高三复习：二项式定理-知识点、题型方法归纳.docx

绵阳市开元中学高2014级高三复习二项式定理学问点、题型与方法归纳制卷：王小凤 学生姓名：学问梳理1 .二项式定理：(。+力=C%+CSS H-Canrbrl-CCneN*)公式所表示的定理叫二项式定理，右边 的多项式叫的二项绽开式.其 中的系数a(r=0,l,)叫二项式系 数.式中的叫二项绽开式的通 项，用。+1表示，即通项Tr+i = Crnan-rbr.2 .二项绽开式形式上的特点(1)项数为竺上!.(2)各项的次数都等于二项式的幕指数 n,即。与。的指数的和为”.(3)字母。按降累排列,从第一项起先, 次数由逐项减1直到零；字母b按丑 金排列，从第一项起，次数由零逐项增1 直到n.(4)二项式的系数从Cg, CL始终到 er1, a.3 .二项式系数的性质对称性：与首末两端“等距离”的两 个二项式系数相等.即禺=c;(2)增减性与最大值：二项式系数C3当YI 1女一厂时，二项式系数渐渐增大.由对 称性知它的后半部分是渐渐减小的；当n n是偶数时，中间一项。取得最大值；当72-1 + 1是奇数时，中间两项=cj取得最 大值.(3)各二项式系数和：Cn + Cn + CnHFQ+c，=25c2+a+c4+ = c4+c、+cZ +=丝2.一个防范运用二项式定理肯定要牢记通项。+1= G；相一必, 留意(。+力与(人+。)虽然相 同，但详细到它们绽开式的某一项时是 不同的，肯定要留意依次问题，另外二 项绽开式的二项式系数与该项的(字母) 系数是两令丕同的概念,前者尽指.00 而后者是字母外的部分.前者只与和厂 有关，恒为正，后者还与，有关，可 正可负.一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也 可依据次数，项数和系数利用排列组合 的学问推导二项式定理.因此二项式定 理是排列组合学问的发展和持续.两种应用(1)通项的应用：利用二项绽开式的通项 可求指定的项或指定项的系数等.(2)绽开式的应用：利用绽开式可证明 与二项式系数有关的等式；可证明不 等式；可证明整除问题；可做近似三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系 数的和；二.题型示例【题型一】求(x+y)绽开特定项例1： (1+3必(其中且三6)的绽 开式中x5与的系数相等，则=() A.6B.7C.8D.9解：由条件得C35 = C36, n!_ n!5! (-5) !6! (-6) !3(-5) = 6, =7.故选 B.例2： (2014 大纲)(左一比的绽开式 中的系数为.(用数字作答)解：/一关)绽开式的通项公式为33/ 、厂8r 4(-1) C。2 y2 ,33令85厂=2,解得r=4,此时5-4=2, 所以绽开式中X2/的系数为(- l)4d=70. 故填70.【题型二】求(。+ ”+(%+y)绽开特 定项例 1：在(1 x)5 + (l x)6 + (l x), + (1一%)8的绽开式中，含X3的项的系数 是()A. 74B. 121C. -74 D. -121解析 绽开式中含V项的系数为eg (-1)3+C(-1)3+C(-1)3+C(-1)3 = -121.【题型三】求( + "”(x+y)”绽开特定项例1： (2013 全国课标卷H)已知(1 +czx)(l +x)5的绽开式中%2的系数为5, 则=()A. - 4B. - 3C.-2D.-1解：(1+qx)(1+x)5的绽开式中一项 为 Clx1+ ax-Cx = 10x2+ Sax1 = (10 + 5 a)%2.32 的系数为 5,A 10+56/=5, = 1.故选D.例 2： (2014浙江卷)在(l+x)6(l+y)4 的绽开式中，记产项的系数为角%, )，则43, 0)+次2, 1)十五1, 2)+/0, 3) = ()A. 45B .60C. 120D. 210解析在(1+工)6的绽开式中，力的系 数为eg7,在(l+y)4的绽开式中，/ 的系数为a,故火相，尸CCA 而人3, 0) = Cg=20,式2, 1)=d& =60,共1,2)=ChC=36,火0, 3) =C?=4,所以<3, 0)+负2, 1)+负1, 2)+/0, 3) = 120,故选 C.例3：已知数列%是等差数列，且% + % = 1 0，贝 U在(x-a1)(x-a2)-(x-an)的绽开式中，xn 的系数为.解： 3 的系数为(6/| + % + + tip) 6(4 + %)= -60 o【题型四】求(+y + z)"绽开特定项例1:求住+5+同(%>0)的绽开式 经整理后的常数项.因而 7> + 1 = C fo(也)102r(、，贝1r=5时为常数项，即Go不5632 =2 ,解法二：所给的式子为三项式，采 纳两个计数原理求解.分三类：5个式子均取出，则以 5(钩=472;丫1取一个5，一个；，三个也，则Cg (加(6)3 = 2的取两个看两个一个也，则dC3喈.所以，常数项为4陋+2岫+”兴6322 .点拨：三项式的绽开式问题，通常 可用解法一化为二项式问题，或用解法 二化为计数问题.例2：若将(+ y + »°绽开为多项式, 经过合并同类项后它的项数为().A. 11B. 33C. 55D. 66解：绽开后，每一项都形如公产才， 其中a+8+c = 10,该方程非负整数解的 对数为。温=66 o例3：2015课标全国卷I (x2 + %+»的绽开式中，X5：/的系数为 ()A. 10 B. 20 C. 30 D. 60解析 易知r+1=©(1+%)5- y,令尸=2,则八=(3(%2+%)3,2, 对于二项式(炉+4，由刀+1=0 (%2广3=(2限61,令.= 1,所以 2y2 的系数为C?Ci = 30.【题型五】二项式绽开逆向问题例1： (2013广州毕业班综合测试)若 以+3或+32&+3厂2a一1+ 3-1= 85,则的值为()A.3 B.4 C.5 D.6解：由 &+3或+ 32。1 + 3-1=；(1+3)-1 = 85,解得 =4.故选 一)B.【题型六】赋值法求系数(和)问例1：已知(1 -21)7 = 0 + “1犬+。”2 HVaix1.求： (1)1 + Q2 + + Q7 ； (2)。1+。3 +。5 +。7；(3)。0 + 42 + 44 + 46 ； (4)|o| + l6zi | + a + + ai.角星：令 X= 1 ,贝U Qo + l+2 + 3 + 4 +。5 +。6 +。7= - 1 令 X=- 1, 则 ao 41+。2 43 + 4- 45 +。6 。7 = 3, ,(1) */ 6Z0 =C9 = 1 , 1+02 + 03+ + 47 = - 2.(2)(一)-2,得 1+。3 +。5 +。7 =-1 - 3广=一1094.(3)( + )：2,得 ao-ai-O4ae=-1+37= 1093.(4):(1 2x)7 的绽开式中，Qo, 42, 04,Q6大于零，而41, (13, 5,。7小于零,:|。()| +1 + + + |。7| = () + Q2+ 4 +。6) (1 +。3 + 5 + 7),所求即为一(亦即)，其值为 2187点拨：“赋值法”普遍运用于恒 等式，是一种处理二项式相关问题比较 常用的方法.对形如(ax+)，(ax2-hx- c),n(a, b, cWR)的式子求其绽开式各项 系数之和，只需令x=l即可；对形如(公 +勿)"(，/?£R)的式子求其绽开式各项 系数之和，只需令x=y=l即可.若 y(x) = 6zo + aix + aix1+ + 则火幻绽开式中各项系数之和为a +03+45 + 3 ='/一f(T)/U),奇数项系数之和为qo+s+q4H J？(T),偶数项系数之和为例2：=ax+avHF OlnX2”,贝1J(Q0 + “2 + Q4 HF 2)2解：设火%）=惇+12：则(o + o2一(1 + 3 + 45 + + 02 - l)2 + 4+ +2)2 + 6Z3 + * * * + ain-i)2 = (o+ 02 + 04+ +i2 a 43 as2 1 )(Q() + Q2 + 4 HF ain + 1 +43 + 5 + + ain -!)=/( 1)7(1)=例 3：已知(x+l)2(x+2严14 = o +a(x + 2) + Q2(X + 2)2 + + 6Z2016(X +2严6,则3 +第+ |+一+掰的值为3解：依题意令尸一杀得1+1，3、2014，3)1g+2)= o +-+2)+(3)2( 32016武一+2)H1-。20161+2),令x=-2 付 qo = O,则不+至+方-H乙 乙乙6Z20I6,2016 =m2016I2J【题型七】平移后系数问题例1：若将函数式幻=/表示为火幻 =40+ “1（1 +工）+。2（1 +x）2+ +。5（1 + %）5,其中a。，Q, 2，。5为实数,则 Q3 =.解法一：令 x+l=y, （yl）5=ao+ ay-aiy2+ + asy5, 故 3 = d（1> = 10.解法二：由等式两边对应项系数相 %5=1,等.即：，。5 +。4 = 0,解得3 =、Cg5 + C%4 + 3 = 0,解法三：对等式：/OOnruao+aiq + x） + 2（l +x）24F5（1+x）5两边连 续对龙求导三次得：60/= 6如+2444（1 +x） + 605（1+x）2,再运用赋值法，令X =1 得：60=6©,即。3=10.故填 10.【题型八】二项式系数、系数最大值问题例i： （c+JT的绽开式中第五项 和第六项的二项式系数最大，则第四 项为.解析由已知条件第五项和第六项 二项式系数最大，得=9,（也十£绽 开式的第四项为八=0（也）6-（=）3 = 21 2'例2：把（1 一%）9的绽开式按的升塞 排列，系数最大的项是第 项A. 4B. 5C. 6D. 7解析（1%）9绽开式中第1+1项的 系数为c§（-l）易知当r=4时，系数 最大，即第5项系数最大，选B.例3：（l+2x）的绽开式中第6项与 第7项的系数相等，求绽开式中二项式 系数最大的项和系数最大的项.解:=G（2x）5,乃=以（21）6,依题 意有东25 =以26,解得=8,所以（1 +2x） 8的绽开式中，二项式系数最大的项 为 T5=d （2x）4= 1 120x4.设第r+ 1项系数最大，则有 2。厂 2 厂 IIC§ 2。时 2r+1,解得5W-W6,所以r=5或r=6,所 以系数最大的项为76=1 792/或为=1 792x6.点拨：（1）求二项式系数最大项：假如 是偶数，则中间一项（第£+1项）的二项式 系数最大；假如是奇数，则中间两77 + 1+ 1项（第一厂项与第一厂+1项）的二项式系 乙乙数相等并最大.求绽开式系数最大项： 如求的绽开式系数最大 的项，一般是采纳待定系数法，列出不等式组L.从而解出r,即得绽开ArNAr+l, 式系数最大的项.【题型九】两边求导法求特定数列和例 1：若(21- 3)5 = 00+ 1% + 2/ +43X3+ SA4+ Q5X5, 贝1J 1+22 + 33 +46/4 + 5 Q5 =解析原等式两边求导得5(2% 3)4 9(2x3y=ai +2tzzx+36Z3X2+4«4X3+ 5。5次4,令上式中X=1 ,得。1+22+ 3b+44+5q5= 10.【题型十】整除问题例 1：设 q£Z,且 0Wv13,若 512。12+。能被13整除，则4=()A. 0 B. 1 C. 11 D. 12解析 512°12+=(521)2。12+"= ©012 522O12-Cioi2 52201l + - +CM1»52 (-l)201l + Cl(-l)2012,.,C5oi2 -522O12-Cloi2 -522O11 + - +C8HX52 (一Iyo” 能被 13 整除.且512oi2+a能被13整除，c阴场-)2012 + =i+q也能被13整除.因此可取值12.例2：已知根是一个给定的正整数, 假如两个整数。"除以m所得的余数相 同，则称a与b对模m同余，记作 a=hmod根)，例如：5三 13(/nod4).若 22015 三rmod7),则厂可能等于()A.2013 B.2014 C.2015 D.2016解：22015 = 22X23X671=4X8671=4(7+ 1）671= 4（7671 + 以717670 + + 潮7 +1）. 因此2235除以7的余数为4.阅历证，只 有2013除以7所得的余数为4.故选A.三.自我检测1、（ 2013 青岛一检）“ =5” 是13日（&N*）的绽开式中含有 常数项”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分 条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、已知C2+2C1+22c2+23文+20 = 729,则 Cl + C" + Ca+ C4等于 ()A. 63 B. 64 C. 31 D. 323、组合式 C92CI+4&8C?+ (一2)。的值等于()A. (1)B. 1C. 3D. 3一14、若(1 +x + x2)6 = 4o + 0x + q2X2 + + 6Z12X12, 则 2 +。4+12 =.5、已知(l+x)l° = o + l(l %) +。2(1X)2H|-6Z10(lX)10,则。8 =()A. -180B. 180C. 45D. -456、（1+功3（1 一%）4绽开式中项的系数 为（）A. 10B. -10C. 2D. -27、（l+%）8（l+y）4的绽开式中2y2的系数 是.8、在（l + X）3+（l+X）4+. + （l+X）5。的绽开式中，/的系数为（）B. C*D. C：79、在(x+ l)(2x+ 1)(依+ 1)(£N*)的绽 开式中一次项系数为()A.繇B. C，i C. CF1 D.1CQ10、(206安徽合肥二检)Wx+1严绽 开式中x3项的系数为