解析几何知识点总结_中学教育-高考.pdf

名师总结 精品知识点 解析几何知识点总结 第一部分:直线 一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角(1)定义：直线 l向上的方向与 x 轴正向所成的角叫做直线的倾斜角。(2)范围：（0,180）2.斜率：直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.k=tan（1）.倾斜角为 90的直线没有斜率。（2）.每一条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每一条直线都存在斜率（直线垂直于x轴时，其斜率不存在)，这就决定了我们在研究直线的有关问题时，应考虑到斜率的存在与不存在这两种情况，否则会产生漏解。（3）设经过 A（x1,y1）和 B（x2,y2）两点的直线的斜率为 K，则当 X1X2时，k=tan=Y1-Y2/X1-X2；当 X1=X2时，=90；斜率不存在；二、直线的方程 1.点斜式：已知直线上一点 P（x0,y0）及直线的斜率 k（倾斜角）求直线的方程用点斜式：y-y0=k(x-x0)注意：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为 x=x0；2.斜截式：若已知直线在 y 轴上的截距（直线与 y 轴焦点的纵坐标）为b，斜率为k，则直线方程：y=kx+b；特别地，斜率存在且经过坐标原点的直线方程为：y=kx 注意：正确理解“截距”这一概念，它具有方向性，有正负之分，与“距离”有区别。3.两点式：若已知直线经过（x1,y1）和（x2,y2）两点，且（X1X2，y1y2）则直线的方程：121121xxxxyyyy；注意：不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线；当两点式方程写成如下形式0)()(112112xxyyyyxx时，方程可以适应在于任何一条直线。4 截距式：若已知直线在x轴，y轴上的截距分别是 a，b（a0，b0）则直线方程：1byax；注意：1）.截距式方程表不能表示经过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线。2）.横截距与纵截距相等的直线方程可设为 x+y=a;横截距与纵截距互为相反数的直线方程可设为 x-y=a 5 一般式：任何一条直线方程均可写成一般式：Ax+By+C=0；（A,B不同时为零）；反之，任何一个二元一次方程都表示一条直线。三、两条直线的位置关系 位置关系 222111:bxkylbxkyl 0:0:22221111CyBxAlCyBxAl 名师总结 精品知识点 平行 21kk，且21bb 212121CCBBAA(A1B2-A2B1=0)重合 21kk，且21bb 212121CCBBAA 相交 21kk 2121BBAA 垂直 121 kk 02121 BBAA 设两直线的方程分别为：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111CyBxAlCyBxAl；当21kk 或1221BABA时它们相交，交点坐标为方程组2211bxkybxky或00222111CyBxACyBxA解；五、点到直线的距离公式：1.点 P(X0，Y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为：2200|BACByAxd；2.两平行线L1:Ax+By+C1=0，L2:Ax+By+C2=0的距离为：2221|BACCd；六、直线系：（1）设直线L1:A1x+B1y+C1=0，L2:A2x+B2y+C2=0，经过L1,L2的交点的直线方程为0)(222111CyBxACyBxA（除去 L2）；如：Y=kx+1y-1-kx=0，即也就是过y-1=0与 x=0 的交点(0,1)除去x=0 的直线方程。直线L:（m-1）x+（2m-1）y=m-5恒过一个定点 。（2）和L:Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+C1=0 （3）与L:Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+C1=0；七、对称问题：（1）中心对称：点关于点的对称：该点是两个对称点的中点，用中点坐标公式求解，点A（a.b）关于C（c,d）的对称点（2c-a,2d-b）直线关于点的对称：、在已知直线上取两点，利用中点公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线方程；、求出一个对称点，在利用 L1/L2 由点斜式得出直线方程；、利用点到直线的距离相等。求出直线方程。向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点 如：求与已知直线0632:1 yxl关于点)1,1(P对称的直线2l的方程。（2）轴对称：点关于直线对称：、点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数。、求出过该点与已知直线垂直的直线方程，然后解方程组求出直线的交点，在利用中点坐标公式求解。如：求点)5,3(A关于直线0443:yxl对称的坐标。直线关于直线对称：（设ba,关于l对称）、若 a.b 相交，则 a 到 L的角等于 b 到 L的角；若 aL，则 bL，且 a.b 与 L的距离相等。、求出 a 上两个点BA,关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程。、设),(yxP为所求直线直线上的任意一点，则P关于l的对称点P的坐标适合a的方程。如：求直线042:yxa关于0143:yxl对称的直线b的方程。第二部分：圆与方程 2.1 圆的标准方程：222)()(rbyax圆心),(baC，半径r 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：222ryx.2.2 点与圆的位置关系：1.设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r：(1)点在圆上 d=r；(2)点在圆外 dr；(3)点在圆内 dr 2.给定点),(00yxM及圆222)()(:rbyaxC.M在圆C内22020)()(rbyax M在圆C上22020)()rbyax（M在圆C外22020)()(rbyax 2.3 圆的一般方程：022FEyDxyx.当0422FED时，方程表示一个圆，其中圆心2,2EDC，半径2422FEDr.当0422FED时，方程表示一个点2,2ED.当0422FED时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022FEyDxCyBxyAx表示圆的充要条件是：0B且0 CA且向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点 0422AFED.圆的直径系方程：已知 AB是圆的直径 0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxByxA 2.4 直线与圆的位置关系：直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种，d 是圆心到直线的距离，(22BACBbAad(1)0相离rd；(2)0相切rd；（3）0相交rd。2.5 两圆的位置关系 设两圆圆心分别为 O1，O2，半径分别为 r1，r2，dOO21。（1）条公切线外离421rrd；（2）条公切线外切321rrd；（3）条公切线相交22121rrdrr；（4）条公切线内切121rrd；（5）无公切线内含 210rrd；外离 外切 相交 内切 内含 2.6 圆的切线方程：直线与圆相切的性质：(1)圆心到直线距离等于半径 r；（2）圆心与切点的连线与直线垂直（斜率互为负倒数）过一定点做圆的切线要分成两种情况：点在圆上和点在圆外。若点在圆上则切线只有一条，利用性质（2）可求切线斜率，再点斜式写出切线方程。若点在圆外则切线有两条，用性质（1）来求出切线斜率，此时注意切线斜率是否存在的分类讨论。2.7 圆的弦长问题：半弦2L、半径 r、弦心距 d 构成直角三角形，满足勾股定理：2222dRL 第三部分:椭圆 一椭圆及其标准方程 1椭圆的定义：平面内与两定点 F1，F2距离的和等于常数212FFa 的点的轨迹叫做椭向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点 圆，即点集 M=P|PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|=2c；这里两个定点 F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距 2c。（cFFa2221时为线段21FF，cFFa2221无轨迹）。2标准方程：222cab 焦点在 x 轴上：12222byax（ab0）；焦点 F（c，0）焦点在 y 轴上：12222bxay（ab0）；焦点 F（0,c）注意：在两种标准方程中，总有 ab0，222cba并且椭圆的焦点总在长轴上；一般形式表示：221xymn或者 ),0,0(122nmnmnymx 二椭圆的简单几何性质：1.范围 （1）椭圆12222byax（ab0）横坐标-axa,纵坐标-bxb （2）椭圆12222bxay（ab0）横坐标-bxb,纵坐标-axa 2.对称性 椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3.顶点 （1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段 A1A2，B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 2a，短轴长等于 2b，a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4 离心率 我们把椭圆的焦距与长轴长的比22ca，即ac称为椭圆的离心率，记作 e（10 e），22221()beaa c 向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点 e 越接近于 0（e 越小），椭圆就越接近于圆;e 越接近于 1（e 越大），椭圆越扁；5椭圆的的内外部（1）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的内部2200221xyab.（2）点00(,)P xy在椭圆22221(0)xyabab 的外部2200221xyab.6.几何性质 （1）通径（过焦点且垂直于长轴的弦）abAB22（2）焦点三角形（椭圆上的任意一点与两焦点够成的三角形）：2tan221bSFMF其中21MFF 7 直线与椭圆的位置关系：(1)判断方法:联立直线方程与椭圆方程消 y(或 x)得到关于 x 的一元二次方程，根据判别式的符号判断位置关系：没有交点相离有一个交点相切相交有两个交点000(2)弦中点问题:（用点差法解决）斜率为 k的直线 l与椭圆),0,0(12222nmnmnymx交于两点),(),(2211yxByxA、）（00,yxM是 AB的中点，则：0022yxmnkAB(3)弦长公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxAB）（）（第四部分：双曲线 双曲线 标准方程（焦点在x轴）)0,0(12222babyax 标准方程（焦点在y轴）)0,0(12222babxay 向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点 定义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12F F）的点的轨 迹 叫 双 曲 线。这 两 个 定 点 叫 做 双 曲 线 的 焦 点，两 焦 点 的 距 离 叫 焦 距。aMFMFM221212FFa 范围 xa，yR ya，xR 对称轴 x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中心 原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)Fc 2(,0)F c 1(0,)Fc 2(0,)Fc 焦点在实轴上，22cab；焦距：122F Fc 顶点坐标（a,0）(a,0)(0,a,)(0，a)离心率 eace(1)重要结论（1）通径（过焦点且垂直于实轴的弦）abAB22（2）焦点三角形：2cot2tan2221bbSFMF 渐近线 方程 xaby yabx 共 渐 近 线的 双 曲 线系方程 kbyax2222（0k）kbxay2222（0k）补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长；xyP 1F 2F x y xyP 1F2Fxy向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点（2）其标准方程为Cyx22其中 C0；（3）离心率2e；（4）渐近线：两条渐近线 y=x 互相垂直；第五部分：抛物线知识点总结 图象)0(22ppxy )0(22ppxy )0(22ppyx )0(22ppyx 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。MFM=点 M到直线l的距离 范围 0,xyR 0,xyR,0 xR y,0 xR y 对称性 关于x轴对称 关于y轴对称 焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上 顶点(0,0)O 离心率 e=1 准线 方程 2px 2px 2py 2py 焦点到准线的距离 p 焦半径 11(,)A x y 12pAFx 12pAFx 12pAFy 12pAFy x y O l F x y O l F l F x y O x y O l F 向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点 焦点弦 长 AB 12()xxp 12()xxp 12()yyp 12()yyp 1.直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k0 时，0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）2.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：bkxy 抛物线，)0(p 联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxk 设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)()(bxxkbxxkbkxbkxyy 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a.相交弦 AB的弦长 2122122124)(11xxxxkxxkABak21 或 2122122124)(1111yyyykyykABak21 b.中点),(00yxM,2210 xxx，2210yyy 点差法：设交点坐标为),(11yxA，),(22yxB，代入抛物线方程，得 1212pxy 2222pxy 向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示名师总结 精品知识点 将两式相减，可得)(2)(212121xxpyyyy 2121212yypxxyy a.在涉及斜率问题时，212yypkAB b.在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时，设 线 段AB的 中 点 为),(00yxM，00212121222ypypyypxxyy，即0ypkAB，同理，对于抛物线)0(22ppyx，若直线l与抛物线相交于BA、两点，点),(00yxM是弦AB的中点，则有pxpxpxxkAB0021222（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）向所成的角叫做直线的倾斜角范围斜率直线倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率倾斜角为的直线没有斜率每一条直线都有唯一的倾斜角但并不是每一条直线都存在斜率直线垂直于轴时其斜率不存在这就决定了我们在研究直线的有关存在二直线的方程点斜式已知直线上一点及直线的斜率倾斜角求直线的方程用点斜式注意当直线斜率不存在时不能用点斜式表示此时方程为斜截式若已知直线在轴上的截距直线与轴焦点的纵坐标为斜率为则直线方程特别地斜率存在经过和两点且则直线的方程注意不能表示与轴和轴垂直的直线当两点式方程写成如下形式任何一条直线时方程可以适应在于截距式若已知直线在轴轴上的截距分别是则直线方程注意截距式方程表不能表示经过原点的直线也不能表示