解三角形高考题精选_中学教育-中考.pdf

一.基础知识 特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意ABC 这个特殊性：；（2）约定用 A，B，C 分别表示ABC 的三个内角，,a b c分别表示它们所对的各边长 1正弦定理：CcBbAasinsinsin=_.（R 为ABC 外接圆半径）.注意：正弦定理的一些变式：sinsinsini a b cABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2 sin,2 sin,2 siniii aRA bRB bRC；已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.ABC 的面积为 SABC=1sin_.2abC 2余弦定理：2222222coscos2bcaabcbcAAbc .等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.3.角平分线性质定理:角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.4.锐角三角形性质：若 ABC 则6090,060AC .5.边角大小关系：sinsinabABAB 6.内角和：180ABC ,任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.7.求 解 三 角 形 中 含 有 边 角 混 合 关 系 的 问 题 时，常 运 用 正 弦 定 理、余 弦 定 理 实 现 边 角 互 化。,sin()sin,sincos22ABCABCABC 自练题：（1）ABC中，A、B 的对边分别是 ab、，且A=60 6 4,a,b，那么满足条件的ABC A、有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定（答：C）；（2）在ABC中，AB 是sin Asin B成立的_条件（答：充要）；（3）在ABC中，112(tan A)(tan B)，则2log sinC_（答：12）；(4)在ABC中，a,b,c分别是角 A、B、C 所对的边，若(abc)(sin Asin B 3sinC)a sin B，则C_（答：60）；（5）在ABC中，若其面积2224 3abcS，则C=_（答：30）；（6）在ABC中，60 1A,b，这个三角形的面积为3，则ABC外接圆的直径是_（答：2 393）；（7）在ABC 中，a、b、c 是角 A、B、C 的对边，213,cos,cos32BCaA则=，22bc的最大值为 （答：1 93 2;）；（8）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是（答：06C）；（9）设 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若75C，且,AOBBOCCOA的面积满足关系式3AOBBOCCOASSS，求A（答：45）二.基础训练题 题组 1 1.(1)coscosaAbB,判断ABC的形状.(2)证明：222222sinsin.sinabABcC(3)证明coscos,coscos,coscos.abCcB bcAaC caBbA（4）证明：22(coscos).c aBbAab 2(2008 北京文)已知ABC 中，a=2,b=3,B=60,那么角 A等于（）A.135 B.90 C.45 D.30 3.（2007 重庆理）在ABC中，,75,45,300CAAB则 BC=（）A.33 B.2 C.2 D.33 4(2008 福建文)在ABC 中，角 A,B,C 的对应边分别为 a、b、c,若2223acbac，则角 B 的值为（）6 3 6或56 3或23 5.(2006 山东)在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 A=3,a=3,b=1，则 c=()A.1 B.2 C.31 D.3 题组 2 1（2005 春上海）在ABC中，若CcBbAacoscoscos，则ABC是（）A.直角三角形.B.等边三角形.C.钝角三角形.D.等腰直角三角形.2（2005 北京春）在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D正三角形 3.（2010 上海）若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC，则ABC（）A.一定是锐角三角形.B.一定是直角三角形.C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.4.（2013 安徽）设ABC的内角,A B C所对边的长分别为,a b c.若2bca，则3sin5sin,AB则角C().A.3 B.23 C.34 D.56 5.(2008 湖北文)在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知3,3,30,abC 则 A .题组 3 1.（2010 天津理）在ABC中，内角 A,B,C 的对边分别是a b c，若223abbc，sin2 3sinCB，则 A=()A.030 B.060 C.0120 D.0150 2.(2011 重庆理)若ABC 的内角 A、B、C 所对的边a b c，满足22b4ac（），且 C=60，则 ab 的值为（）A43 B84 3 C 1 D23 3.(2011 四川理)在ABC 中222sinsinsinsinsinABCBC则 A 的取值范围是 （）A（0，6 B 6，）C（0，3 D 3，）4.（2014 江西理）在ABC中，内角A B C，的对边分别为a b c，若22()6,3ca bC 则ABC的面积是（）.3A 9 3.2B 2.3 3C .3 3D 5.（2013 浙江）在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为,a b c，且2 sin3aBb（）求角 A 的大小；（)若6,8,abc 求ABC 的面积.题组 4 1.（2013 江西理）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos(cos3sin)cos0CAAB.（1）求角 B 的大小；(2)若1ac，求 b 的取值范围 2（2013 新课标）ABC在内角,A B C的对边分别为,a b c,已知cossinabCcB.的各边长正弦定理为外接圆半径注意正弦定理的一些变式已知三角形两边一对角求解三角形时若运用正弦定理则务必注意可能有两解的面积为余弦定理等常选用余弦定理鉴定三角形的形状角平分线性质定理角平分线分对边所得两段角的半角总互余锐角三角形三内角和内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方求解三角形中含有边角混合关系的问题时常运用正弦定理余弦定理实现边角互化自练题中的对边分别是答在中若其面积则答在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是答在中是角的对边则的最大值为答在中则角的取值范围是答设是锐角三角形的外心若的面积满足关系式二基础训练题题组求答判断的形状证明证明证明北京文已知中那()求B;()若2b,求ABC面积的最大值.3.(2014 新课标理)已知,a b c分别为ABC的三个内角,A B C的对边，a=2，且(2)(s i ns i n)()s i nbABc bC，则ABC面积的最大值为 .4.（2011 全国新课标理）ABC中，60,3,BAC，则 AB+2BC 的最大值为_ 5.（2007 全国 1 理）设锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=2bsinA.（）求 B 的大小；（）求 cosA+sinC 的取值范围.题组 5 1.(2009 全国 1)在ABC中，内角 A，B，C 的对边长分别为 a，b，c.已知222acb，且sin4cossinBAC，求 b.2.（2008 全国文）设ABC的内角ABC，所对的边长分别为abc，且cos3aB，sin4bA（）求边长a；（）若ABC的面积10S，求ABC的周长l 3.（2014新课标）钝角三角形 ABC 的面积是12，AB=1，BC=2，则 AC=()A.5 B.5 C.2 D.1 题组 6 1.（2014 广东）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bBcCb2coscos，则ba .2.（2014 天津）在ABCD中，内角,A B C所对的边分别是,a b c已知14bca，2sin3sinBC=，则cos A的值为_ 3 （2013 辽宁）在ABC,内角,A B C所对的边长分别为,.a b c1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B()A.6 B.3 C.23 D.56 4（2013 上海）在ABC中,角 A B C、所对边长分别为 a b c、,若5 8 60abB，,则c=_.解三角形知识一直是高考常考考点，虽然这一块儿只要运用公式、正弦定理与余弦定理便能解决很多问题，但是如何针对试题，灵活、准确、快速地选定相关定理去入手解题，则是同学们很难把握的。结合具体题目，初步探寻一些入手策略，期望对你有所帮助。如果将公式、正弦定理、余弦定理看成是几个“方程”的话，那么解三角形的实质就是把题目中所给的已知条件按方程的思想进行处理，解题时根据已知量与所求量，合理选择一个比较容易解的方程（公式、正弦定理、余弦定理），从而使同学们入手容易，解题简洁。一、直接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）三角公式 在中，已知两角的三角函数值，求第三个角；存在。证明：有解有解 的各边长正弦定理为外接圆半径注意正弦定理的一些变式已知三角形两边一对角求解三角形时若运用正弦定理则务必注意可能有两解的面积为余弦定理等常选用余弦定理鉴定三角形的形状角平分线性质定理角平分线分对边所得两段角的半角总互余锐角三角形三内角和内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方求解三角形中含有边角混合关系的问题时常运用正弦定理余弦定理实现边角互化自练题中的对边分别是答在中若其面积则答在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是答在中是角的对边则的最大值为答在中则角的取值范围是答设是锐角三角形的外心若的面积满足关系式二基础训练题题组求答判断的形状证明证明证明北京文已知中那即，要判断是否有解，只需。（2）正弦定理 在中，已知两角和任意一边，解三角形；在中，已知两边和其中一边对角，解三角形；（3）余弦定理 在中，已知三边，解三角形；在中，已知两边和他们的夹角，解三角形。直接运用正弦定理、余弦定理的上述情况，是我们常见、常讲、常练的，因此，在这里就不加赘述，同学们可以自己从教材中找一些题目看一看！二、间接运用公式、正弦定理、余弦定理 （1）齐次式条件（边或角的正弦）若题目条件中出现关于角的齐次式或关于边的齐次式，可以根据角的异同选用公式弦切互化或正弦定理边角互化；有些题中没有明显的齐次式，但经过变形得到齐次式的依然适用。1.相同角齐次式条件的弦切互化 【例】在中，若，求。【解析】无论是条件中的，还是都是关于一个角的齐次式。是关于的一次齐次式；是关于的二次齐次式。因此，我们将弦化切，再利用三角公式求解。由；由 的各边长正弦定理为外接圆半径注意正弦定理的一些变式已知三角形两边一对角求解三角形时若运用正弦定理则务必注意可能有两解的面积为余弦定理等常选用余弦定理鉴定三角形的形状角平分线性质定理角平分线分对边所得两段角的半角总互余锐角三角形三内角和内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方求解三角形中含有边角混合关系的问题时常运用正弦定理余弦定理实现边角互化自练题中的对边分别是答在中若其面积则答在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是答在中是角的对边则的最大值为答在中则角的取值范围是答设是锐角三角形的外心若的面积满足关系式二基础训练题题组求答判断的形状证明证明证明北京文已知中那 或；在中，且。代值可得：当，时，；当，时，（舍去）。2.不同角（正弦）齐次式条件的边角互化 【例】在中，若，且，求的面积。【解析】条件是关于不同角正弦的二次齐次式。因此，我们利用正弦定理将角化为边，然后根据边的关系利用余弦定理求解。由；显然这个形式符合余弦定理的公式，因此，可得。又因为，所以。3.不同边齐次式条件的边角互化 【例】的内角的对边分别为。已知，求。【解析】条件是关于不同边的一次齐次式。因此，我们利用正弦定理将边化为角，然后由将不同角转化为同角,利用化一公式求解。由，又，可得：的各边长正弦定理为外接圆半径注意正弦定理的一些变式已知三角形两边一对角求解三角形时若运用正弦定理则务必注意可能有两解的面积为余弦定理等常选用余弦定理鉴定三角形的形状角平分线性质定理角平分线分对边所得两段角的半角总互余锐角三角形三内角和内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方求解三角形中含有边角混合关系的问题时常运用正弦定理余弦定理实现边角互化自练题中的对边分别是答在中若其面积则答在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是答在中是角的对边则的最大值为答在中则角的取值范围是答设是锐角三角形的外心若的面积满足关系式二基础训练题题组求答判断的形状证明证明证明北京文已知中那，运用化一公式得。4.边角混合齐次式条件的边角互化 边角混合边为齐次式 【例】的内角的对边分别为，且，求。【解析】条件是边角混合关于不同边的一次齐次式，由于所求为切的值，所以将边化为角，然后将弦化为切求解。由，又 ，则 。边角混合角（正弦）为齐次式 【例】的内角的对边分别为，且，求。【解析】条件是边角混合角（正弦）为不同角的一次齐次式。因此，我们将角的正弦化为边，然后根据等式形式利用余弦定理求解。由，由于，我们可以得到：的各边长正弦定理为外接圆半径注意正弦定理的一些变式已知三角形两边一对角求解三角形时若运用正弦定理则务必注意可能有两解的面积为余弦定理等常选用余弦定理鉴定三角形的形状角平分线性质定理角平分线分对边所得两段角的半角总互余锐角三角形三内角和内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方求解三角形中含有边角混合关系的问题时常运用正弦定理余弦定理实现边角互化自练题中的对边分别是答在中若其面积则答在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是答在中是角的对边则的最大值为答在中则角的取值范围是答设是锐角三角形的外心若的面积满足关系式二基础训练题题组求答判断的形状证明证明证明北京文已知中那，显 然 这 个 形 式 符 合 余 弦 定 理 公 式，因 此，可 得。从而得出。边角混合边、角（正弦）都为齐次式 【例】的内角的对边分别为，且，求。【解析】条件是边角混合边、角（正弦）各为一次齐次式。因此，我们可以随意边角互化，但是一般将角转化为边求解。由，显然这个形式符合余弦定理公式，因此，可得。从而得出。5.非三角形内角正弦但可化为角（正弦）齐次式 【例】的内角的对边分别为，且，求证：的三边成等比数列。【解析】条件显然不是齐次式，并且角也不全是三角形的内角。因此，首先得把这些角转变为三角形的内角，然后再往齐次式化利用正弦定理求解。由，只 要 将变 换 为，题中的条件就变成了关于不同内角正弦的二次齐次式：。（2）不同边的平方关系（余弦定理）若题目条件中出现关于边的平方关系或求边的平方关系，可以选用余弦定理边角互化，在上面的一些情况中，有利用正弦定理转化出不同边的平方关系，可以作为参考例题。的各边长正弦定理为外接圆半径注意正弦定理的一些变式已知三角形两边一对角求解三角形时若运用正弦定理则务必注意可能有两解的面积为余弦定理等常选用余弦定理鉴定三角形的形状角平分线性质定理角平分线分对边所得两段角的半角总互余锐角三角形三内角和内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方求解三角形中含有边角混合关系的问题时常运用正弦定理余弦定理实现边角互化自练题中的对边分别是答在中若其面积则答在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是答在中是角的对边则的最大值为答在中则角的取值范围是答设是锐角三角形的外心若的面积满足关系式二基础训练题题组求答判断的形状证明证明证明北京文已知中那【例】的内角的对边分别为，且，求。【解析】条件含有不同边的平方关系，形式显然符合余弦定理公式。由。（3）存在消不掉的正弦、余弦值（两定理同时使用，边角互化）若题目条件中的条件不是上述情况，且始终含有消不去的内角正弦、余弦，可以同时使用正弦、余弦定理边角互化，要么都化为角（正弦、余弦），要么都化为边。【例】在中，已知，且，求。【解析】由题目中条件可得，接下来再利用余弦定理可得，又，所以或。因为。解三角形运用的原理简单，但是题目灵活多变，往往使学生感觉不易下手，以上结合例题谈了一下通过题中条件的特征，利用三角形内角和、边、角之间的关系快速入手的策略，但这仅仅是初探，更多的策略还需要同学们在解题中不断地归纳总结。的各边长正弦定理为外接圆半径注意正弦定理的一些变式已知三角形两边一对角求解三角形时若运用正弦定理则务必注意可能有两解的面积为余弦定理等常选用余弦定理鉴定三角形的形状角平分线性质定理角平分线分对边所得两段角的半角总互余锐角三角形三内角和内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方求解三角形中含有边角混合关系的问题时常运用正弦定理余弦定理实现边角互化自练题中的对边分别是答在中若其面积则答在中这个三角形的面积为则外接圆的直径是答在中是角的对边则的最大值为答在中则角的取值范围是答设是锐角三角形的外心若的面积满足关系式二基础训练题题组求答判断的形状证明证明证明北京文已知中那