数学归纳法[高考数学总复习][高中数学课时训]_中学教育-高考.pdf

优秀学习资料 欢迎下载 数学归纳法 1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+an+1=aan112(a1)”在验证 n=1 时，左端计算所得的项为 .答案 1+a+a2 2.如果命题 P（n）对 n=k 成立，则它对 n=k+1 也成立，现已知 P（n）对 n=4 不成立，则下列结论正确的是 （填序号）.P（n）对 nN*成立 P(n)对 n4 且 nN*成立 P（n）对 n4 且 nN*成立 P（n）对 n4 且 nN*不成立 答案 3.用数学归纳法证明1+2+3+n2=224nn，则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 .答案 （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+（k+1）2 4.已知 f(n)=n1+11n+21n+21n，则下列说法有误的是 .f(n)中共有 n 项，当 n=2 时，f(2)=21+31 f(n)中共有 n+1 项，当 n=2 时，f(2)=21+31+41 f(n)中共有 n2-n 项，当 n=2 时，f(2)=21+31 f(n)中共有 n2-n+1 项，当 n=2 时，f(2)=21+31+41 答案 5.用 数 学 归 纳 法 证 明 命 题“当n是 正 奇 数 时，xn+yn能 被x+y整 除”，在 第 二 步时，.答案 假设 n=k(k 是正奇数)，证明 n=k+2 命题成立 例 2 用数学归纳法证明:nN*时,311+531+)12)(12(1nn=12 nn.证明 （1）当 n=1 时,左边=311=31,基础自测 优秀学习资料 欢迎下载 右边=1121=31,左边=右边,所以等式成立.（2）假设当 n=k(kN*)时等式成立,即有 311+531+)12)(12(1kk=12 kk,则当 n=k+1 时,311+531+)12)(12(1kk+)32)(12(1kk=12 kk+)32)(12(1kk=)32)(12(13)2(kkkk=)32)(12(1322kkkk=321kk=1）1(21kk,所以当 n=k+1 时,等式也成立.由（1）（2）可知,对一切 nN*等式都成立.例 2 试证：当 n 为正整数时，f(n)=32n+2-8n-9 能被 64 整除.证明 方法一 （1）当 n=1 时，f(1)=34-8-9=64,命题显然成立.（2）假设当 n=k(k1,kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9 能被 64 整除.由于 32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+98k+99-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64(k+1)即 f(k+1)=9f(k)+64(k+1)n=k+1 时命题也成立.根据（1）（2）可知，对任意的 nN*，命题都成立.方法二 （1）当 n=1 时，f(1)=34-8-9=64，命题显然成立.（2）假设当 n=k(k1,kN*)时，f(k)=32k+2-8k-9 能被 64 整除.由归纳假设，设 32k+2-8k-9=64m(m为大于 1 的自然数)，将 32k+2=64m+8k+9 代入到 f(k+1)中得 f(k+1)=9(64 m+8k+9)-8(k+1)-9=64(9 m+k+1),n=k+1 时命题成立.根据（1）（2）可知，对任意的 nN*,命题都成立.例 3 用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式（1+31）（1+51）（1+121n）212 n均成立.证明 （1）当 n=2 时，左边=1+31=34；右边=25.左边右边，不等式成立.（2）假设 n=k(k2,且 kN*)时不等式成立，即（1+31）（1+51）（1+121k）212 k.则当 n=k+1 时，（1+31）（1+51）（1+121k）1)1(211 k 212 k1222kk=12222kk=1224842kkk 则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于优秀学习资料 欢迎下载 1223842kkk=1221232kkk=21)1(2k.当 n=k+1 时，不等式也成立.由（1）（2）知，对于一切大于 1 的自然数 n,不等式都成立.例 4 （16 分）已知等差数列an的公差 d 大于 0，且 a2,a5是方程 x2-12x+27=0的两根，数列bn的前 n 项和为 Tn，且 Tn=1-nb21.（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列an的前 n 项和为 Sn，试比较nb1与 Sn+1的大小，并说明理由.解 （1）由已知得27125252aaaa,又an的公差大于 0，a5a2,a2=3,a5=9.d=325aa =339=2，a1=1.an=2n-1.2 分 Tn=1-21bn，b1=32，当 n2 时，Tn-1=1-21bn-1,bn=Tn-Tn-1=1-21bn-(1-21bn-1),化简，得 bn=31bn-1,bn是首项为32,公比为31的等比数列，即 bn=32131n=n32,4 分 an=2n-1，bn=n32.5 分(2)Sn=2)12(1 nn=n2,Sn+1=（n+1）2，nb1=23n.6 分 以下比较nb1与 Sn+1的大小：当 n=1 时，11b=23，S2=4，11bS2,当 n=2 时，21b=29,S3=9,21bS3,当 n=3 时，31b=227,S4=16,31bS4,当 n=4 时，41b=281,S5=25,41bS5.则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于优秀学习资料 欢迎下载 猜想：n4 时，nb1Sn+1.8 分 下面用数学归纳法证明：当 n=4 时，已证.假设当 n=k(kN*,k4)时，kb1Sk+1,即23k(k+1)2.那么 n=k+1 时，11kb=231k=323k3(k+1)2=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1,n=k+1 时，nb1Sn+1也成立.11 分 由可知 nN*,n4 时，nb1Sn+1都成立.14 分 综上所述，当 n=1,2,3 时，nb1Sn+1,当 n4 时，nb1Sn+1.16 分 1.用数学归纳法证明：对任意的 nN*,1-21+31-41+121n-n21=11n+21n+n21.证明 （1）当 n=1 时，左边=1-21=21=111=右边，等式成立.（2）假设当 n=k(k1,kN*)时，等式成立，即 1-21+31-41+121k-k21=11k+21k+k21.则当 n=k+1 时,1-21+31-41+121k-k21+121k-221k=11k+21k+k21+121k-221k=111k+211k+k21+121k+(11k-221k)=111k+211k+k21+121k+)12(1k,即当 n=k+1 时，等式也成立，所以由（1）（2）知对任意的 nN*等式成立.2.求证：二项式 x2n-y2n(nN*)能被 x+y 整除.证明 （1）当 n=1 时，x2-y2=(x+y)(x-y),则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于优秀学习资料 欢迎下载 能被 x+y 整除，命题成立.（2）假设当 n=k（k1,kN*）时，x2k-y2k能被 x+y 整除，那么当 n=k+1 时，x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k=x2x2k-x2y2k+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),显然 x2k+2-y2k+2能被 x+y 整除，即当 n=k+1 时命题成立.由（1）（2）知，对任意的正整数 n 命题均成立.3.已知 m,n 为正整数.用数学归纳法证明：当 x-1 时，(1+x)m1+mx.证明 （1）当 m=1 时，原不等式成立；当 m=2 时，左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为 x20,所以左边右边，原不等式成立；（2）假设当 m=k(k1,kN*)时，不等式成立，即（1+x）k1+kx,则当 m=k+1 时，x-1,1+x0.于是在不等式(1+x)k1+kx 两边同时乘以 1+x 得(1+x)k（1+x）(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2 1+(k+1)x.所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当 m=k+1 时，不等式也成立.综合（1）（2）知，对一切正整数 m,不等式都成立.4.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，Sn=n2an（nN*）.（1）试求出 S1，S2，S3，S4，并猜想 Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出 an的表达式.（1）解 an=Sn-Sn-1（n2）Sn=n2（Sn-Sn-1），Sn=122nnSn-1（n2）a1=1，S1=a1=1.S2=34，S3=23=46，S4=58，猜想 Sn=12nn（nN*）.（2）证明 当 n=1 时，S1=1 成立.假设 n=k（k1,kN*）时，等式成立，即 Sk=12kk，当 n=k+1 时，Sk+1=（k+1）2ak+1=ak+1+Sk=ak+1+12kk，ak+1=122kk，Sk+1=（k+1）2ak+1=212kk=1112kk，则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于优秀学习资料 欢迎下载 n=k+1 时等式也成立，得证.根据、可知，对于任意 nN*，等式均成立.又ak+1=)1)(2(2kk，an=)1(2nn.一、填空题 1.用数学归纳法证明：“11n+21n+131n1(nN*)”时，在验证初始值不等式成立时，左边的式子应是“”.答案 21+31+41 2.如果命题 P（n）对于 n=k(kN*)时成立，则它对 n=k+2 也成立，又若 P（n）对于 n=2 时成立，P（n）对所有 n 成立.正整数 正偶数 正奇数 所有大于 1 的正整数 答案 3.利用数学归纳法证明不等式 1+21+31+121nn(n2，nN*)的过程中，由 n=k 变到 n=k+1 时，左边增加了 项.答案 2k 4.用数学归纳法证明“2nn2+1 对于 nn0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取 .答案 5 5.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n+1 边形的对角线条数 f（n+1）=.答案 f(n)+n-1 6.证明22n1+21+31+41+n21n+1(n1)，当 n=2 时，中间式子等于 .答案 1+21+31+41 7.用数学归纳法证明不等式11n+21n+nn12413的过程，由 n=k 推导 n=k+1 时，不等式的左边增加的式子是 .答案 121k+221k-11k 8.用数学归纳法证明1+21+31+121n2(nN,且 n1)，第一步要证的不等式是 .答案 1+21+312 二、解答题 9.用数学归纳法证明：1+221+231+21n123nn(nN*).证明 （1）当 n=1 时，左边=1，右边=1，左边右边，即命题成立.则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于优秀学习资料 欢迎下载（2）假设当 n=k(kN*,k1)时，命题成立，即 1+221+231+21 k123kk.那么当 n=k+1 时，要证 1+221+231+21 k+21)(1 k1)1(2)1(3kk,只要证123kk+21)(1 k32)1(3kk.32)1(3kk-123kk-21)(1 k=11)(41)(1)(-1 222kkk=3)84()1()2(22kkkk-k0,123kk+21)(1 k32)1(3kk成立，即 1+221+231+21 k+21)(1 k1)1(2)1(3kk成立.当 n=k+1 时命题成立.由（1）、(2)知，不等式对一切 nN*均成立.10.用数学归纳法证明（3n+1）7n-1(nN*)能被 9 整除.证明 （1）当 n=1 时，47-1=27能被 9 整除，命题成立.（2）假设 n=k(k1，kN*)时命题成立，即(3 k+1)7k-1 能被 9 整除.当 n=k+1 时，(3 k+3)+1 7k+1-1=(3k+1+3)77k-1=7(3 k+1)7k-1+217k=(3 k+1)7k-1+18k7k+67k+217k=(3 k+1)7k-1+18k7k+277k，由归纳假设(3 k+1)7k-1 能被 9 整除，又因为 18k7k+277k能被 9 整除，所以3(k+1)+1 7k+1-1 能被 9 整除，即 n=k+1 时命题成立.由（1）（2）知，对所有的正整数 n，命题成立.11.数列an满足 Sn=2n-an(nN*).(1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an;（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.（1）解 当 n=1 时，a1=S1=2-a1,a1=1.当 n=2 时，a1+a2=S2=22-a2,a2=23.当 n=3 时，a1+a2+a3=S3=23-a3,a3=47.当 n=4 时，a1+a2+a3+a4=S4=24-a4,a4=815.由此猜想 an=1212nn(nN*).则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于优秀学习资料 欢迎下载（2）证明 当 n=1 时，a1=1，结论成立.假设 n=k(k1 且 kN*)时,结论成立，即 ak=1212kk,那么 n=k+1 时，ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.2ak+1=2+ak,ak+1=22ka=221221-kk-=kk-2121,这表明 n=k+1 时，结论成立，由知猜想 an=1212nn（nN*）成立.12.是否存在常数 a、b、c 使等式 12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于一切 nN*都成立，若存在，求出 a、b、c 并证明；若不存在，试说明理由.解 假设存在 a、b、c 使 12+22+32+n2+（n-1）2+22+12=an（bn2+c）对于一切 nN*都成立.当 n=1 时，a（b+c）=1；当 n=2 时，2a（4b+c）=6；当 n=3 时，3a（9b+c）=19.解方程组,19)9(33)4(,1)(cbacbacba 解得.1,2,31cba 证明如下：当 n=1 时，由以上知存在常数 a,b,c 使等式成立.假设 n=k（kN*）时等式成立，即 12+22+32+k2+（k-1）2+22+12=31k（2k2+1）；当 n=k+1 时，12+22+32+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+22+12=31k（2k2+1）+（k+1）2+k2=31k（2k2+3k+1）+（k+1）2=31k（2k+1）（k+1）+（k+1）2=31（k+1）（2k2+4k+3）=31（k+1）2（k+1）2+1.即 n=k+1 时，等式成立.则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于优秀学习资料 欢迎下载 因此存在 a=31，b=2，c=1，使等式对一切 nN*都成立.则它对也成立现已知对不成立则下列结论正确的是填序号对成立对且成立对且成立对且不成立答案用数学归纳法证明则当时左端应在的基础上加上答案已知则下列说法有误的是中共有项当时中共有项当时中共有项当时中共有项当时明时证明当时左边优秀学习资料欢迎下载右边左边右边所以等式成立假设当时等式成立即有则当时所以当时等式也成立由可知对一切等式都成立例试证当为正整数时能被整除证明方法一当时命题显然成立假设当时能被整除由于即时数将代入到中得时命题成立根据可知对任意的命题都成立例用数学归纳法证明对一切大于的自然数不等式均成立证明当时左边右边左边右边不等式成立假设且时不等式成立即则当时优秀学习资料欢迎下载当时不等式也成立由知对于