江苏省南京市第一中学2023-2024学年高二上学期7月阶段性考试检测数学试题含答案.pdf

高二数学 第 1 页 共 4 页 南京一中 20232024 学年第一学期 7 月阶段性考试检测卷 高二数学高二数学玉玉一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足()12i3iz=+（i是虚数单位），则z=（）A2 B3 C2 D3 2投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为（）A.13B.38C.12 D.583 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为78，与圆锥底面所成角为45，若 的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为（）A.80 2B.40C.40 2D.40 54若，为正实数，直线2+(2 3)+2=0与直线+2 1=0互相垂直，则的最大值为（）A.32B.98C.94D.3 245已知2sin33=，则cos 23+=（）A.19B.19C.4 59D.4 596过点(1,1)的直线与圆2+2=3交于，两点，则弦长|的最小值为（）A.7B.2 7C.1D.27若直线:l yxb=+与曲线21yx=有两个交点，则实数b的取值范围是（）A(2,2)B(1,2)C1,2)D1,28在ABC 中，AB AC=9，sin(+)=cossin，=6，为线段上的动点(不与、重合)，且=+，则2+1的最小值为（）A.116+63B.116C.1112+63D.1112高二数学 第 2 页 共 4 页 二选择题：本题共二选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分.9下列说法错误的是（）A.过点(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为+=5B.直线2(+1)+(3)+7 5=0必过定点(1,3)C.经过点(1,1)，倾斜角为的直线方程为 1=tan(1)D过()11,x y，()22,xy两点的所有直线的方程为()()()()211211xxyyyyxx=10下列选项中，正确的有（）A.设 ，都是非零向量，则“=12”是“|=|”成立的充分不必要条件 B.若角的终边过点(3,)且sin=2 13，则=2 C.在 中，sin 0，直线与圆相离，在直线上有一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，且cos的最小值为1345，求的值；证明：直线恒过定点第 1 页，共 14 页 南京一中 20232024 学年第一学期 7 月阶段性考试检测卷 高二数学高二数学命题人:查曼玉 审核人:孙学志 一选择题：本题共一选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若复数z满足()12i3iz=+（i是虚数单位），则z=（）A2 B3 C2 D3【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的模的计算公式计算可得.【详解】因为()12i3iz=+，所以()()()()23i12i3i36ii2i17i12i12i12i555z+=+，所以2217255z=+=.故选：A 2.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，且甲、乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至多有1人投中的概率为()A.13B.38C.12D.58【答案】C 解：甲、乙、丙三人投中与否所有情况为：(中、中、中)，(中、中、不中)，(不中、不中、不中)，(中、不中、中)，(中、不中、不中)，(不中、中、中)，(不中、中、不中)，(不中、不中、中)，共8种，其中至多有一人投中的情况有4种，故所求概率为：48=12 故选 C 第 2 页，共 14 页 3.已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为78，与圆锥底面所成角为45，若 的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为()A.80 2 B.40 C.40 2D.40 5【答案】C解：圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为78，可得sin=1 (78)2=158 的面积为5 15，可得122sin=5 15，即122 158=5 15，即=4 5与圆锥底面所成角为45，可得圆锥的底面半径为：22 4 5=2 10则该圆锥的侧面积：4.若，为正实数，直线2+(2 3)+2=0与直线+2 1=0互相垂直，则的最大值为()A.32B.98C.94D.3 24【答案】B 解：由直线2+(2 3)+2=0与直线+2 1=0互相垂直，所以2+2(2 3)=0，即2+=3，由 0，0，可得0 0,0)，所以2+1=2+13+4=1112+3+21112+2 32=1112+63，当且仅当3=2且3+4=1时，等号成立，所以1+1的最小值为1112+63，故选 C 二选择题：本题共二选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的全部选对的得得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.9.下列说法错误的是()A.过点(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为+=5B.直线2(+1)+(3)+7 5=0必过定点(1,3)C.经过点(1,1)，倾斜角为的直线方程为 1=tan(1)D过过()11,x y，()22,xy两点的所有直线的方程为两点的所有直线的方程为()()()()211211xxyyyyxx=第 5 页，共 14 页【答案】AC 解：对于：当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为=，又直线过点(2,3)，则3=2，即=32，此时直线方程为=32，故 A 错误；对于：直线2(+1)+(3)+7 5=0可变形为(2+5)+2 3+7=0，由2+5=02 3+7=0，解得=1=3,即直线2(+1)+(3)+7 5=0必过定点(1,3)，故 B 正确；对于：当倾斜角=2时，tan无意义，故 C 错误；故选 AC 10.下列选项中，正确的有()A.设 ，都是非零向量，则“=12”是“|=|”成立的充分不必要条件 B.若角的终边过点(3,)且sin=2 13，则=2 C.在 中，sin sin D.在 中，若2 2,45,3ABBAC=，则满足条件的三角形有且只有一个【答案】AC D 解：选项 A，由 =12，可知|=12|，所以|=12 12|=|，故充分性成立;若|=|，则 =|，因为|为大于0的实数，不一定为12，所以必要性不成立，故是成立的充分不必要条件，选项正确;选项 B，若角的终边过点(3,)且sin=2 13，则 2+9=2 13，解得=2，选项错误;选项 C，因为在 中，由正弦定理可知 sin sin，所以 sin sin，因为=cos在(0,)上单调递减，而，为 的内角，(0,)，故 A cos;第 6 页，共 14 页 故可得 sin cos，选项 C正确;选项 D，由222212cos224 2ABBCACBCBAB BCBC+=，则2410BCBC=，可得25BC=，故25BC=+，满足条件的三角形有一个，故 D 正确；故选：D 11.已知实数，满足曲线的方程2+2 2 2=0.则下列选项正确的是()A.2+2的最大值是 3+1B.+1+1的最大值是2+6 C.|+3|的最小值是2 2 3D.过点(0,2)作曲线的切线，则切线方程为 2+2=0【答案】BD【解析】【分析】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题 由：2+2表示圆上的点到定点(0,0)的距离的平方；对于：|+3|表示圆上任意一点到直线 +3=0的距离的 2倍；：+1+1表示圆上的点与点(1,1)的斜率；.由点(0,2)可设切线方程为=+2，由 2+2+1=3可求【解答】解：因为的方程2+2 2 2=0可化为(1)2+2=3，它表示圆心(1,0)，半径为 3的圆，对于：2+2表示圆上的点到定点(0,0)的距离的平方，故它的最大值为：(1 0)2+02+32=(3+1)2=4+2 3，故 A错误；对于：+1+1表示圆上的点与点(1,1)的斜率，由圆心(1,0)到直线+1=(+1)的距离=|21|2+1 3，可得2 6 2+6，即其最大值为：2+6，故 B 正确；对于：|+3|表示圆上任意一点到直线 +3=0的距离的 2倍，圆心到直线的距离=4 2=2 2，所以其最小值为：2(2 2 3)=4 6，故 C 错误；第 7 页，共 14 页 D.设过点(0,2)作曲线的切线，则其斜率存在，故可设切线方程为=+2，由 2+2+1=3，得=22，故切线方程为 2+2=0，故 D 正确故选 BD 12.已知正方体 1111的棱长为4，点是1的中点，点是侧面11内的动点，且满足1 ，下列选项正确的是()A.动点轨迹的长度是2 5B.三角形11在正方体内运动形成几何体的体积是323C.直线1与所成的角为，则的最小值是2 55D.存在某个位置，使得直线1与平面11所成的角为4【答案】ABC 解：对于，如图，取、的中点、，连接、1E、1F、1F、11、1，可得/11，则1 ，1 ，又 =，平面，可得1 平面，又 平面，则1 ，同理可证 ，因为 1=，1 平面11，则 平面11，因为1 ，则点 平面11，又由点 平面11，可得点 1，即动点轨迹为线段1，其长度为 22+42=2 5，故 A正确；对于，三角形11在正方体内运动形成几何体是三棱锥 111，其体积为1312 4 4 4=323，故 B正确；第 8 页，共 14 页 对于，/11，直线1与所成的角即直线1与11所成的角，即11=，11平面11，11为直角三角形，故=111=141，当1 1时，1最小，此时1=442 5，故的最小值是141=14442 5=2 55，故 C正确；对于，当点与1重合时，直线1与平面11所成的角最大，设直线1与平面111所成的角为，则=33 22，故 0，直线与圆相离，在直线上有一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，且cos的最小值为1345，求的值；证明：直线恒过定点【答案】解：(1)由题意知圆的圆心为(3,4)，半径=4，由弦的长为2 11，得点到直线的距离=2(12|)2=42(11)2=5，又=|(2+1)(3)+(2)434|(2+1)2+(2)2=5|+3|2+1，5|+3|2+1=5，解得=43;(2)cos=1 2sin2=1 2(|)2=1 32|2，由(1)知点到直线的距离=5|+3|2+1，第 14 页，共 14 页|，|=时，cos的值最小，即cos的最小值为1 322，由已知得1 322=1345，解得=3 5，5|+3|2+1=3 5，解得=34或0，0，=34，当=34时，直线的方程为2 5=0，设(,2 5)，以为直径的圆记为圆，则圆的方程为(+3)()+(4)(2+5)=0，即2+2+(3 )+(1 2)+5 20=0，由题意知圆的方程为2+2+6 8+9=0，由 得(+3)+(2 9)5+29=0，、两点为圆和圆的公共点，为直线的方程，由变形得(+2 5)+3 9+29=0，由+2 5=0,3 9+29=0,解得=1315,=4415,直线恒过定点(1315,4415).