2013年湖南省长沙市中考数学真题及答案.pdf
20132013 年湖南省长沙市中考数学真题及答案年湖南省长沙市中考数学真题及答案一、选择题：1.（2013 湖南长沙 第 1 题 3 分）下列实数是无理数的是（）A.-1B.0C.21D.3【答案】D.2.（2013 湖南长沙 第 2 题 3 分）小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为 61700000，这个数用科学记数法表示为（）A.617105B.6.17106C.6.17107D.0.617108【答案】C。3.（2013 湖南长沙 第 3 题 3 分）如果一个三角形的两边长分别是 2 和 4，则第三边可能是（）A.2B.4C.6D.8【答案】B.4.（2013 湖南长沙 第 4 题 3 分）已知O1的半径为 1cm，O2的半径为 3cm，两圆的圆心距 O1O2为 4cm，则两圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】B.5.（2013 湖南长沙 第 5 题 3 分）下列计算正确的是（）A.a6a3=a3B.(a2)3=a8C.(a-b)2=a2-b2D.a2+a2=a4【答案】A.6.（2013 湖南长沙 第 6 题 3 分）某校篮球队 12 名同学的身高如下表：身高（cm)180186188192195人数12531则该校篮球队 12 名同学的身高的众数是（单位：cm)A.192B.188C.186D.180【答案】B.7.（2013 湖南长沙 第 7 题 3 分）下列个图中，1 大于2 的是（）ABCA12(AB=AC)12abB12abcCABCD21D【答案】D8.（2013 湖南长沙 第 8 题 3 分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A.四边形B.五边形C.六边形D.八边形【答案】A.9.（2013 湖南长沙 第 9 题 3 分）在下列某品牌 T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）【答案】C.10.（2013 湖南长沙 第 10 题 3 分）二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列关系式错误的是（）A.a0B.c0C.b2-4ac0D.a+b+c0【答案】D.二、填空题：11.（2013 湖南长沙 第 11 题 3 分）计算：28=【答】28=22-2=（2-1）2=2.填2。12.（2013 湖南长沙 第 12 题 3 分）因式分解：x2+2x+1=【答】根据完全平方公式得，x2+2x+1=（x+1)2，故填（x+1)213.（2013 湖南长沙 第 13 题 3 分）已知A=670，则A 的余角等于度【答】23014.（2013 湖南长沙 第 14 题 3 分）方程xx112的解为 x=【答案】x=115.（2013 湖南长沙 第 15 题 3 分）如图，BD 是ABC 的平分线，P 是 BD 上的一点，PEBA 于点 E,PE=4cm,则点 P 到边 BC 的距离为cm【答案】4.16.（2013 湖南长沙 第 16 题 3 分）如图，在ABC 中，点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点，则ADE 与ABC的周长之比等于【答案】1:2（或21）17.（2013 湖南长沙 第 17 题 3 分）在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 2 个红球，每次摸球前先将盒子中的求摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于 0.2，那么可以推算出 n 大约是【答案】1018.（2013 湖南长沙 第 18 题 3 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC,B=500,C=800,AECD 交 BC 于点 E,若 AD=2，BC=5，则边 CD 的长是【答案】319.（2013 湖南长沙 第 19 题 6 分）计算：3+（-2）2-（5+1）0【解】原式=3+4-1=6。20.（2013 湖南长沙 第 20 题 6 分）解不等式组xxxx343)1(2并将其解集在数轴上表示出来【解】解不等式 2(x+1)x+3,得 x1;解不等式 x-43x,得 x-2,把解集在数轴上表示出来，所以原不等式组的解集是-2x1。21.（2013 湖南长沙 第 21 题 8 分）“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量备受人们关注。我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了 2013 年 1 月份至 4 月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图。请根据图中信息，解答下列问题：（1）统计图共统计了天的空气质量情况。（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数。（3）从小源所在班级的 40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测点参观，则恰好选到小源的概率是多少？【解】（1）100；（2）优的天数是 20 天，图略，空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数是 720；（3）401。22.（2013 湖南长沙 第 22 题 8 分）如图，ABC 中，以 AB 为直径的O 交 AC 于点 D,DBC=BAC.（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，BAC=300,求图中阴影部分的面积。【解】（1）AB 是O 的直径，ADB=900,ABD+BAC=900,DBC=BAC，ABD+DBC=900,BC是O 的切线；(2)连接 OD,BAC=300,BOD=600,OB=OD,OBD 是等边三角形，S阴影=S扇形 OBD-SOBD=33232213602602.23.（2013 湖南长沙 第 23 题 9 分）为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线。已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资 265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元。（1）求 1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除 1、2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网。据预算，这 91.8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的 1.2 倍，则还需投资多少亿元？【解】（1）设 1 号线每千米的平均总价是 x 亿元，则 2 号线每千米的平均总价是（x-0.5）亿元，根据题意，得 24x+22(x-0.5)=265,解得 x=6.所以 x-0.5=5.5(亿元）。答：1 号线、2 号线每千米的平均造价分别是 6 亿元、5.5 亿元。（2）91.81.26=660.96（亿元）。24.（2013 湖南长沙 第 24 题 9 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，M,N 分别是 AD,BC 的中点，AND=900,连接 CM 交 DN 于点 O.（1）求证：ABNCDM；（2）过点 C 作 CEMN 于点 E，交 DN 于点 P，若 PE=1，1=2，求 AN 的长。【解】（1）平行四边形ABCD，ABN=CDM,AB=CD,BC=AD,M,N分别是AD,BC的中点，BN=21BC,DM=21AD,BN=DM,ABNCDM；(2)由（1）易证四边形 CDMN 是平行四边形，AND=900,AM=DM,MN=21AD=DM,四边形 CDMN 是菱形，1=MND=CND=2，PN=PC,NEP=CEN,NEPCEN,EN2=EPEC,设 PN=x=PC，则 NE2=1(x+1),CEMN，x2=12+(x+1),解得 x=2 或 x=-1（舍去），由勾股定理求的 NE=3,PE=1=21PN,1=MND=CND=2=300，CMN 是等边三角形，CM=CN=23,由（1）得ABNCDM，AN=CM=23.25.（2013 湖南长沙 第 25 题 10 分）设 a,b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 axb 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a,b.对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 mxn 时，有 myn,我们就称此函数是闭区间m.n上的“闭函数”.（1）反比例函数 y=x2013是闭区间1,2013上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数 y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若二次函数 y=51x2-54x-57是闭区间a,b上的“闭函数”，求实数 a,b 的值。【解】（1）是。理由：根据“闭区间”和“闭函数”的规定，当 1x2013 时，1120131x，201320131x，即 1y2013，所以反比例函数 y=x2013是闭区间1,2013上的“闭函数”；（2）因为一次函数 y=kx+b(k0)是闭区间m,n上的“闭函数”，所以 k0，由 mxn，得 km+bkx+bkn+b，根据“闭函数”的规定有nbknmbkm，方程相减得 k(m-n)=m-n，由于 mn,所以 k=1,把 k=1 代入任一方程，b=0，此函数解析式是 y=x;（3）y=51(x-2)2-511,对称轴是 x=2,顶点是（2，-511）。分三种情况：当 ab2 时，y 随 x增大而减小，当 axb 时，51b2-54b-57y51a2-54a-57，由规定可得abbbaa57545157545122，方程相减得51（a+b)(a-b)-54(a-b)=-(a-b),由于 ab,得 a+b=-1，a=-b-1，代入第二个方程得 b2+b-2=0,解得 b=-2或 b=1,由于 ab,b=1，此时 a=-2.故12ba.当 a2b 时，函数的最小值为-511，根据闭函数的意义有当 axb 时，-511y51a2-54a-57或-511y51b2-54b-57,于是baaa5754515112或bbba5754515112，解得526511ba或21099511ba（其中21099511ba舍去）；当 2ab 时，y随 x 增 大 而 增 大，当 a x b 时，51a2-54a-57 y 51b2-54b-57,根 据 规 定 有，51a2-54a-57=a,51b2-54b-57=b,即 a、b 是51s2-59s-57=0 的两个根，s=21099，不合题意，应舍去.综上所述：a、b 的值为12ba或526511ba或21099511ba.26.（2013 湖南长沙 第 26 题 10 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-x+2 与 x 轴，y 轴分别交于点 A，点 B，动点 P（a,b)在第一象限，由点 P 向 x 轴，y 轴所作的垂线 PM,PN（垂足为 M,N）分别与直线 AB 相较于点 E,点 F，当点 P（a,b)运动时，矩形 PMON 的面积为定值 2.（1）求OAB 的度数；（2）求证AOFBEO；（3）当点 E,F 都在线段 AB 上时，由三条线段 AE,EF,BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为 S1,OEF 的面积为 S2.试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由.【解】（1）当 x=0 时，y=2，当 y=0 时，x=2，所以点 a 坐标为（2,0），点 B 坐标为（0,2），OA=OB,所以OAB=450；（2）方法一：因为矩形 OMNPN 的面积是 2，所以点 P 坐标为（a,a2），点 E 坐标为（a,-a+2),点 F坐标为（aa22，a2），AF=22a，BE=2a，aaBEOA222,aaOBAF2222，OBAFBEOA,OAF=EBO=450,AOFBEO；方法二：先求各点坐标，A(2，0),B(0，2),E(a,2-a),F(2-b,b),OAOB=4，AFBE=4222abab，OAOB=AFBE，OBAFBEOA,OAF=EBO=450,AOFBEO；（3）AE=2(2-a),BF=2(2-b),EF=2(a+b-2),AE2+BF2=2(2-a)2+2(2-b)2=2a2+2b2-8a-8b+16,EF2=2(a+b-2)2=2(a+b-2)2=2a2+2b2-8a-8b+16,AE2+BF2=EF2,所构成的三角形是直角三角形，EF 是斜边，S1=【2)2(2ba2=2(a+b-2)2,过点 O作 EF 边上的高，易求得高为2，S2=)2(2221ba=a+b-2;S1+S2=2(a+b-2)2+（a+b-2）=2(a+b-2)+12-21,对称轴是 x=-1,抛物线的开口向上。由基本不等式知 a+b2ab=22,a+b-222-2-1，根据二次函数的性质，当 a+b-2=22-2 时，S1+S2的值最小，最小值为2（22-2）2+22-2。
