数学浙教版九上-反比例函数常见题型-中考数学复习知识讲解例题解析强化训练_中学教育-中考.pdf

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练 反比例函数在中考中的常见题型 知识讲解 1反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线 y=kx（k0）2反比例函数 y=kx（k0）的性质 （1）当 k0 时函数图像的两个分支分别在第一，三象限内在每一象限内，y 随x 的增大而减小 （2）当 k0 点 A 在反比例函数 y=12x的图像上，得 3a=12a，解得 a1=2，a2=2，经检验 a1=2，a2=2 是原方程的根，但 a2=2 不符合题意，舍去 点 A 的坐标为（2，6）（2）由题意，设点 B 的坐标为（0，m）m0，m=22(6)2m 解得 m=103，经检验 m=103是原方程的根，点 B 的坐标为（0，1013）设一次函数的解析式为 y=kx+1013 由于这个一次函数图像过点 A（2，6），6=2k+103，得 k=43 所求一次函数的解析式为 y=43x+103 例 2 如图，已知 RtABC 的顶点 A 是一次函数 y=x+m 与反比例函数 y=mx的图像在第一象限内的交点，且 SAOB=3 （1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由 （2）如果线段 AC 的延长线与反比例函数的图像的另一支交于 D 点，过 D 作 DEx轴于 E，那么ODE 的面积与AOB 的面积的大小关系能否确定？（3）请判断AOD 为何特殊三角形，并证明你的结论 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式 【分析】AOB 是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的12，而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数由题意不难确定 m，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了 由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作 x 轴，y 轴的垂线，该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的 【解答】（1）设 B（x，0），则 A（x0，0mx），其中00，m0 在 RtABO 中，AB=0mx，OB=x0 则 SABO=12 x00mx=3，即 m=6 所以一次函数的解析式为 y=x+6；反比例函数的解析式为 y=6x （2）由66yxyx 得 x2+6x6=0，解得 x1=3+15，x2=315 A（3+15，3+15），D（315，315）由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点 P（x，y），有 y=6x即 xy=6 SDEO=12xDyD=3，即 SDEO=SABO （3）由 A（3+15，3+15）和 D（315，315）可得 AO=43，DO=43，即 AO=DO 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式 由图可知AOD90，AOD 为钝角等腰三角形 【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断 强化训练 一、填空题 1（2006，南通）如图 1，直线 y=kx（k0）与双曲线 y=4x交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则 2x1y27x2y1的值等于_ 图 1 图 2 图 3 2（2006，重庆）如图 2，矩形 AOCB 的两边 OC，OA 分别位于 x 轴，y 轴上，点 B 的坐标为 B（203，5），D 是 AB 边上的一点，将ADO 沿直线 OD 翻折，使 A 点恰好落在对角线 OB 上的点 E 处，若点 E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是_ 3近视眼镜的度数 y（度）与镜片焦距 x（m）成反比例，已知 400 度近视眼镜镜片的焦距为 0.25m，则 y 与 x 的函数关系式为_ 4若 y=2131aaax 中，y 与 x 为反比例函数，则 a=_若图像经过第二象限内的某点，则 a=_ 5反比例函数 y=kx的图像上有一点 P（a，b），且 a，b 是方程 t24t2=0 的两个根，则k=_；点 P 到原点的距离 OP=_ 6已知双曲线 xy=1 与直线 y=x+b无交点，则 b 的取值范围是_ 7反比例函数 y=kx的图像经过点 P（a，b），其中 a，b 是一元二次方程 x2+kx+4=0 的两个根，那么点 P 的坐标是_ 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式8（2008，咸宁）两个反比例函数 y=kx和 y=1x在第一象限内的图像如图 3 所示，点 P在 y=kx的图像上，PCx 轴于点 C，交 y=1x的图像于点 A，PDy 轴于点 D，交 y=1x的图像于点 B，当点 P 在 y=kx的图像上运动时，以下结论：ODB 与OCA 的面积相等；四边形 PAOB 的面积不会发生变化；PA 与 PB 始终相等 当点 A 是 PC 的中点时，点 B 一定是 PD 的中点 其中一定正确的是_（把你认为正确结论的序号都填上，少填或错填不给分）二、选择题 9（2008，济南）如图 4 所示，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点 A 在直线 y=x 上，其中 A 点的横坐标为 1，且两条直角边 AB，AC 分别平行于 x 轴，y轴，若双曲线 y=kx（k0）与ABC 有交点，则 k 的取值范围是（）A1k2 B1k3C1k4 D1k0）的第一象限内的图像如图 5 所示，P 为该图像上任意一点，PQ垂直于 x 轴，垂足为 Q，设POQ 的面积为 S，则 S 的值与 k 之间的关系是（）AS=4k BS=2k CS=k DSk 11如图 6，已知点 A 是一次函数 y=x 的图像与反比例函数 y=2x的图像在第一象限内的交点，点 B 在 x 轴的负半轴上，且 OA=OB，那么AOB 的面积为（）A2 B22 C2 D22 12函数 y=mx与 y=mxm（m0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（）双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式 13如果不等式 mx+n4，点（1，n）在双曲线 y=2x上，那么函数 y=（n1）x+2m 的图像不经过（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 14（2006，攀枝花）正比例函数 y=2kx 与反比例函数 y=1kx在同一坐标系中的图像不可能是（）15已知 P 为函数 y=2x的图像上一点，且 P 到原点的距离为3，则符合条件的 P 点数为（）A0 个 B2 个 C4 个 D无数个 16如图，A，B 是函数 y=1x的图像上关于原点 O 对称的任意两点，AC 平行于 y 轴，交 x 轴于点 C，BD 平行于 y 轴，交 x 轴于点 D，设四边形 ADBC 的面积为 S，则（）AS=1 B1S2 三、解答题 17已知：如图，反比例函数 y=8x与一次函数 y=x+2 的图像交于 A，B 两点，求：（1）A，B 两点的坐标；（2）AOB 的面积 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式 18（2006，广州白云区）如图，已知一次函数 y=kx+b 的图像与反比例函数 y=8x的图像交于 A，B 两点，且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2，求：（1）一次函数的解析式；（2）AOB 的面积 19已知函数 y=kx的图像上有一点 P（m，n），且 m，n 是关于 x 方程 x24ax+4a26a8=0 的两个实数根，其中 a 是使方程有实根的最小整数，求函数 y=kx的解析式 20（2006，北京市）在平面直角坐标系 Oxy 中，直线 y=x 绕点 O 顺时针旋转 90 得到直线 L直线 L 与反比例函数 y=kx的图像的一个交点为 A（a，3），试确定反比例函数的解析式 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式 21（2008，南通）如图所示，已知双曲线 y=kx与直线 y=14x 相交于 A，B 两点第一象限上的点 M（m，n）（在 A 点左侧）是双曲线 y=kx上的动点过点 B 作 BDy 轴交 x轴于点 D 过 N（0，n）作 NCx 轴交双曲线 y=kx于点 E，交 BD 于点 C（1）若点 D 的坐标是（8，0），求 A，B 两点的坐标及 k 的值；（2）若 B 是 CD 的中点，四边形 OBCE 的面积为 4，求直线 CM 的解析式；（3）设直线 AM，BM 分别与 y 轴相交于 P，Q 两点，且 MA=pMP，MB=qMQ，求 pq的值 22如图，在等腰梯形 ABCD 中，CDAB，CD=6，AD=10，A=60，以 CD 为弦的弓形弧与 AD 相切于 D，P 是 AB 上的一个动点，可以与 B 重合但不与 A 重合，DP 交弓形弧于 Q（1）求证：CDQDPA；（2）设 DP=x，CQ=y，试写出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）当 DP 之长是方程 x28x20=0 的一根时，求四边形 PBCQ 的面积 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式 答案:120 2y=12x 3y=100 x 42 或1；1 52；25 60b4 7（2，2）8 9C 10B 11C 12C 13B 14D 15A 16C 17（1）由82yxyx ，解得1142xy，1124xy A（2，4），B（4，2）（2）当 y=0 时，x=2，故 y=x+2 与 x 轴交于 M（2，0），OM=2 SAOB=SAOM+SBOM=12OMyA+12OMyB=12 2 4+12 2 2=4+2=6 18（1）y=x+2 （2）SAOB=6 19由=（4a）24（4a26a8）0得 a 43，又a 是最小整数，a=1 二次方程即为 x2+4x+2=0，又 mn=2，而（m，n）在 y=kx的图像上，n=km，mn=k，k=2，y=2x 20依题意得，直线 L 的解析式为 y=x A（a，3）在直线 y=x 上，则 a=3即 A（3，3）又A（3，3）在 y=kx的图像上，可求得 k=9 反比例函数的解析式为 y=9x 21（1）D（8，0），B 点的横坐标为8，代入 y=14x 中，得 y=2 B 点坐标为（8，2），而 A，B 两点关于原点对称，A（8，2）从而 k=8 2=16 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式（2）N（0，n），B 是 CD 的中点，A，B，M，E 四点均在双曲线上，mn=k，B（2m，2n），C（2m，n），E（m，n）S矩形DCNO=2mn=2k，SDBO=12mn=12k，SOEN=12mn=12k，S四边形OBCE=S矩形DCNOSDBOSOEN=k k=4 由直线 y=14x 及双曲线 y=4x，得 A（4，1），B（4，1），C（4，2），M（2，2）设直线 CM 的解析式是 y=ax+b，由 C，M 两点在这条直线上，得 42,22.abab 解得 a=b=23 直线 CM 的解析式是 y=23x+23（3）如图所示，分别作 AA1x 轴，MM1x 轴，垂足分别为 A1，M1 设 A 点的横坐标为 a，则 B 点的横坐标为a，于是 p=111AMMAamMPM Om 同理 q=MBMQ=mam，pq=ammmam=2 22（1）证CDQ=DPA，DCQ=PDA （2）y=60 x（8x185）（3）S四边形PBCQ=4893 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式 双曲线故也称双曲线反比例函数的性质当时函数图像的两个分支分别在第一三象限内在每一象限内随的增大而减小当时函数图像的两个分支分别在第二四象限内在每一象限内随的增大而增大在反比例函数中其解析式变形为故要求的用两根之积求的值若双曲线图像上一点满足是方程的两根求双曲线的解析式由根与系数关系得又故双曲线的解析式是由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零所以图像和轴轴都没有交点但画图时要体出图像和坐标轴无限贴近标的图像经过点如果经过点的一次函数图像与轴的正半轴交于点且求这个一次函数的解析式分析用含一个字母的代数式表示点的横坐标纵坐标把点的坐标代入可求得的值从而得出点的坐标设点的坐标为根据可列出关于的一个不等式