计数原理基本知识点_中学教育-高考.pdf

名师总结 优秀知识点 计数原理基本知识点 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法，在第 n 类办法中有nm种不同的方法 那么完成这件事共有 12nNmmm种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有1m种不同的方法，做第二步有2m种不同的方法，做第 n 步有nm种不同的方法，那么完成这件事有12nNmmm 种不同的方法 3排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 4排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示 5排列数公式：(1)(2)(1)mnAn nnnm（,m nNmn）6 阶乘：!n表示正整数 1 到n的连乘积，叫做n的阶乘 规定0!1 7排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm 8 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 9组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数用符号mnC表示 10组合数公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnn mCAm 或)!(!mnmnCmn),(nmNmn且 11 组合数的性质 1：mnnmnCC规定：10nC；12 组合数的性质 2：mnC1mnC+1mnC 名师总结 优秀知识点 1二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrn rrnnnnnnabC aC a bC abC bnN，（2）1(1)1nrrnnnxC xC xx .2二项展开式的通项公式：1rn rrrnTC ab 3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4 二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 5二项式系数的性质：（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mn mnnCC）直线2nr 是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项12nnC，12nnC取得最大值（3）各二项式系数和：1(1)1nrrnnnxC xC xx ，令1x，则0122nrnnnnnnCCCCC 特别提醒 1.在运用二项式定理时一定要牢记通项公式1rn rrrnTC ab，注意()nab与()nba虽然相同，但具体到它们展开式的某一面时却是不相同的，所以我们一定要注意顺序问题。另外二项展开式的二项式系数与该项的（字母）系数是两个不同的概念，前者只是指rnC，而后者是指字母外的部分。2在使用通项公式1rn rrrnTC ab时，要注意：（1）通项公式是表示第 r1 项，而不是第 r 项.（2）展开式中第 r+1 项的二项式系数 Crn与第 r+1 项的系数不同.（3）通项公式中含有 a，b，n，r，T1r五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意 n 是正整数，r 是非负整数且 rn.的方法在第二类办法中有种不同的方法在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法分步计数原理做一件事情完成它需要分成个步骤做第一步有种不同的方法做第二步有种不同的方法做第步有种不同的方法那么完中取出个元素的一个排列相同按照一定的顺序排列数的定义从个不同元素中任取个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数用符号表示排列数公式阶乘表示正整数到的连乘积叫做的阶乘规定排列数的另一个计算公式从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数叫做从个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示组合数公式或且组合数的性质规定组合数的性质名师总结优秀知识点二项式定理及其特例二项展开式的通项公式求常数项有理项和系