数列求和的解题方法及技巧_中学教育-高考.pdf
学习必备 欢迎下载 数列求和的解题方法及技巧 研究数列求和，首先要注意：数列的特征，认清是否是我们熟悉的数列：等差数列和等比数列 公式法：等差等比的求和公式（略）1+2+n=21n(n+1)12+22+n2=61n(n+1)(2n+1)13+23+n3=(1+2+n)2=41n2(n+1)2 预热：1、求等差数列-3，-1，1，3，的前 n 项的和。2、求数列 1，2，4，2n 的和 3、求等比数列 1,x,x2,xn-1的和 4、若2,1,241nnna求数列的前 n 项的和 在应用公式求等差、等比数列的和时，要注意：认清特征、数清项数、分清条件、记清公式 典型例题 求和：1+(1/a)+(1/a2)+(1/an)（区分 q 值，分 a=1 和 a1 讨论）除此之外，还有一些特殊的数列也可以通过一些方法来求数列前 n 项的和 一、分组求和法：若数列an的通项可转化为 an=bn+cn的形式，且数列bncn可求出前 n项和 Sn+Tn。例：1、求数列)2112(,815,413,211nn的前 n 项的和 2、求数列,999,99,9的前 n 项的和 练习：1、求数列)12()1(,7,5,3,1nn的前 n 项的和（也可用并项求和法）2、求数列1322221,2221,221,21,1n的前 n 项的和 3、求数列)1(,)1(,)1(2222nnxxxxxx的前 n 项的和（世纪金榜第 39 页例 10 类似）二、裂项相消法：将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能相互抵消,剩下首尾若干项.常见拆项公式有：),121121(21)12)(12(1)11(1)(1111)1(1nnnnknnkknnnnnn，)2)(1(1)1(1(21)2)(1(1nnnnnnn!)!1(!nnnn )(),(11,111babababannnn 例：1、求和)1(1321211nnSn。2、求和)12)(12(1531311nnSn 3、数列1)1(1)1(22nn的前 n 项的和。4、求n3211,3211,211,1的前 n 项的和 练习：1、求数列nn12的前 n 项的和。三、错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，则将数列的每一项都作相同的变换,然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相学习必备 欢迎下载 减.例 等比数列求和公式的推导.例 1、求数列nn212,85,43,21的前 n 项的和。2、求数列132,4,3,2,1nnxxxx的前 n 项和。练习 已知数列 an 是等差数列,且 a1=2,a1+a2+a3=12,求数列 an 的通项公式，(2)令 bn=an 3n,求数列bn 前 n 项和的公式。（3 改成 x 呢？）析：an=2n.132)31(3nnnnS，3 改成 x 后要对 x 进行讨论是否为 1 四、倒序求和法：将数列的倒数第 k 项(k=1,2,3,)变为正数第 k 项,然后将得到的新数列与原数列进行变换(相加、相减等).例 等差数列求和公式的推导.例 已知 lgx+lgy=a,且 Sn=lgxn+lg(xn-1y)+lg(xn-2y2)+lgyn,求 Sn.析 倒序求和法annxynnSn2)1()lg(2)1(。或对数的运算性质求解 练习 世纪金榜 P40 例 14 五、分段求和法：如果一个数列是由具有不同特点的两段构成，则可以考虑利用分段求和。例 求等差数列 200，19932，-100的后 400 项的绝对值之和。易知3301nan，令0na可得 n301,所以 16700)()(400301300321400321aaaaaaaaaaSn 练习：世纪金榜 P40 例 14 练习：1、求21)23(,817,414,211nn的前 n 项的和 2、设ka=12+22+32+k2，则数列,7,5,3321aaa的前 n 项的和 Sn。3、求和)2141211()41211()211(11nSn 4、求数列 n(n+1)(2n+1)的前 n 项和 Sn.5、数列na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列nb的前 n 项和。6、已知递增的等比数列 an 前 3 项之积为 512,且这三项分别减去 1,3,9 后又成等差数列,求数列 nan 的前 n 项和.7、求数列n3212,3212,212,2的前 n 项的和 答案：1、裂项求和，6n/(n+1)3 、分析 an=21/（2n-1）分组法 4、分析 ak=2k3+3k2+k 再用分组法 5、同 3、4。6、错位相减法 7、分析通项后裂项相消法 差数列和等比数列公式法等差等比的求和公式略预热求等差数列的前项的和求数列的和求等比数列的和若求数列的前项的和在应用公式求等差等比数列的和时要注意认清特征数清项数分清条件记清公式典型例题求和区分值分和讨论且数列可求出前项和例求数列的前项的和求数列的前项的和练习求数列的前项的和也可用并项求和法求数列的前项的和求数列二裂项相消法将数列的每一项拆裂开成两项之差得正负项能相互抵消剩下首尾若干项常见拆项公式有的前个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成则将数列的每一项都作相同的变换然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相学习必备欢迎下载减例等比数列求和公式的推导练习已知数列是等差数列且求数
