2013年河南开封中考数学真题及答案.pdf
20132013 年河南开封中考数学真题及答案年河南开封中考数学真题及答案注意事项：注意事项：1.本试卷共 8 页，三个大题，满分 120 分，考试时间 100 分钟，请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在试卷上。2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。参考公式：二次函数图像2(0)yaxbxc a的顶点坐标为24(,)24bacbaa一、一、选择题选择题（每小题每小题 3 3 分分，共共 2424 分分）下列各小题均有四个答案下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内。的，将正确答案的代号字母填在题后括号内。1、2 的相反数是【】（A）2(B)2(C)12(D)12【解析】根据相反数的定义可知：2 的相反数为 2【答案】A2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【】【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转 180后，能与自身重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。结合定义可知，答案是D题号一二三总分189151617181920212223【答案】D3、方程(2)(3)0 xx的解是【】（A）2x（B）3x （C）122,3xx（D）122,3xx【解析】由题可知：20 x或者30 x，可以得到：122,3xx【答案】D4、在一次体育测试中，小芳所在小组 8 个人的成绩分别是：46，47，48，48，49，49，49，50.则这 8 个人体育成绩的中位数是【】（A）47（B）48（C）48.5（D）49【解析】中位数是将数据按照从小到大的顺序排列，其中间的一个数或中间两个数的平均数就是这组数的中位数。本题的 8 个数据已经按照从小到大的顺序排列了，其中间的两个数是 48 和 49，它们的平均数是 48.5。因此中位数是 48.5【答案】C5、如图是正方形的一种张开图，其中每个面上都标有一个数字。那么在原正方形中，与数字“2”相对的面上的数字是【】（A）1（B）4（C）5（D）6【解析】将正方形重新还原后可知：“2”与“4”对应，“3”与“5”对应，“1”与“6”对应。【答案】B6、不等式组221xx的最小整数解为【】（A）1（B）0（C）1（D）2【解析】不等式组的解集为12x，其中整数有 0,1,2。最小的是 0【答案】B7、如图，CD是O的直径，弦ABCD于点G，直线EF与O相切与点D，则下列结论中不一定正确的是【】（A）AGBG（B）ABEF（C）ADBC（D）ABCADC【解析】由垂径定理可知：（A）一定正确。由题可知：EFCD，又因为ABCD，所以ABEF，即（B）一定正确。因为ABCADC和所对的弧是劣弧AC，根据同弧所对的圆周角相等可知（D）一定正确。【答案】C8、在二次函数221yxx 的图像中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是【】（A）1x（B）1x（C）1x （D）1x 【解析】二次函数221yxx 的开口向下，所以在对称轴的左侧y随x的增大而增大，二次函数221yxx 的对称轴是2122(1)bxa ，所以，1x【答案】A二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 3 分，共分，共 2121 分）分）9、计算：34【解析】原式=321【答案】110、将 一 副 直 角 三 角板ABC和DEF如 图 放 置（其 中60,45AF），使点E落在AC边上，且EDBC，则CEF的度数为【解析】有图形可知：30,45ACBDEF。因为EDBC，所以30DECACB,453015CEFDEFDEC 【答案】1511、化简：11(1)xx x【解析】原式=(1)11(1)(1)1xxx xx xx【答案】11x12、已知扇形的半径为 4，圆心角为 120，则此扇形的弧长是【解析】有扇形的弧长公式180n rl可得：弧长120 481801803n rl【答案】8313、现有四张完全相同的卡片，上面分别标有数字1，2，3，4。把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上的数字之积为负数的概率是【解析】任意抽取两张，数字之积一共有 2，3，4，6，8，12 六种情况，其中积为负数的有3，4，6，8 四种情况，所以概率为46，即23【答案】2314、如图，抛物线的顶点为(2,2),P 与y轴交于点(0,3)A，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点(2,2)P，点A的对应点为A，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为【解析】阴影部分PAA P可认为是一个平行四边形，222(2)(22)4 2PP 过A作ABPP,则23 2sin45322ABOA 阴影部分PAA P的面积为3 24 2122SPPAB【答案】1215、如图，矩形ABCD中，3,4ABBC,点E是BC边上一点，连接AE，把B沿AE折叠，使点B落在点B处，当CEB为直角三角形时，BE的长为【解析】当90EB C时，由题可知：90ABEAB E,即：,A B C在同一直线上，B落在对角线AC上，此时，设BEx，则B Ex，4,2CEx B CACAB，在Rt B EC中，解得32x 当90B CE时，即B落在CD上，3ABAB，此时在Rt ADB中，斜边AB大于直角边AD，因此这种情况不成立。当90B EC时，即B落在AD上，此时四边形ABEB是正方形，所以3,ABBE【答案】332或三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 8 个小题，满分个小题，满分 7575 分）分）16、（8 分）先化简，再求值：2(2)(21)(21)4(1)xxxx x，其中2x 【解答】原式2222222(44)(41)(44)4441 443xxxxxxxxxxx 当2x 时，原式=223517、从 2013 年 1 月 7 日起，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气。某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了如下尚不完整的统计图表组别观点频数（人数）A大气气压低，空气不流动80B地面灰尘大，空气湿度低mC汽车尾气排放nD工厂造成的污染120E其他60请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）填空：m，n，扇形统计图中E组所占的百分比为%。（2）若该市人口约有 100 万人，请你估计其中持D组“观点”的市民人数（3）若在这次接受调查的市民中，随机抽查一人，则此人持C组“观点”的概率是多少？【解析】（1）由A组的频数和A组在扇形图中所占的百分比可以得出调查的总人数：8020%400400 10%40m，4008040 12060100n E组所占百分比是604000.1515%（2）由 题 可 知：D组“观 点”的 人 数 在 调 查 人 数 中 所 占 的 百 分 比 为1204000.330%100 30%30（万人）（3）持C组“观点”的概率为10014004【答案】（1）40；100；15%（2）30 万人（3）1418、（9 分）如图，在等边三角形ABC中，6BCcm,射线AGBC，点E从点A出发沿射线AG以1/cm s的速度运动，同时点F从点B出发沿射线BC以2/cm s的速度运动，设运动时间为()t s（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：ADECDF证明：AGBCEADACB D是AC边的中点ADCD又ADECDF ADECDF（2）填空：当t为s时，四边形ACFE是菱形；当t为s时，以,A F C E为顶点的四边形是直角梯形。【解析】当四边形ACFE是菱形时，AEACCFEF由题意可知：,26AEt CFt，6t 若四边形ACFE是直角梯形，此时EFAG过C作CMAG于M，3AG，可以得到AECFAM，即(26)3tt，3t，此时，CF与重合，不符合题意，舍去。若四边形若四边形AFCE是直角梯形，此时AFBC，ABC是等边三角形，F是BC中点，23t，得到32t 经检验，符合题意。【答案】6t 32t 19、（9 分）我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的 162 米增加到 176.6 米，以抬高蓄水位，如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角68BAE，新坝体的高为DE，背水坡坡角60DCE。求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到 0.1 米，参考数据：sin680.93,cos680.37,tan682.50,31.73）【解答】在RtBAE中，68BAE，BE=162 米16264.80tan2.50BEAEBAE（米）在RtDEC中，60DCE，DE=176.6 米176.6102.08tan3DECEDCE（米）102.0864.8037.2837.3ACCEAE（米）即工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为 37.3 米20、（9 分）如图，矩形OABC的顶点,A C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2,3)。双曲线(0)kyxx的图像经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE。（1）求k的值及点E的坐标；（2）若点F是边上一点，且FBCDEB，求直线FB的解析式【解答】（1）在矩形OABC中，B点坐标为(2,3)，BC边中点D的坐标为（1,3）又双曲线kyx的图像经过点(1,3)D31k，3k E点在AB上，E点的横坐标为 2.又3yx经过点E,E点纵坐标为32，E点纵坐标为3(2,)2（2）由（1）得，31,22BDBEBC,FBCDEB，BDBECFCB，即3122CF。43CF，53OF，即点F的坐标为5(0,)3设直线FB的解析式为1yk xb，而直线FB经过5(2,3),(0,)3BF13253kbb，解得12353kb直线FB的解析式为2533yx21、（10 分）某文具商店销售功能相同的两种品牌的计算器，购买 2 个A品牌和 3 个B品牌的计算器共需 156 元；购买 3 个A品牌和 1 个B品牌的计算器共需 122 元。（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器 5 个以上超出部分按原价的七折销售。设购买个A品牌的计算器需要元，购买个B品牌的计算器需要元，分别求出关于的函数关系式（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过 5 个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由。【解答】（1）设A品牌计算机的单价为x元，B品牌计算机的单价为y元，则由题意可知：2315630312232xyxxyy即A，B两种品牌计算机的单价为 30 元，32 元（2）由题意可知：10.8 30yx，即124yx当05x时，232yx当5x 时，232 532(5)0.7yx，即222.448yx（3）当购买数量超过 5 个时，222.448yx。当12yy时，2422.448,30 xxx即当购买数量超过 5 个而不足 30 个时，购买A品牌的计算机更合算当12yy时，2422.448,30 xxx即当购买数量为 30 个时，购买两种品牌的计算机花费相同。当12yy时，2422.448,30 xxx即当购买数量超过 30 个时，购买B品牌的计算机更合算22、（10 分）如图 1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中90,30CBE .（1 1）操作发现）操作发现如图 2，固定ABC，使DEC绕点C旋转。当点D恰好落在AB边上时，填空：1线段DE与AC的位置关系是；2设BDC的面积为1S，AEC的面积为2S。则1S与2S的数量关系是。【解析】由旋转可知：AC=DC，90,30CBE ，60AD ADC是等边三角形，60ACD,又60CDEDEAC过D作DNAC交AC于点N，过E作EMAC交AC延长线于M，过C作CFAB交AB于点F。由可知：ADC是等边三角形,DEAC，DN=CF,DN=EMCF=EM90,30CB，2ABAC,又ADACBDAC112SCF BD212SAC EM1S=2S（2 2）猜想论证）猜想论证当DEC绕点C旋转到图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中1S与2S的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中,BC CE边上的高，请你证明小明的猜想。【证明】90,180DCEACBDCMACE 又180,ACNACEACNDCM 又90,CNACMDACCD ANCDMCAN=DM又CE=CB,12SS（3 3）拓展探究）拓展探究已知60ABC，点D是其角平分线上一点，4BDCD，OEAB交BC于点E（如图 4），若在射线BA上存在点F，使DCFBDCSS,请直接写出相应的BF的长【解析】如图所示，作1DFBC交BA于点1F,作2DFBD交BA于点2F。按照（1）（2）求解的方法可以计算出14 33BF 28 33BF 23、（11 分）如图，抛物线2yxbxc 与直线122yx交于,C D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为7(3,)2。点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PEx轴于点E，交CD于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以,O C P F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。（3）若存在点P，使45PCF，请直接写出相应的点P的坐标【解答】（1）直线122yx经过点C,(0,2)C抛物线2yxbxc 经过点(0,2)C，D7(3,)2227273322cbbcc 抛物线的解析式为2722yxx（2）点P的横坐标为m且在抛物线上271(,2),(,2)22P mmmF mmPFCO，当PFCO时，以,O C P F为顶点的四边形是平行四边形1当03m时，22712(2)322PFmmmmm 232mm，解得：121,2mm即当1m 或2时，四边形OCPF是平行四边形2当3m 时，2217(2)(2)322PFmmmmm 232mm，解得：12317317,22mm（舍去）即当13172m时，四边形OCFP是平行四边形（3）如图，当点P在CD上方且45PCF时，作,PMCD CNPF,则PMFCNF，212PMCNmMFFNm2PMCMCF555555222PFFMCFCNCNm又23PFmm 2532mmm解得：112m，20m（舍去）1 7(,)2 2P。同理可以求得：另外一点为23 13(,)6 18P
