1+cos2B（1）若C=23，求B；（2）求a2+b2c2的最小值33（2022新高考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3已知S1S2+S3=32，sinB=13（1）求ABC的面积；（2）若sinAsinC=23，求b34（2022浙江）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知4a=5c，cosC=35（）求sinA的值；（）若b11，求ABC的面积考点十一 三角形中的几何计算35（2023上海）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025cos），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则36（2021浙江）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）若直角三角形直角边的长分别为3，4，记大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，则S1S2=37（2019浙江）在ABC中，ABC90°，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45°，则BD，cosABD38（2023新高考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC面积为3，D为BC的中点，且AD1（1）若ADC=3，求tanB；（2）若b2+c28，求b，c39（2022上海）如图，在同一平面上，ADBC6，AB20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角DABABC120°，P，Q关于OM对称，MOAB；（1）若点P与点C重合，求POB的大小；（2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值40（2019上海）如图，ABC为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，BD39.2km，BDC22°，CBD68°，BDA58°（1）求BC的长度；（2）若AB40km，求D到海岸线ABC的最短距离（精确到0.001km）五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题06 三角函数及解三角形考点一 同角三角函数间的基本关系1（2021新高考）若tan2，则sin(1+sin2)sin+cos=（）A65B25C25D65【解析】由题意可得：sin(1+sin2)sin+cos=sin(sin2+cos2+2sincos)sin+cos=sinsin+cossin2+cos2+2sincossin2+cos2 =tantan+1tan2+2tan+1tan2+1 =25故选：C考点二 正弦函数的图象2（2022新高考）记函数f（x）sin（x+4）+b（0）的最小正周期为T若23T，且yf（x）的图像关于点（32，2）中心对称，则f（2）（）A1B32C52D3【解析】函数f（x）sin（x+4）+b（0）的最小正周期为T，则T=2，由23T，得232，23，yf（x）的图像关于点（32，2）中心对称，b2，且sin（32+4）0，则32+4=k，kZ=23(k14)，kZ，取k4，可得=52f（x）sin（52x+4）+2，则f（2）sin（52×2+4）+21+21故选：A考点三 三角函数的周期性3（2023新高考）已知函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有3个零点，则的取值范围是 【解析】x0，2，函数的周期为2（0），cosx10，可得cosx1，函数f（x）cosx1（0）在区间0，2有且仅有3个零点，可得22232，所以23故答案为：2，3）4（2022上海）函数f（x）cos2xsin2x+1的周期为 【解析】f（x）cos2xsin2x+1cos2xsin2x+cos2x+sin2x2cos2xcos2x+1，T=22=故答案为：5（2020上海）函数ytan2x的最小正周期为【解析】函数ytan2x的最小正周期为 2，故答案为：26（2020上海）已知函数f（x）sinx，0（1）f（x）的周期是4，求，并求f（x）=12的解集；（2）已知1，g（x）f2（x）+3f（x）f（2x），x0，4，求g（x）的值域【解析】（1）由于f（x）的周期是4，所以=24=12，所以f（x）sin12x令sin12x=12，故12x=2k+6或2k+56，整理得x=4k+3或x=4k+53故解集为x|x=4k+3或x=4k+53，kZ（2）由于1，所以f（x）sinx所以g（x）=sin2x+3sin(x)sin(2x)=1cos2x232sin2x=32sin2x12cos2x+12=12sin（2x+6）由于x0，4，所以62x+62312sin(2x+6)1，故1sin(2x+6)12，故12g(x)0所以函数g（x）的值域为12，0考点四 三角函数的最值7（2023上海）已知aR，记ysinx在a，2a的最小值为sa，在2a，3a的最小值为ta，则下列情况不可能的是（）Asa0，ta0Bsa0，ta0Csa0，ta0Dsa0，ta0【解析】由给定区间可知，a0区间a，2a与区间2a，3a相邻，且区间长度相同取a=6，则a，2a6，3，区间2a，3a3，2，可知sa0，ta0，故A可能；取a=512，则a，2a512，56，区间2a，3a56，54，可知sa0，ta0，故C可能；取a=76，则a，2a76，73，区间2a，3a73，72，可知sa0，ta0，故B可能结合选项可得，不可能的是sa0，ta0故选：D8（2021上海）已知f（x）3sinx+2，对任意的x10，2，都存在x20，2，使得f（x1）2f（x2+）+2成立，则下列选项中，可能的值是（）A35B45C65D75【解析】x10，2，sinx10，1，f（x1）2，5，都存在x20，2，使得f（x1）2f（x2+）+2成立，f（x2+）min0，f(x2+)max32，f（x）3sinx+2，sin(x2+)min23，sin(x2+)max16，ysinx在x2，32 上单调递减，当=35时，x2+35，1110，sin(x2+)=sin1110sin76=12，故A选项错误，当=45时，x2+45，1310，sin(x2+)min=sin1310sin54=2223，sin(x2+)max=sin450，故B选项正确，当=65时，x2+65，1710，sin（x2+）max=sin65sin1312=26416，故C选项错误，当=75时，x2+75，1910，sin（x2+）max=sin1910sin2312=26416，故D选项错误故选：B9（2021浙江）已知，是互不相同的锐角，则在sincos，sincos，sincos三个值中，大于12的个数的最大值是（）A0B1C2D3【解析】由基本不等式可得：sincossin2+cos22，sincossin2+cos22，sincossin2+cos22，三式相加，可得：sincos+sincos+sincos32，很明显sincos，sincos，sincos 不可能均大于12取30°，60°，45°，则sincos=1412，sincos=6412，sincos=6412，则三式中大于12 的个数的最大值为2，故选：C考点五 三角函数的单调性10（2021新高考）下列区间中，函数f（x）7sin（x6）单调递增的区间是（）A（0，2）B（2，）C（，32）D（32，2）【解析】令2+2kx62+2k，kZ则3+2kx23+2k，kZ当k0时，x3，23，（0，2）3，23，故选：A考点六 三角函数的奇偶性和对称性11（2019浙江）设函数f（x）sinx，xR（）已知0，2），函数f（x+）是偶函数，求的值；（）求函数yf（x+12）2+f（x+4）2的值域【解析】（1）由f（x）sinx，得f（x+）sin（x+），f（x+）为偶函数，=2+k（kZ），0，2），=2或=32，（2）yf（x+12）2+f（x+4）2sin2（x+12）+sin2（x+4）=1cos(2x+6)2+1cos(2x+2)2 112(cos2xcos6sin2xsin6sin2x)=34sin2x34cos2x+1 =32sin(2x6)+1，xR，sin(2x6)1，1，y=32sin(2x6)+1132，1+32，函数yf（x+12）2+f（x+4）2的值域为：132，1+32考点七 函数yAsin（x+）的图象变换12（2022浙江）为了得到函数y2sin3x的图象，只要把函数y2sin（3x+5）图象上所有的点（）A向左平移5个单位长度B向右平移5个单位长度C向左平移15个单位长度D向右平移15个单位长度【解析】把y2sin（3x+5）图象上所有的点向右平移15个单位可得y2sin3（x15）+52sin3x的图象故选：D考点八 由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式13【多选】（2020海南）如图是函数ysin（x+）的部分图象，则sin（x+）（）Asin（x+3）Bsin（32x）Ccos（2x+6）Dcos（562x）【解析】由图象知函数的周期T2×（236），即2|=，即±2，当2时，由五点作图法，得2×6+，所以=23，则f（x）sin（2x+23）cos（22x23）cos（2x6）cos（2x+6）sin（22x6）sin（32x），当2时，由五点作图法，得2×6+0，所以=3，所以f（x）=sin(2x+3)=cos(2x+6)故选：BC14（2023新高考）已知函数f（x）sin（x+），如图，A，B是直线y=12与曲线yf（x）的两个交点，若|AB|=6，则f（）【解析】由题意：设A（x1，12），B（x2，12），则x2x1=6，由yAsin（x+）的图象可知：x2+（x1+）=566=23，即（x2x1）=23，4，又f（23）sin（83+）0，83+k，kZ，即=83+k，kZ，观察图象，可知当k2时，=23满足条件，f（）sin（423）=32故答案为：32考点九 三角恒等变换15（2023新高考）已知sin（）=13，cossin=16，则cos（2+2）（）A79B19C19D79【解析】因为sin（）sincossincos=13，cossin=16，所以sincos=12，所以sin（+）sincos+sincos=12+16=23，则cos（2+2）12sin2（+）12×49=19故选：B16（2022新高考）若sin（+）+cos（+）22cos（+4）sin，则（）Atan（）1Btan（+）1Ctan（）1Dtan（+）1【解析】解法一：因为sin（+）+cos（+）22cos（+4）sin，所以2sin（+4）22cos（+4）sin，即sin（+4）2cos（+4）sin，所以sin（+4）cos+sincos（+4）2cos（+4）sin，所以sin（+4）cossincos（+4）0，所以sin（+4）0，所以+4=k，kZ，所以k4，所以tan（）1解法二：由题意可得，sincos+cossin+coscossinsin2（cossin）sin，即sincoscossin+coscos+sinsin0，所以sin（）+cos（）0，故tan（）1故选：C17（2019上海）已知tantantan（+）有下列两个结论：存在在第一象限，在第三象限；存在在第二象限，在第四象限；则（）A均正确B均错误C对错D错对【解析】由tantantan（+），即为tantan=tan+tan1tantan，设mtan，ntan，可得n2m2+n（1m）+m0，若m0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n0，即有m1，考虑f（m）（1m）24m3，f（m）2m212m212（m112）22312，当m1时，f（m）递减，可得f（m）f（1）40，则方程无解，在第三象限不可能，故错；可令tan=13，由tantantan（+），即为tantan=tan+tan1tantan，可得13tan=tan131+13tan，解得tan6±39，存在在第四象限，故对故选：D18（2022浙江）若3sinsin=10，+=2，则sin，cos2【解析】3sinsin=10，+=2，3sincos=10，cos3sin10，sin2+cos21，sin2+（3sin10）21，解得sin=31010，cossin=31010，cos22cos212×901001=45故答案为：31010；4519（2023上海）已知tan3，则tan2【解析】tan3，tan2=2tan1tan2=2×3132=34故答案为：3420（2020浙江）已知tan2，则cos2，tan（4）【解析】tan2，则cos2=cos2sin2cos2+sin2=1tan21+tan2=141+4=35tan（4）=tantan41+tantan4=211+2×1=13故答案为：35；1321（2023新高考）已知为锐角，cos=1+54，则sin2=（）A358B1+58C354D1+54【解析】cos=1+54，则cos=12sin22，故2sin22=1cos=354，即sin22=358=(5)2+122516=(51)216，为锐角，sin20，sin2=1+54故选：D22（2021浙江）设函数f（x）sinx+cosx（xR）（）求函数yf（x+2）2的最小正周期；（）求函数yf（x）f（x4）在0，2上的最大值【解析】函数f（x）sinx+cosx=2sin(x+4)，（）函数yf（x+2）22sin(x+2+4)22cos2（x+4）1+cos2（x+4）1+cos（2x+2）1sin2x，则最小正周期为T=22=；（）函数yf（x）f（x4）=2sin(x+4)2sin(x4+4)=2(sinx+cosx）sinx=2(sin2x+sinxcosx)=2(1cos2x2+12sin2x)=sin（2x4）+22，因为x0，2，所以2x44，34，所以当2x4=2，即x=38时，ymax1+22考点十 正余弦定理的应用23（2023上海）已知ABC中，角A，B，C所对的边a4，b5，c6，则sinA【解析】a4，b5，c6，由余弦定理得，cosA=b2+c2a22bc=25+36162×5×6=34，又A（0，），sinA0，sinA=1cos2A=1(34)2=74故答案为：7424（2021浙江）在ABC中，B60°，AB2，M是BC的中点，AM23，则AC；cosMAC【解析】在ABM中：AM2BA2+BM22BABMcos60°，（23）222+BM22×2BM12，BM22BM80，解得：BM4或2（舍去）点M是BC中点，MC4，BC8，在ABC中：AC222+822×2×8cos60°52，AC213；在AMC中：cosMAC=(23)2+(213)2422×23×213=23913故答案为：213；2391325（2019上海）在ABC中，AC3，3sinA2sinB，且cosC=14，则AB【解析】3sinA2sinB，由正弦定理可得：3BC2AC，由AC3，可得：BC2，cosC=14，由余弦定理可得：14=32+22AB22×3×2，解得：AB=10故答案为：1026（2021新高考）在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，ba+1，ca+2（1）若2sinC3sinA，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【解析】（1）2sinC3sinA，根据正弦定理可得2c3a，ba+1，ca+2，a4，b5，c6，在ABC中，运用余弦定理可得cosC=a2+b2c22ab=42+52622×4×5=18，sin2C+cos2C1，sinC=1cos2C=1(18)2=378，SABC=12absinC=12×4×5×378=1574（2）cba，ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，cosC=a2+b2c22ab=a2+(a+1)2(a+2)22a(a+1)0，a22a30，a0，0a3，三角形的任意两边之和大于第三边，a+bc，即a+a+1a+2，即a1，1a3，a为正整数，a227（2021上海）在ABC中，已知a3，b2c（1）若A=23，求SABC（2）若2sinBsinC1，求CABC【解析】（1）由余弦定理得cosA=12=b2+c2a22bc=5c294c2，解得c2=97，SABC=12bcsinA=34×2c2=9314；（2）b2c，由正弦定理得sinB2sinC，又2sinBsinC1，sinC=13，sinB=23，sinCsinB，CB，C为锐角，cosC=1(13)2=223由余弦定理得：c2a2+b22abcosC，又a3，b2c，c29+4c282c，得：3c282c+90，解得：c=42±53当c=42+53时，b=82+253时CABC3+42+5；当c=4253时，b=82253时CABC3+42528（2021新高考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b2ac，点D在边AC上，BDsinABCasinC（1）证明：BDb；（2）若AD2DC，求cosABC【解析】（1）证明：由正弦定理知，bsinABC=csinACB=2R，b2RsinABC，c2RsinACB，b2ac，b2RsinABCa2RsinACB，即bsinABCasinC，BDsinABCasinC，BDb；（2）法一：由（1）知BDb，AD2DC，AD=23b，DC=13b，在ABD中，由余弦定理知，cosBDA=BD2+AD2AB22BDAD=b2+(23b)2c22b23b=13b29c212b2，在CBD中，由余弦定理知，cosBDC=BD2+CD2BC22BDCD=b2+(13b)2a22b13b=10b29a26b2，BDA+BDC，cosBDA+cosBDC0，即13b29c212b2+10b29a26b2=0，得11b23c2+6a2，b2ac，3c211ac+6a20，c3a或c=23a，在ABC中，由余弦定理知，cosABC=a2+c2b22ac=a2+c2ac2ac，当c3a时，cosABC=761（舍）；当c=23a时，cosABC=712；综上所述，cosABC=712法二：点D在边AC上且AD2DC，BD=13BA+23BC，BD2=13BABD+23BCBD，而由（1）知BDb，b2=13bccosABD+23abcosCBD，即3bccosABD+2acosCBD，由余弦定理知：3b=cb2+c249b22bc+2aa2+b219b22ab，11b23c2+6a2，b2ac，3c211ac+6a20，c3a或c=23a，在ABC中，由余弦定理知，cosABC=a2+c2b22ac=a2+c2ac2ac，当c3a时，cosABC=761（舍）；当c=23a时，cosABC=712；综上所述，cosABC=712法三：在BCD中，由正弦定理可知asinCBDsinBDCbsinBDC，而由题意可知acb²asinCbsinABC，于是sinBDCsinABC，从而BDCABC或BDC+ABC若BDCABC，则CBDCAB，于是CB²CDCAa²=b23a：b：c1：3：3，无法构成三角形，不合题意若BDC+ABC，则ADBABCABDACB，于是AB²ADACc²=2b23a：b：c3：6：2，满足题意，因此由余弦定理可得cosABC=a2+c2b22ac=71229（2020浙江）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2bsinA3a0（）求角B的大小；（）求cosA+cosB+cosC的取值范围【解析】（）2bsinA=3a，2sinBsinA=3sinA，sinA0，sinB=32，ABC为锐角三角形，B=3，（）ABC为锐角三角形，B=3，C=23A，cosA+cosB+cosCcosA+cos（23A）+cos3=cosA12cosA+32sinA+12=12cosA+32sinA+12=sin（A+6）+12，ABC为锐角三角形，0A2，0C2，解得6A2，3A+623，32sin（A+6）1，32+12sin（A+6）+1232，cosA+cosB+cosC的取值范围为（3+12，3230（2020山东）在ac=3，csinA3，c=3b这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB，C=6，_？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】ac=3ABC中，sinA=3sinB，即b=33a，ac=3，c=3a，cosC=a2+b2c22ab=a2+a233a223a23=32，a=3，b1，c1csinA3ABC中，csinAasinCasin6=3，a6sinA=3sinB，即a=3b，b=23cosC=a2+b2c22ab=36+12c22×6×23=32，c=23c=3bsinA=3sinB，即a=3b，又c=3b，cosC=a2+b2c22ab=36cos6，与已知条件C=6相矛盾，所以问题中的三角形不存在31（2023新高考）已知在ABC中，A+B3C，2sin（AC）sinB（1）求sinA；（2）设AB5，求AB边上的高【解析】（1）A+B3C，A+B+C，4C，C=4，2sin（AC）sinB，2sin（AC）sin（A+C）sin（A+C），2sinAcosC2cosAsinCsinAcosC+